第十五章 轴对称 单元测试 2025--2026学年人教版八年级数学上册

人教版（2024）八年级上册 第十五章 轴对称 单元测试 一、选择题 1.下列命题的逆命题不正确的是（ ） A.等腰三角形的两底角相等 B.直角三角形的两锐角互余 C.经过旋转得到的两个三角形全等 D.两直线平行，同位角相等 2.石鼓文，秦刻石文字，因其刻石外形似鼓而得名．下列石鼓文，是轴对称的是（　　） A. B. C. D. 3.下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是（　　） A.有两个内角分别是70°、40°的三角形 B.有一个角为45°的直角三角形 C.有外角是130°，与它不相邻的一个内角为50°的三角形 D.有两个角分别为70°、50°的三角形 4.下列图形分别是等边三角形、直角三角形、等腰梯形和长方形，其中有且只有一条对称轴的轴对称图形是（ ）． A. B. C. D. 5.如图：若AD平分∠BAC，AD∥EC，则（　　）是等腰三角形． A.△ABD B.△ACD C.△ACE D.△ABC 6.△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，则AC等于（　　） A.4 B.6 C.8 D.10 7.下列美丽的图案中是轴对称图形的个数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.平面内点A（-1，2）和点B（-1，-2）的对称轴是（ ） A.x轴 B.y轴 C.直线y=4 D.直线x=-1 9.如图所示，△ABC是在2×2的正方形网格中以格点为顶点的三角形，那么图中与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形共有（ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 10.如图，△ABC为等边三角形，D为BC延长线上一点，作DE∥AB交AC的延长线于E．若AB＝5，AE＝8，则DE的长为（　　） A.3 B.5 C.7 D.8 11.如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG＝2，ED＝5，则BE+DC的值为（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 12.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，P，Q分别为边BD，BC上一点，且BP＝CQ，若当AP+AQ的最小值为5时，则AB的长为（　　） A.4 B. C.5 D.6 二、填空题 13.“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是            (填“真”或“假”)命题． 14.如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是 _____________度． 15.有一个内角为60°的等腰三角形，腰长为6cm，那么这个三角形的周长为_________cm． 16.如图，在等边三角形ABC中，AC边上的高BD＝15，E是BD上一点，现有一动点P沿折线C—E—B运动，在CE上的速度是每秒6个单位长度，在EB上的速度是每秒3个单位长度，则动点P从C到B的运动过程中最少需 　 　秒． 17.如图，四边形ABCD中，AD＝2，∠A＝∠D＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2CD，在AD上找一点P，使PB+PC的值最小，则最小值为　  　． 三、解答题 18.如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，找出图中的一个等腰三角形，并说明理由． 19.如图所示，已知AD⊥BC，BD＝DC，AB+BD＝DE，求证：点C在AE的垂直平分线上． 20.在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长． 21.如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是通过如图的作图痕迹作图而得，DE∥BC，交AC于点E． （1）求证：DE＝CE． （2）若∠CDE＝32°，求∠A的度数． 22.如图，等边△ABC中，AB＝4，D是BC所在直线上的一个动点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）当D只在线段BC上移动时（不含两个端点），请说明BE+CF的值是否为一个固定值，如果是请求出这个值，如果不是请举出例子； （2）当D在BC的延长线和反向延长线上时，请分别说明BE和CF有什么数量关系？ 人教版（2024）八年级上册 第十五章 轴对称 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.下列命题的逆命题不正确的是（ ） A.等腰三角形的两底角相等 B.直角三角形的两锐角互余 C.经过旋转得到的两个三角形全等 D.两直线平行，同位角相等 【答案】C 【解析】解：A、两角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，故本选项错误； B、两角互余的三角形是直角三角形，是真命题，故本选项错误； C、全等的两个三角形是经过旋转得到的，是假命题，故本选项正确； D、同位角相等，两直线平行，是真命题，故本选项错误； 故选C． 2.石鼓文，秦刻石文字，因其刻石外形似鼓而得名．下列石鼓文，是轴对称的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：A中图形是轴对称图形， B、C、D中图形都不是轴对称图形， 故选A． 3.下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是（　　） A.有两个内角分别是70°、40°的三角形 B.有一个角为45°的直角三角形 C.有外角是130°，与它不相邻的一个内角为50°的三角形 D.有两个角分别为70°、50°的三角形 【答案】D 【解析】解：A.如图1所示： ∵∠B=70°，∠A=40°，∴∠C=180°﹣70°﹣40°=70°，∴∠B=∠C，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，故本选项正确； B.如图2所示， ∵∠A=45°，∠C=90°，∴∠B=90°﹣45°=45°，∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形，故本选项正确；C.