2.3 一元二次方程的应用 暑假题型专练2024-2025学年浙教版八年级数学下册

浙教版八年级下册 2.3 一元二次方程的应用 暑假题型专练 一、传播问题 1.为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（　　） A.9 B.10 C.11 D.12 2.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮传播后共有169台电脑被感染，每轮感染过程中平均一台电脑会感染的电脑台数为（　　） A.9 B.10 C.11 D.12 3.某病毒传播性极强，有一人感染，经过两轮传播后共有361人感染，假设每轮感染中平均一人感染人数相同，按这样的速度第三轮后共有（　　）人被传染． A.380 B.6859 C.7220 D.6498 4.鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例，两天后发现共有144只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为　    　． 5.若有2个人患了流感，经过两轮传染后共有50人患了流感（这2个人在第二轮传染中仍有传染性），则每轮传染中平均一个人传染 　  　人． 6.某种病毒传播速度非常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人感染该病毒．若每轮传染的速度相同． （1）求每轮每人传染的人数； （2）第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的50%，求第三轮传播后新增感染人数． 7.今年4月，多国禽流感大暴发，大量蛋鸡被扑杀，导致世界级的“鸡蛋荒”．若某国有一只蛋鸡患有禽流感，经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病． （1）每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了几只健康的蛋鸡？ （2）如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会不会超过500只？ 二、增长率问题 1.2020年某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为15000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增．为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到21600个，则口罩日产量的月平均增长率为（　　） A.10% B.15% C.20% D.25% 2.随着环保意识日益深入，我国新能源汽车的生产技术也不断提升．今年7月至9月，市场上某款新能源汽车的售价由260000元/辆下降到210600元/辆．则该款汽车售价的月平均下降率是（　　） A.5% B.10% C.15% D.20% 3.随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年年底的价格是两年前价格的．这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降百分之几？（　　） A.25% B.37.5% C.50% D.75% 4.某种茶叶的价格两次下降，每次下降的百分率相同，原来每袋125元，现在每袋80元，则每次下降的百分率是 　      　． 5.某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由去年9月份的每平方米10000元下降到11月份的每平方米8100元，且去年房价在9月份、10月份、11月份、12月份的下降率保持一致，则去年12月份的房价单价为每平方米 　     　元． 6.某商场今年1月份销售额为60万元，2月份销售额下降10%，改进经营管理后月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3、4月份销售额的月平均增长率． 7.为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元． （1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； （2）该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于73.5元，则此次价格的下降率最多是多少？ 三、数字问题 1.已知一个两位数等于它个位上的数的平方，并且十位上的数字比个位上的数字小3，则这个两位数为（　　） A.25 B.25或36 C.36 D.﹣25或﹣36 2.有一个三位数，其个位、十位、百位的数字是三个连续整数，并且个位数字与百位数字的平方和是十位数字的5倍．则这个三位数是（　　） A.321 B.123 C.321或123 D.±123或±321 3.一个两位数等于其各数位上数字的积的3倍，且个位上数字比十位上数字大2，则这个两位数是（　　） A.24 B.35 C.42 D.53 4.读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为 　  　． 5.有一个两位数，两个数位上数字的和是6，这个两位数是这两个数位上数字的积的3倍，则这个两位数是 　     　． 6.一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数． 7.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小2，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小36，求原来的两位数． 四、球赛问题 1.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场（单循环比赛）．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请（　　）个队参赛． A.6 B.7 C.8 D.9 2.某女子冰壶比赛有若干支队伍参加了双循环比赛，双循环比赛共进行了56场，共有多少支队伍参加比赛？（　　） A.8 B.10 C.7 D.9 3.黑龙江省中学生排球锦标赛共进行了110场双循环比赛，则参加比赛的队伍共有（　　） A.8支 B.9支 C.10支 D.11支 4.