2.2 一元二次方程的解法 暑假题型专练2024-2025学年浙教版八年级数学下册

浙教版八年级下册 2.2 一元二次方程的解法 暑假题型专练 一、开平方法解一元二次方程 1.已知x＝﹣2是关于x的方程ax2﹣12＝0的解，则a的值为（　　） A.3 B.﹣3 C.6 D.﹣6 2.若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A.1，4 B.1，﹣1 C.2，﹣2 D.3，0 3.如图是一个简单的程序计算器，如果输出的数值为﹣10，则输入x的值为（　　） A.﹣8 B.或 C.或 D. 4.已知关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，则关于x的方程m（x+a﹣5）2+n＝0的解是 　    　． 5.若方程ax2+c＝0的解是x＝1，则方程a（x﹣1）2+c＝0的解是x＝　         　． 6.4（2x﹣1）2＝36． 解：（2x﹣1）2＝9； 2x﹣1＝3……第一步； 2x＝4……第二步； x＝2……第三步； （1）以上解方程的过程中从第 　  　步开始出现错误，错误的原因是 　  ． （2）请写出正确的解方程过程． 7.在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程x（x+8）＝4 解：原方程可变形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4]＝4 （x+4）2﹣42＝4 （x+4）2＝20 直接开平方，得x1＝﹣4+2，x2＝﹣4﹣2． 我们称这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+2）（x+8）＝40时写的解题过程： 解：原方程可变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝40 （x+a）2﹣b2＝40 （x+a）2＝40+b2 直接开平方，得x1＝c，x2＝d． 上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是　  　，　  　，　  　，　  　． （2）请用“平均数法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4． 二、配方法解一元二次方程 1.若将一元二次方程x2﹣8x+5＝0化成（x+a）2+b＝0的形式，则a和b的值分别为（　　） A.4，11 B.4，19 C.﹣4，﹣11 D.﹣4，﹣19 2.将一元二次方程x2﹣6x﹣9＝0配方后得到（　　） A.（x﹣3）2＝0 B.（x+3）2＝0 C.（x+3）2＝18 D.（x﹣3）2＝18 3.方程x2+6x﹣5＝0的左边配成完全平方式后所得的方程为（　　） A.（x+3）2＝14 B.（x﹣3）2＝14 C. D.以上答案都不对 4.若方程x2﹣4096576＝0的两根为x1＝2024，x2＝﹣2024，则方程x2﹣2x﹣4096575＝0的两根为 　         　． 5.将一元二次方程x2+8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式为 　      　． 6.已知关于x的一元二次方程（m+1）x|m|+1+（m﹣2）x﹣1＝0． （1）求m的值； （2）用配方法解这个方程． 7.阅读下列材料： 有人研究了利用几何图形求解方程x2+34x﹣71000＝0的方法，该方法求解的过程如下： 第一步：构造 已知小正方形边长为x，将其边长增加17，得到大正方形（如图）． 第二步：推理 根据图形中面积之间的关系，可得（x+17）2＝x2+2×17x+172． 由原方程x2+34x﹣71000＝0，得x2+34x＝71000． 所以（x+17）2＝71000+172． 所以（x+17）2＝71289． 直接开方可得正根x＝250． 依照上述解法，要解方程x2+bx+c＝0（b＞0），请写出第一步“构造”的具体内容：　                       　； 与第二步中“（x+17）2＝71000+172“相应的等式是 　              　． 三、换元法解一元二次方程 1.实数x满足方程（x2+x）2+（x2+x）﹣2＝0，则x2+x的值等于（　　） A.﹣2 B.1 C.﹣2或1 D.2或﹣1 2.已知关于x的一元二次方程3x2﹣2xy﹣y2＝0，则＝（　　） A.1 B.1或 C.1或 D. 3.已知a、b为实数，且满足（a2+b2）2+2（a2+b2）﹣15＝0，则代数式a2+b2的值为（　　） A.3或﹣5 B.3 C.﹣3或5 D.5 4.（1）已知（2a+1+2b）（2a﹣1+2b）＝63，则a+b的值为 　  　； （2）如果（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝63，那么a2+b2的值为 　  　． 5.若实数x满足方程（x2+2x）（x2+2x﹣2）＝8，那么代数式3x2+6x+2011的值是 　   　． 6.在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在2•+1＝0中，令＝y，则有y2﹣2y+1＝0，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明给出的问题：求方程（x2﹣1）2+（x2﹣1）＝0的根． 7.阅读下面的材料，回答问题：方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0一个一元四次方程，我们可以将x2﹣1看成一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0①，解①得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2﹣1＝1，x2﹣1＝1，x＝±； 当y＝4时，x2﹣1＝4，x＝±． ∴原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣． （1）在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到 　   　的目的（填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； （2）仿照上面的方法，解方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0． 