如图3， ∴∠ACD=130°，∠B=50°，∴∠ACB=180°﹣∠ACD=180°﹣130°=50°，∴∠B=∠ACB=50°，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，故本选项正确； D.∵∠A=70°，∠B=50°，∴∠C=180°﹣70°﹣50°=60°，∴△ABC不是等腰三角形，故本选项错误．故选D． 4.下列图形分别是等边三角形、直角三角形、等腰梯形和长方形，其中有且只有一条对称轴的轴对称图形是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：等边三角形有3条对称轴，直角三角形没有对称轴，等腰梯形有1条对称轴，长方形有2条对称轴，故答案选C． 5.如图：若AD平分∠BAC，AD∥EC，则（　　）是等腰三角形． A.△ABD B.△ACD C.△ACE D.△ABC 【答案】C 【解析】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∵AD∥EC，∴∠AEC=∠BAD，∠ACE=∠∠DAC，∴∠AEC=∠ACE，∴AE=AC，∴△ACE是等腰三角形．故选C． 6.△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，则AC等于（　　） A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】B 【解析】解：∵在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝6． 故选：B． 7.下列美丽的图案中是轴对称图形的个数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】解：根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．解：第一个图形是轴对称图形，第二个图形不是轴对称图形，第三个图形是轴对称图形，第四个图形是轴对称图形，综上所述，是轴对称图形的有3个．故选C． 8.平面内点A（-1，2）和点B（-1，-2）的对称轴是（ ） A.x轴 B.y轴 C.直线y=4 D.直线x=-1 【答案】A 【解析】解：观察两坐标的特点，发现横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得点A（-1，2）和点B（-1，-2）关于x轴对称，故答案选A． 9.如图所示，△ABC是在2×2的正方形网格中以格点为顶点的三角形，那么图中与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形共有（ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】C 【解析】解：如图有五种可能．△FEC、△AFD、△DCB、△BAD和△FBG． 故选C． 10.如图，△ABC为等边三角形，D为BC延长线上一点，作DE∥AB交AC的延长线于E．若AB＝5，AE＝8，则DE的长为（　　） A.3 B.5 C.7 D.8 【答案】A 【解析】解：∵△ABC为等边三角形，且AB＝5， ∴AB＝AC＝5，∠A＝∠B＝60°， ∵AE＝8， ∴CE＝AE﹣AC＝8﹣5＝3， ∵DE∥AB， ∴∠D＝∠B＝60°，∠E＝∠A＝60°， ∴∠D＝∠E＝60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴DE＝CE＝3． 故选：A． 11.如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG＝2，ED＝5，则BE+DC的值为（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C 【解析】解：∵ED∥BC， ∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB， ∵∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD， ∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC， ∴BE＝EG，CD＝DF， ∵FG＝2，ED＝5， ∴EB+CD＝EG+DF＝EF+FG+FG+DG＝ED+FG＝7， 故选：C． 12.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，P，Q分别为边BD，BC上一点，且BP＝CQ，若当AP+AQ的最小值为5时，则AB的长为（　　） A.4 B. C.5 D.6 【答案】C 【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°， ∴∠ABC＝∠ACB＝40°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝20°， 作线段CE，使∠ECQ＝∠PBA＝20°，EC＝AB，连接QE，AE，如图， ∴∠ACE＝∠ACB+∠ECQ＝40°+20°＝60°，EC＝AB， ∴△ACE是等边三角形， ∴EC＝AE， ∴AB＝AE， ∵CQ＝BP，∠ECQ＝∠PBA，EC＝AB， ∴△ECQ≌△ABP（SAS）， ∴QE＝AP， ∴AP+AQ＝QE+AQ≥AE， ∵AP+AQ的最小值为AE， ∴AE＝5， ∴AB＝5， 故选：C． 二、填空题 13.“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是            (填“真”或“假”)命题． 【答案】假 【解析】解：逆命题为：若两条直线平行,则他们分别垂直于同一条直线，为假命题. 故答案是：假． 14.如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是 _____________度． 【答案】60 【解析】解：∵等边△ABC，∴∠ABD=∠C，AB=BC，在△ABD与△BCE中，AB=BC，∠ABD=∠C，BD=CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，∵∠ABE+∠EBC=60°，∴∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=60°．故答案为：60． 15.有一个内角为60°的等腰三角形，腰长为6cm，那么这个三角形的周长为_________cm． 