县工会计划组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排早、午、晚共3场比赛，比赛组织者应邀请 　 　支队参赛． 5.2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，则参赛的队伍有 　   　支． 6.第六届“粤港杯”男子篮球赛在广东恩平落幕，广东队顺利捧杯豪取五连冠．若参加比赛的每两队之间都进行1场比赛，一共比赛120场，共有多少个队参加该比赛？ 7.某校乒乓球队举行队内比赛，比赛规则是每两个队员之间都赛一场，每场比赛都要分出胜负，每一场比赛结束后依据胜负给出相应积分，本次比赛一共进行了210场，用时两天完成，下面是第一天比赛结束后部分队员的积分表： （1）在本次比赛中，有一名队员只输掉了一场比赛，则该名队员的积分是多少？ （2）如果有一名队员在本次比赛中的积分不低于34分，那么他最多负 　   　场． 五、握手或互赠礼物问题 1.国庆节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手78次，则参加聚会的人数是（　　） A.10 B.11 C.12 D.13 2.九年级某班的每位同学都将自己的相片向全班其他同学各赠送一张作为留念，全班共送出2450张相片，则这个班共有多少个学生（　　） A.49 B.50 C.51 D.52 3.在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（　　） A.9人 B.10人 C.11人 D.12人 4.在一次同学聚会上，参加聚会的每两个同学都要握手一次．若所有参加聚会的同学共握手45次，则参加此次聚会的同学有 　  　人． 5.参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手36次，则有 　  　人参加聚会． 6.在一次聚会上，规定每两人见面必须握手，且只握手1次． （1）若参加聚会的人数为4，共握手 　  　次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），共握手 　  　次； （2）若参加聚会的人共握手45次，求参加聚会的人数； （3）嘉琪由握手问题想到了一个数学问题：有m个即将初中毕业的学生在一起聚会，每两个人之间互送一张照片，共送出 　   　张照片． 7.在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手． （1）若参加聚会的人数为6，则共握手　  　次，若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手　      　次； （2）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数？ 六、与几何图形有关的问题 1.《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+3）＝10的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+3，宽为x的长方形纸片（面积均为10）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为10×4+9＝49，边长为7，故得x（x+3）＝10的正数解为x＝＝2．小智按此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出类似的图形．已知大正方形的面积为40，小正方形的面积为16，则m和n的值分别是（　　） A.m＝6，n＝4 B. C.m＝4，n＝6 D. 2.直角三角形的三边长是连续偶数，则三边长分别是（　　） A.2，4，6 B.4，6，8 C.6，8，10 D.8，10，12 3.欧几里得的《几何原本》记载，对于形如x2+ax＝b2的方程，可用如图解法：作直角三角形ABC，其中∠C＝90°，AC＝b，BC＝，在斜边AB上截取BD＝BC，则该方程的其中一个正根是（　　） A.线段AC的长 B.线段BC的长 C.线段AD的长 D.线段CD的长 4.如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 　   　． 5.一个长方形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，长方形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为7cm2；按照图②放置长方形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，长方形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为 　   　． 6.已知直角三角形的三边长是三个连续自然数，求三边长． 7.宽增加4cm，就成为一个正方形硬纸片． （1）求这块长方形的硬纸片的长、宽各是多少？ （2）现小明想用这块长方形硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为5：3，面积为375cm2的新长方形纸片，请判断小明能否裁出，并说明理由． 七、动态几何问题 1.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若△PBQ的面积等于4cm2，则运动时间为（　　） A.1秒 B.4秒 C.1秒或4秒 D.1秒或秒 2.如图，在Rt△MNC中，∠C＝90°，MC＝6cm，NC＝8cm，P，Q分别是MC，NC上的动点，若点P，Q同时从M，N两点出发分别沿MC，NC方向向点C匀速运动，它们的速度都是1cm/s，则经过（　　）秒后，△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半． A.2 B.3 C.4 D.5 3.如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，△PCQ的面积等于4． A.1 B.2 C.4 D.1或4 4.如图，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点B开始沿BA以1cm/s的速度向点A运动，同时，点Q从点B开始沿BC以2cm/s的速度向点C运动．当t＝　   　s时，四边形ACQP的面积为△PQB面积的． 5.如图，AO＝BO＝6厘米，OC是一条射线，OC⊥AB．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线OC方向爬行，它们同时出发，当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过 　               　秒，△POQ的面积为8平方厘米． 6.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）． （1）当运动时间为t（s）时，CP＝　  　cm，CQ＝　       　cm；（用含t的代数式表示） （2）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值． 7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1cm/s． （1）运动几秒时，点P，Q相距6cm？ （2）△PCQ的面积能等于10cm2吗？为什么？ 浙教版八年级下册 2.3 一元二次方程的应用 暑假题型专练（参考答案） 一、传播问题 1.为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（　　） A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】B 【解析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有111个人参与了宣传活动，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 依题意，得：1+n+n2＝111， 解得：n1＝10，n2＝﹣11． 故选：B． 2.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮传播后共有169台电脑被感染，每轮感染过程中平均一台电脑会感染的电脑台数为（　　） A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】D 【解析】设每轮感染过程中平均一台电脑会感染x台电脑，根据“一台电脑被感染，经过两轮的传播就会共有169台电脑被感染”，列出一元二次方程，解之取其正值即可． 设每轮感染过程中平均一台电脑会感染x台电脑， 依题意得：（1+x）2＝169， 解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去）， 即每轮感染过程中平均一台电脑会感染12台电脑， 故选：D． 3.某病毒传播性极强，有一人感染，经过两轮传播后共有361人感染，假设每轮感染中平均一人感染人数相同，按这样的速度第三轮后共有（　　）人被传染． A.380 B.6859 C.7220 D.6498 【答案】B 【解析】设平均每人每轮感染x人，根据有一人感染，经过两轮传播后共有361人感染，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题． 设平均每人每轮感染x人， 由题意得：1+x+x（x+1）＝361， 解得：x1＝18，x2＝﹣20（不符合题意，舍去）， 即平均每人每轮感染18人， ∴361（1+18）＝361×19＝6859（人）， 即按这样的速度第三轮后共有6859人被传染， 故选：B． 4.鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例，两天后发现共有144只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为　    　． 【答案】11． 【解析】设每只病鸡传染健康鸡x只，则第一天有x只鸡被传染，第二天有x（x+1）只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：1+x+x（x+1）只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡144，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可． 设每只病鸡传染健康鸡x只，由题意得： x+1+x（x+1）＝144，即（1+x）2＝144， 解得x1＝11，x2＝﹣13（不符合题意舍去）． 答：设每只病鸡传染健康鸡11只． 故答案为：11． 5.若有2个人患了流感，经过两轮传染后共有50人患了流感（这2个人在第二轮传染中仍有传染性），则每轮传染中平均一个人传染 　  　人． 【答案】4． 【解析】每轮传染中平均每个人传染了x人，那么第一轮有（x+1）人患了流感，第二轮有x（x+1）人被传染，然后根据共有50人患了流感即可列出方程解题． 6.某种病毒传播速度非常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人感染该病毒．若每轮传染的速度相同． （1）求每轮每人传染的人数； （2）第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的50%，求第三轮传播后新增感染人数． 【答案】解：（1）设每轮每人传染x人，则第一轮中有4x人被感染，第二轮中有x（4+4x）中人被感染， 根据题意得：4+4x+x（4+4x）＝256， 整理得：（1+x）2＝64， 解得：x1＝7，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）． 答：每轮每人传染7人； （2）256×7×50%＝896（人）． 答：第三轮传播后新增感染896人． 7.今年4月，多国禽流感大暴发，大量蛋鸡被扑杀，导致世界级的“鸡蛋荒”．若某国有一只蛋鸡患有禽流感，经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病． （1）每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了几只健康的蛋鸡？ （2）如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会不会超过500只？ 【答案】解：（1）设每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了x只健康的蛋鸡，则第一轮中有x只健康的蛋鸡被传染，第二轮中有x（1+x）只健康的蛋鸡被传染， 根据题意得：1+x+x（1+x）＝64， 整理得：（1+x）2＝64， 解得：x1＝7，x2＝﹣9 （不符合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了7只健康的蛋鸡； （2）64+64×7 ＝64+448 ＝512（只）， ∵512＞500， ∴如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会超过500只． 