【答案】18 【解析】解：根据等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形的三角形是等边三角形．再根据等边三角形的三边相等，得这个三角形的周长是6×3=18．故答案为18． 16.如图，在等边三角形ABC中，AC边上的高BD＝15，E是BD上一点，现有一动点P沿折线C—E—B运动，在CE上的速度是每秒6个单位长度，在EB上的速度是每秒3个单位长度，则动点P从C到B的运动过程中最少需 　 　秒． 【答案】5． 【解析】解：如图，作CF⊥AB于F交BD于点E，P沿着折线C﹣E﹣B运动的时间最短（当CEF在一条直线时，∠DCE是30°，CE＝2ED，只需要求BE+2ED最少即可）， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵CF⊥AB， ∴∠BFC＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠ACF＝30°， 在Rt△ECD中， ∵∠DEC＝30°， ∴ED＝EC， ∴P沿着折线B﹣E﹣C运动的时间为：＝（ED+BE）＝， 根据垂线段最短可知，当BD⊥AC时，P沿着折线C﹣E﹣B运动的时间最短， ∵BD，CF是等边三角形的高， ∴BD＝CF＝15， ∴P从C到B的运动过程中最少需5秒， 故答案为：5． 17.如图，四边形ABCD中，AD＝2，∠A＝∠D＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2CD，在AD上找一点P，使PB+PC的值最小，则最小值为　  　． 【答案】4． 【解析】解：如图， 延长CD至C'，使C'D＝CD， ∵∠ADC＝90°， ∴点C'与点C关于AD对称， 连接C'B交AD于P'，此时P'C'+BP'＝BC'最小， ∵∠A＝∠ADC＝90°， ∴CD∥AB， ∴∠C'＝∠ABC'，∠BCC'＝180°﹣∠ABC＝120°， ∵C'D＝CD， ∴CC'＝2CD， ∵BC＝2CD， ∴CC'＝BC， ∴∠C'＝∠CBC'， ∴∠C'＝∠ABC'＝∠CBC'＝30°， 过点B作BE⊥CD交DC的延长线于E， 则BE＝AD＝2（平行线间的距离处处相等）， 在Rt△BEC'中，∠C'＝30°，BE＝2， ∴BC'＝2BE＝4， 即，PB+PC的值最小值为4， 故答案为：4． 三、解答题 18.如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，找出图中的一个等腰三角形，并说明理由． 【答案】证明：答案不唯一，可找一个等腰△ABC． 在△ABC中，因为∠A=36°，∠C=72°， 所以∠ABC=180°﹣（72°+36°）=72°． 因为∠C=∠ABC，所以AB=AC， 所以△ABC是等腰三角形． 【解析】 19.如图所示，已知AD⊥BC，BD＝DC，AB+BD＝DE，求证：点C在AE的垂直平分线上． 【答案】证明：∵AD⊥BC，BD＝DC， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴AB＝AC， ∵AB+BD＝DE， ∴AB+BD＝DC+CE， ∴AB＝CE， ∵AB=AC ∴AC=CE ∴点C在AE的垂直平分线上． 20.在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长． 【答案】解：设三角形的腰AB=AC=xcm若AB+AD=24cm， 则：x+12x=24，∴x=16， 三角形的周长为24+30=54（cm）， 所以三边长分别为16cm，16cm，22cm； 若AB+AD=30cm，则：x+12x=30， ∴x=20∵三角形的周长为24+30=54（cm）， ∴三边长分别为20cm，20cm，14cm， 因此，三角形的三边长为16cm，16cm，22cm或20cm，20cm，14cm． 【解析】 21.如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是通过如图的作图痕迹作图而得，DE∥BC，交AC于点E． （1）求证：DE＝CE． （2）若∠CDE＝32°，求∠A的度数． 【答案】（1）证明：由作图可知，CD平分∠ACB， ∴∠ECD＝∠DCB， ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠DCB， ∴∠ECD＝∠EDC， ∴DE＝CE； （2）解：∵∠ECD＝∠EDC， ∴∠ECD＝32°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝64°， ∵AB＝AC， ∴∠A＝180°﹣64°﹣64°＝52°． 【解析】 22.如图，等边△ABC中，AB＝4，D是BC所在直线上的一个动点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）当D只在线段BC上移动时（不含两个端点），请说明BE+CF的值是否为一个固定值，如果是请求出这个值，如果不是请举出例子； （2）当D在BC的延长线和反向延长线上时，请分别说明BE和CF有什么数量关系？ 【答案】解：（1）BE+CF的值是一个固定值， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AB＝4， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BDE＝30°，∠FDC＝30°， ∴BE＝BD，CF＝DC， ∴BE+CF＝（BD+CD）＝BC＝2， ∴BE+CF的值是一个固定值2； （2）①当D在BC的延长线上， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°，BC＝AB＝4， ∴∠DCF＝∠ACB＝60°， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠EDB＝30°，∠CDF＝30°， ∴BE＝BD，CF＝CD， ∴BE﹣CF＝（BD﹣CD）＝BC＝2， ∴BE和CF数量关系是BE﹣CF＝2， ②当D在BC反向延长线上时， ∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB＝4，∠ABC＝∠C＝60°， ∴∠DBE＝∠ABC＝60°， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠FDC＝30°，∠BDE＝30°， ∴CF＝DC，BE＝BD， ∴CF﹣BE＝（DC﹣BD）＝BC＝2， ∴BE和CF的数量关系是CF﹣BE＝2． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$