二、增长率问题 1.2020年某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为15000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增．为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到21600个，则口罩日产量的月平均增长率为（　　） A.10% B.15% C.20% D.25% 【答案】C 【解析】设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意得15000（1+x）2＝21600，即可解得答案． 设口罩日产量的月平均增长率为x， 根据题意得：15000（1+x）2＝21600， 解得x＝0.2或x＝﹣2.2（舍去）， ∴口罩日产量的月平均增长率为20%， 故选：C． 2.随着环保意识日益深入，我国新能源汽车的生产技术也不断提升．今年7月至9月，市场上某款新能源汽车的售价由260000元/辆下降到210600元/辆．则该款汽车售价的月平均下降率是（　　） A.5% B.10% C.15% D.20% 【答案】B 【解析】设该款汽车售价的月平均下降率是x，利用某款新能源汽车9月的售价＝该新能源汽车7月的售价×（1﹣该款汽车售价的月平均下降率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 设该款汽车售价的月平均下降率是x， 根据题意得：260000（1﹣x）2＝210600， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）， ∴该款汽车售价的月平均下降率是10%． 故选：B． 3.随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年年底的价格是两年前价格的．这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降百分之几？（　　） A.25% B.37.5% C.50% D.75% 【答案】C 【解析】直接利用下降率求法（1﹣x）2＝今年年底的价格，进而得出答案． 设这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降x， 根据题意可得：（1﹣x）2＝， 解得：x1＝0.5＝50%，x2＝1.5（不合题意舍去）， 即：这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降50%． 故选：C． 4.某种茶叶的价格两次下降，每次下降的百分率相同，原来每袋125元，现在每袋80元，则每次下降的百分率是 　      　． 【答案】20%． 【解析】设每次下降的百分率为x，根据原来每袋125元，现在每袋80元得：125（1﹣x）2＝80，解方程并检验可得答案． 设每次下降的百分率为x， 根据题意得：125（1﹣x）2＝80， 解得x＝20%或x＝（舍去）， ∴每次下降的百分率是20%； 故答案为：20%． 5.某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由去年9月份的每平方米10000元下降到11月份的每平方米8100元，且去年房价在9月份、10月份、11月份、12月份的下降率保持一致，则去年12月份的房价单价为每平方米 　     　元． 【答案】7290． 【解析】设今年房价在9月份、10月份、11月份的下降率为x，利用今年9月份的房价＝今年1月份的房价×（1﹣今年房价在10月份、11月份的下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程． 设去年房价在10月份、11月份的下降率为x， 根据题意得：10000（1﹣x）2＝8100， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）， ∴8100（1﹣x）＝8100×（1﹣10%）＝7290， ∴12月份的房价单价为每平方米7290元． 故答案为：7290． 6.某商场今年1月份销售额为60万元，2月份销售额下降10%，改进经营管理后月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3、4月份销售额的月平均增长率． 【答案】解：由题意得：2月份的销售额60（1﹣10%）＝54（万元）， 设3、4月份平均每月销售额增长的百分率是x， 54（1+x）2＝121.5， ∴1+x＝±1.5， ∴x1＝50%或x2＝﹣2.5（负值舍去）． 答：3、4月份销售额的月平均增长率为50%． 7.为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元． （1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； （2）该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于73.5元，则此次价格的下降率最多是多少？ 【答案】解：（1）设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x， 根据题意得：200（1﹣x）2＝98， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不符合题意，舍去）． 答：2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为30%； （2）设此次价格的下降率是y， 根据题意得：98（1﹣y）≥73.5， 解得：y≤0.25， ∴y的最大值是0.25，即25%． 答：此次价格的下降率最多是25%． 三、数字问题 1.已知一个两位数等于它个位上的数的平方，并且十位上的数字比个位上的数字小3，则这个两位数为（　　） A.25 B.25或36 C.36 D.﹣25或﹣36 【答案】B 【解析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+3），根据该两位数等于它个位上的数的平方，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，进而即可得出该两位数． 设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+3）， 根据题意得：10x+x+3＝（x+3）2， 整理得：x2﹣5x+6＝0， 解得：x＝2或x＝3， ∴x+3＝5或x+3＝6， ∴这个两位数为25或36． 故选：B． 2.有一个三位数，其个位、十位、百位的数字是三个连续整数，并且个位数字与百位数字的平方和是十位数字的5倍．则这个三位数是（　　） A.321 B.123 C.321或123 D.±123或±321 【答案】D 【解析】直接利用已知个位、十位、百位的数字是三个连续整数假设出各数，再利用个位数字与百位数字的平方和是十位数字的5倍得出等式求出即可． 设十位数字为x，则个位数字为：x﹣1，百位数字为：x+1， 根据题意可得：（x﹣1）2+（x+1）2＝5x， 解得：x1＝2，x2＝0.5（不合题意舍去）， 则个位数字为：x﹣1＝1，百位数字为：x+1＝3， 故这个三位数是：321， 当设十位数字为x，则个位数字为：x+1，百位数字为：x﹣1， 根据题意可得：（x﹣1）2+（x+1）2＝5x， 解得：x1＝2，x2＝0.5（不合题意舍去）， 则个位数字为：x+1＝3，百位数字为：x11＝1， 故这个三位数是：123， 同理可得：这个三位数可以为：±123或±321． 故选：D． 3.一个两位数等于其各数位上数字的积的3倍，且个位上数字比十位上数字大2，则这个两位数是（　　） A.24 B.35 C.42 D.53 【答案】A 【解析】设十位上的数字为未知数，得到两位数个位上的数字，根据关系式两位数等于其各数位上数字的积的3倍列出方程求得十位上的数字，进而求得两位数即可． 设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+2， 10x+x+2＝3x（x+2）， （x﹣2）（3x+1）＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣（不合题意，舍去）， 故x＝2， ∴这个两位数为2×10+4＝24． 故选：A． 4.读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为 　  　． 【答案】36． 【解析】设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为x﹣3，然后根据个位数的平方等于他去世时的年龄列出方程即可． 设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为x﹣3， 由题意得，10（x﹣3）+x＝x2， 解得：x1＝5，x2＝6， ∴他去世时年龄为25或36， 又∵他去世时的年龄大于30， ∴他去世时的年龄为36 故答案为：36． 5.有一个两位数，两个数位上数字的和是6，这个两位数是这两个数位上数字的积的3倍，则这个两位数是 　     　． 【答案】24或15． 【解析】根据“这个两位数是这两个数位上数字的积的3倍”设未知数列方程求解.. 设这个两位数的个位为x，则十位数为（6﹣x）， 根据题意可得，3x（6﹣x）＝10（6﹣x）+x， 整理得x2﹣9x+20＝20， 解得x＝4或5， 当x＝4时，6﹣x＝2，故这个两位数为10×2+4＝24； 当x＝5时，6﹣x＝1，故这个两位数为10×1+5＝15． 故答案为：24或15． 6.一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数． 【答案】解：设该三位数的百位数字是x（x为正整数），则十位数字是（x+3），个位数字是（2x+3）．则 100x+10（x+3）+（2x+3）＝5（2x+3）2+12， 整理，得 5x2﹣13x+6＝0， 所以，（x﹣2）（5x﹣3）＝0． 所以x﹣2＝0或5x﹣3＝0， 解得，x＝2，则x+3＝5，2x+3＝7， 则该三位数是257． 答：这个数是257． 7.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小2，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小36，求原来的两位数． 【答案】解：设个位数字为x，则十位数字为x2﹣2，由题意得： 10（x2﹣2）+x﹣（10x+x2﹣2）＝36， 解得：x1＝3，x2＝﹣2（不合题意，舍去）， 十位数字：32﹣2＝7， 这个两位数为：73， 答：原来的两位数73． 四、球赛问题 1.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场（单循环比赛）．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请（　　）个队参赛． A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C 【解析】设比赛组织者应邀请x个队参赛，则比赛总共要进行x（x﹣1）场，于是列方程得x（x﹣1）＝4×7，解方程求出符合题意的x值即得到问题的答案． 设比赛组织者应邀请x个队参赛， 根据题意得x（x﹣1）＝4×7， 解得x1＝8，x2＝﹣7（不符合题意，舍去）， ∴比赛组织者应邀请8个队参赛， 故选：C． 2.某女子冰壶比赛有若干支队伍参加了双循环比赛，双循环比赛共进行了56场，共有多少支队伍参加比赛？（　　） A.8 B.10 C.7 D.9 【答案】A 【解析】设有x支队伍，根据双循环比赛的制度规则，一共要赛x（x﹣1）场． 设有x支队伍． 由题意得：x（x﹣1）＝56． 解得：x1＝8，x2＝﹣7（舍）． 故选：A． 3.黑龙江省中学生排球锦标赛共进行了110场双循环比赛，则参加比赛的队伍共有（　　） A.8支 B.9支 C.10支 D.11支 【答案】D 【解析】设参加比赛的队伍共有x支，利用进行比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1），可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 设参加比赛的队伍共有x支， 根据题意得：x（x﹣1）＝110， 整理得：x2﹣x﹣110＝0， 解得：x1＝11，x2＝﹣10（不符合题意，舍去）， ∴参加比赛的队伍共有11支． 故选：D． 4.县工会计划组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排早、午、晚共3场比赛，比赛组织者应邀请 　 　支队参赛． 【答案】7． 【解析】设比赛组织者应邀请x支队参赛，根据每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排早、午、晚共3场比赛，列出方程进行求解即可． 设比赛组织者应邀请x支队参赛，由题意，得：， 解得：x＝7或x＝﹣6（舍去）； 答：比赛组织者应邀请7支队参赛． 故答案为：7． 5.2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，则参赛的队伍有 　   　支． 【答案】见试题解答内容 【解析】设参加比赛的队伍共有x支，由题意：有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，列出方程，解方程即可． 设参加比赛的队伍共有x支， 根据题意得：＝55， 解得：x＝11或x＝﹣10（不符合题意舍去）， ∴参加比赛的队伍共有11支； 故答案为：11． 6.第六届“粤港杯”男子篮球赛在广东恩平落幕，广东队顺利捧杯豪取五连冠．若参加比赛的每两队之间都进行1场比赛，一共比赛120场，共有多少个队参加该比赛？ 【答案】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， 解：设共有x个队参加该比赛． 根据题意，得， 解得x＝16或x＝﹣15（舍去）． ∴共有16个队参加该比赛． 7.某校乒乓球队举行队内比赛，比赛规则是每两个队员之间都赛一场，每场比赛都要分出胜负，每一场比赛结束后依据胜负给出相应积分，本次比赛一共进行了210场，用时两天完成，下面是第一天比赛结束后部分队员的积分表： （1）在本次比赛中，有一名队员只输掉了一场比赛，则该名队员的积分是多少？ （2）如果有一名队员在本次比赛中的积分不低于34分，那么他最多负 　   　场． 【答案】解：（1）设在本次比赛共有x个队员参加比赛， 由表格得赢一场比赛得20÷10＝2（分），输掉一场比赛得7÷7＝1（分）， 由题意得x（x﹣1）＝210，解得x＝21（负值舍去）， ∴共有21个队员参加比赛， ∴每个队员一共比赛20场， 有一名队员只输掉了一场比赛，则该名队员的积分是（20﹣1）×2+1＝39（分）， 答：该名队员的积分是39分； （2）设该名队员在本次比赛中最多负y场， 由题意得（20﹣y）×2+y≥34，解得y≤6， ∴该名队员在本次比赛中最多负6场， 故答案为：6． 五、握手或互赠礼物问题 1.国庆节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手78次，则参加聚会的人数是（　　） A.10 B.11 C.12 D.13 【答案】D 【解析】设参加聚会的人数是x人，根据题意列方程解答即可． 设有x个人参加聚会， 根据题意可得：， 所以x2﹣x﹣156＝0， 解得x＝13，x＝﹣12（不合题意舍去）， 所以参加聚会的人数是有13人． 故选：D． 2.九年级某班的每位同学都将自己的相片向全班其他同学各赠送一张作为留念，全班共送出2450张相片，则这个班共有多少个学生（　　） A.49 B.50 C.51 D.52 【答案】B 【解析】设全班有x名同学，则每人送出（x﹣1）张相片，共送出x（x﹣1）张相片，进而可列出方程，解方程即可求出答案． 设全班有x名同学，则每人送出（x﹣1）张相片， 根据题意得x（x﹣1）＝2450， 即x2﹣x﹣2450＝0， （x﹣50）（x+49）＝0， 解得x1＝50，x2＝﹣49（舍去）． 即全班有50名学生． 故选：B． 3.在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（　　） A.9人 B.10人 C.11人 D.12人 【答案】B 【解析】设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出（x﹣1）份礼物，根据所有人共送了90份礼物，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出（x﹣1）份礼物， 依题意得：x（x﹣1）＝90， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）， ∴参加聚会的同学有10人． 故选：B． 4.在一次同学聚会上，参加聚会的每两个同学都要握手一次．若所有参加聚会的同学共握手45次，则参加此次聚会的同学有 　  　人． 【答案】10． 【解析】设参加此次聚会的同学有x人，利用握手的总次数＝参加此次聚会的同学人数×（参加此次聚会的同学人数﹣1）÷2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论． 设参加此次聚会的同学有x人， 根据题意得：x（x﹣1）＝45， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 解得：x1＝﹣9（不符合题意，舍去），x2＝10， ∴参加此次聚会的同学有10人． 故答案为：10． 5.参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手36次，则有 　  　人参加聚会． 【答案】9． 【解析】设有x人参加聚会，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 设有x人参加聚会，根据题意， 得， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（舍去）， ∴有9人参加聚会， 故答案为：9． 6.在一次聚会上，规定每两人见面必须握手，且只握手1次． （1）若参加聚会的人数为4，共握手 　  　次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），共握手 　  　次； （2）若参加聚会的人共握手45次，求参加聚会的人数； （3）嘉琪由握手问题想到了一个数学问题：有m个即将初中毕业的学生在一起聚会，每两个人之间互送一张照片，共送出 　   　张照片． 【答案】解：（1）参加聚会的人数为4，则共握手×4×3＝6（次）； 参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手n（n﹣1）次． 故答案为：6；n（n﹣1）. （2）设有x 人参加聚会，根据题意得， x（x﹣1）＝45， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）， 答：参加聚会的有10人； （3）根据题意得m（m﹣1）（张）． 答：共送出m（m﹣1）张照片， 故答案为：m（m﹣1）． 7.在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手． （1）若参加聚会的人数为6，则共握手　  　次，若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手　      　次； （2）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数？ 【答案】解：（1）若参加聚会的人数为6，共握手×6×5＝15（次）， 若参加聚会的人数为n（n为正整数），共握手n（n﹣1）（次）． 故答案为：15；n（n﹣1）． （2）依题意得：n（n﹣1）＝36， 整理得：n2﹣n﹣72＝0， 解得：n1＝9，n2＝﹣8（不合题意，舍去）． 答：参加聚会的人数为9人． 六、与几何图形有关的问题 1.《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+3）＝10的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+3，宽为x的长方形纸片（面积均为10）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为10×4+9＝49，边长为7，故得x（x+3）＝10的正数解为x＝＝2．小智按此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出类似的图形．已知大正方形的面积为40，小正方形的面积为16，则m和n的值分别是（　　） A.m＝6，n＝4 B. C.m＝4，n＝6 D. 【答案】C 【解析】把x2+mx﹣n＝0及图形按照样例那样去分析即可． 把方程x2+mx﹣n＝0变形得到x（x+m）＝n， 如图，将四个长为x+m，宽为x的长方形纸片（面积均为n）拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为40＝4n+16， 解得n＝6， ∴小正方形边长为， ∴x（x+m）＝n的正数解为， 即n＝6，m＝4， 故选：C． 2.直角三角形的三边长是连续偶数，则三边长分别是（　　） A.2，4，6 B.4，6，8 C.6，8，10 D.8，10，12 【答案】C 【解析】根据连续偶数相差是2，设中间的偶数是x，则另外两个是x﹣2，x+2根据勾股定理即可解答． 根据连续偶数相差是2，设中间的偶数是x，则另外两个是x﹣2，x+2根据勾股定理，得 （x﹣2）2+x2＝（x+2）2， x2﹣4x+4+x2＝x2+4x+4， x2﹣8x＝0， x（x﹣8）＝0， 解得x＝8或0（0不符合题意，应舍去）， 所以它的三边是6，8，10． 故选：C． 3.欧几里得的《几何原本》记载，对于形如x2+ax＝b2的方程，可用如图解法：作直角三角形ABC，其中∠C＝90°，AC＝b，BC＝，在斜边AB上截取BD＝BC，则该方程的其中一个正根是（　　） A.线段AC的长 B.线段BC的长 C.线段AD的长 D.线段CD的长 【答案】C 【解析】设AD＝x，AC＝b，DB＝BC＝，根据勾股定理列出关系式，化简即可得到结果． 设AD＝x，AC＝b，DB＝BC＝， 在Rt△ABC中，AB＝AD+BD＝x+， 根据勾股定理得：b2+（）2＝（x+）2，即x2+ax＝b2， 则这个方程的一个正根是线段AD的长． 故选：C． 4.如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 　   　． 【答案】1m． 【解析】由题意：剩余绿地的面积为224m2，列出一元二次方程，解方程即可． 根据题意得：（18﹣2x）（15﹣x）＝224， 整理得：x2﹣24x+23＝0， 解得：x1＝1，x2＝23（不符合题意，舍去）， 即图中x的值为1m， 故答案为：1m． 5.一个长方形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，长方形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为7cm2；按照图②放置长方形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，长方形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为 　   　． 【答案】8cm2． 【解析】设长方形的长为x，宽为y，根据图①和图②的阴影面积列出方程组，求出x，y的值，再求图③的面积求解即可． 设长方形的长为x，宽为y，由题意，得：， 整理，得：， 把②代入①得：y＝47﹣7x③， 把③代入①得：2x（47﹣7x）＝7x+7（47﹣7x）﹣17， 整理，得：7x2﹣68x+156＝0， 解得：， 当x＝6时，y＝47﹣6×7＝5， 当时，（不合题意，舍去）； ∴长方形的长为6cm，宽为5cm， ∴图③中的阴影面积为：6×5﹣16﹣3×（6﹣4）＝8cm2； 故答案为：8cm2． 6.已知直角三角形的三边长是三个连续自然数，求三边长． 【答案】解：设最短的边长为x，则另外两边长分别为（x+1），（x+2）， 依题意，得：x2+（x+1）2＝（x+2）2， 整理，得：x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1（不合题意，舍去），x2＝3， ∴x+1＝4，x+2＝5． 答：直角三角形的三边长分别为3，4，5． 7.宽增加4cm，就成为一个正方形硬纸片． （1）求这块长方形的硬纸片的长、宽各是多少？ （2）现小明想用这块长方形硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为5：3，面积为375cm2的新长方形纸片，请判断小明能否裁出，并说明理由． 【答案】解：（1）设这块长方形的硬纸片的长是x cm，宽是y cm， 由题意得：， 解得：， 答：这块长方形的硬纸片的长是25cm，宽是16cm； （2）小明能裁出，理由如下： 设裁出的新长方形纸片的长为5a cm，宽为3a cm， 由题意得：5a•3a＝375， 整理得：a2＝25， 解得：a1＝5，a2＝﹣5（不符合题意，舍去）， ∴裁出的长为5a＝25（cm），宽为3a＝15（cm）＜16cm， ∴小明能裁出． 七、动态几何问题 1.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若△PBQ的面积等于4cm2，则运动时间为（　　） A.1秒 B.4秒 C.1秒或4秒 D.1秒或秒 【答案】A 【解析】当运动时间为t秒时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝2t cm，根据△PBQ的面积等于4cm2，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 当运动时间为t秒时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝2t cm， 根据题意得：PB•BQ＝4， 即（5﹣t）•2t＝4， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝1，t2＝4， 当t＝4时，2t＝2×4＝8＞7，不符合题意，舍去， ∴t＝1． ∴运动时间为1秒． 故选：A． 2.如图，在Rt△MNC中，∠C＝90°，MC＝6cm，NC＝8cm，P，Q分别是MC，NC上的动点，若点P，Q同时从M，N两点出发分别沿MC，NC方向向点C匀速运动，它们的速度都是1cm/s，则经过（　　）秒后，△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半． A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【解析】设经过x秒后△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半，则MP＝x，NQ＝x，然后列方程求解即可． 经过x秒后△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半， 根据题意，得， 化简得x2﹣14x+24＝0， 解得x1＝2，x2＝12（不符合题意，舍去）， ∴经过2秒后△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半． 故选：A． 3.如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，△PCQ的面积等于4． A.1 B.2 C.4 D.1或4 【答案】A 【解析】设t秒后，△PCQ的面积等于4，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 设t秒后，△PCQ的面积等于4， 由题意得：BP＝t，CQ＝2t，则CP＝5﹣t， ∵S△PCQ＝CQ•CP， ∴4＝×2t×（5﹣t）， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝1，t2＝4（不合题意，舍去）， 即1秒后，△PCQ的面积等于4， 故选：A． 4.如图，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点B开始沿BA以1cm/s的速度向点A运动，同时，点Q从点B开始沿BC以2cm/s的速度向点C运动．当t＝　   　s时，四边形ACQP的面积为△PQB面积的． 【答案】3． 【解析】当运动时间为t s时，BP＝t cm，BQ＝2t cm，根据四边形ACQP的面积为△PQB面积的．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 当运动时间为t s时，BP＝t cm，BQ＝2t cm， 由题意得：×5×6﹣•t•2t＝וt•2t， 整理得：t2＝9， 解得：t1＝3，t2＝﹣3（不符合题意，舍去）， 即当t＝3s时，四边形ACQP的面积为△PQB面积的， 故答案为：3． 5.如图，AO＝BO＝6厘米，OC是一条射线，OC⊥AB．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线OC方向爬行，它们同时出发，当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过 　               　秒，△POQ的面积为8平方厘米． 【答案】2秒或4秒或3+． 【解析】分两种情况，①当点P在AO上时，②当点P在BO上时，分别根据△POQ的面积为8平方厘米．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 分两种情况： ①当点P在AO上时， 由题意得：（6﹣t）•2t＝8， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t1＝2，t2＝4； ②当点P在BO上时， 由题意得：（t﹣6）•2t＝8， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t3＝3+，t4＝3﹣（不符合题意，舍去）； 综上所述，经过2秒或4秒或3+秒，△POQ的面积为8平方厘米． 故答案为：2秒或4秒或3+． 6.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）． （1）当运动时间为t（s）时，CP＝　  　cm，CQ＝　       　cm；（用含t的代数式表示） （2）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值． 【答案】解：（1）当运动时间为t（s）时，CP＝2t cm，AQ＝4t cm， ∴CQ＝AC﹣AQ＝（16﹣4t）cm． 故答案为：2t，（16﹣4t）； （2）根据题意得：CP•CQ＝×BC•AC， 即×2t•（16﹣4t）＝××8×16， 整理得：t2﹣4t+4＝0， 解得：t1＝t2＝2． 答：t的值为2． 7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1cm/s． （1）运动几秒时，点P，Q相距6cm？ （2）△PCQ的面积能等于10cm2吗？为什么？ 【答案】解：（1）6÷1＝6（秒）． 当运动时间为t（0≤t≤6）秒时，CP＝t cm，CQ＝（8﹣t）cm， 根据题意得：t2+（8﹣t）2＝62， 整理得：t2﹣8t+14＝0， 解得：t1＝4﹣，t2＝4+． 答：运动（4﹣）秒或（4+）秒时，点P，Q相距6cm； （2）△PCQ的面积不能等于10cm2，理由如下： 假设△PCQ的面积能等于10cm2，当运动时间为t（0≤t≤6）秒时，CP＝t cm，CQ＝（8﹣t）cm， 根据题意得：t（8﹣t）＝10， 整理得：t2﹣8t+20＝0， ∵Δ＝（﹣8）2﹣4×1×20＝﹣16＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立， 即△PCQ的面积不能等于10cm2． 学科网（北京）股份有限公司 $$