四、根据一元二次方程根的情况求字母的值 1.已知关于x的方程（x﹣2）（x﹣4）＝m有实数根，则m的值有可能是（　　） A.﹣3 B.﹣2 C.﹣1 D. 2.若关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，则m的值可以为（　　） A.﹣1 B. C.0 D.1 3.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 4.已知关于x的方程有两个实数根，请写出一个符合条件的m的值 　   　． 5.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有实数根，则常数m的值可以是 　    　．（写出一个符合要求的值即可） 6.已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0． （1）当c＝b﹣2时，利用根的判别式判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的非零实数根，写出一组满足条件的b，c的值，并求此时方程的根． 7.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0，其中a，b，c为△ABC的三边． （1）若x＝1是方程的根，判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由． 五、根据一元二次方程根的情况求字母的取值范围 1.已知关于x的一元二次方程kx2﹣（4k﹣1）x+4k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A.k＜ B.k＜且k≠0 C.k＞﹣ D.k＞﹣且k≠0 2.若关于x的方程x2﹣4x+k+2＝0有两个不相等的实数根，则直线y＝（k﹣2）x+1不经过（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A.k＞﹣2 B.k≥﹣2 C.k≥﹣2且k≠2 D.k＞﹣2且k≠2 4.关于x的方程x2﹣x+c＝0有两个不相等的实数，则实数c的取值范围是 　     　． 5.若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是 　     　． 6.已知关于x的一元二次方程mx2﹣3（m+1）x+2m+3＝0 （1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，当该方程的两个根都是整数，求正整数m的值． 7.已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m取满足条件的最小奇数时，求方程的根． 浙教版八年级下册 2.2 一元二次方程的解法 暑假题型专练（参考答案） 一、开平方法解一元二次方程 1.已知x＝﹣2是关于x的方程ax2﹣12＝0的解，则a的值为（　　） A.3 B.﹣3 C.6 D.﹣6 【答案】A 【解析】把x＝﹣2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程来求a的值． 把x＝﹣2代入ax2﹣12＝0，得 4a﹣12＝0， 解得a＝3． 故选：A． 2.若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A.1，4 B.1，﹣1 C.2，﹣2 D.3，0 【答案】C 【解析】方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数，据此可得m+1+2m﹣4＝0，求得m的值，继而可得答案． 由题意知，方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数， ∴m+1+2m﹣4＝0， 解得m＝1， ∴m+1＝2，2m﹣4＝﹣2， 故选：C． 3.如图是一个简单的程序计算器，如果输出的数值为﹣10，则输入x的值为（　　） A.﹣8 B.或 C.或 D. 【答案】C 【解析】根据程序计算器列方程，解方程可解答． 由题意得：（x+1）2×（﹣2）＝﹣10， ∴（x+1）2＝5， ∴x+1＝±， ∴x＝﹣1±． 故选：C． 4.已知关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，则关于x的方程m（x+a﹣5）2+n＝0的解是 　    　． 【答案】x1＝2，x2＝6． 【解析】把关于x的方程m（x+a﹣5）2+n＝0看作关于（x﹣5）的一元二次方程，则x﹣5＝﹣3或x﹣5＝1，然后解一次方程即可． ∵关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1， ∴关于（x﹣5）的方程m（x+a﹣5）2+n＝0的解满足x﹣5＝﹣3或x﹣5＝1， 解得x1＝2，x2＝6． 故答案为：x1＝2，x2＝6． 5.若方程ax2+c＝0的解是x＝1，则方程a（x﹣1）2+c＝0的解是x＝　         　． 【答案】x1＝2，x2＝0． 【解析】由题意可知x2＝﹣＝1，即可得出（x﹣1）2＝﹣＝1，然后利用直接开平方法解方程即可． ∵方程ax2+c＝0的解是x＝1， ∴x2＝﹣＝1， ∴方程a（x﹣1）2+c＝0中，（x﹣1）2＝﹣＝1， ∴x﹣1＝±1， ∴x1＝2，x2＝0， 故答案为：x1＝2，x2＝0． 6.4（2x﹣1）2＝36． 解：（2x﹣1）2＝9； 2x﹣1＝3……第一步； 2x＝4……第二步； x＝2……第三步； （1）以上解方程的过程中从第 　  　步开始出现错误，错误的原因是 　  ． （2）请写出正确的解方程过程． 【答案】解：（1）以上解方程的过程中从第一步开始出现错误，错误的原因是求9的平方根出错． 故答案为：一，求9的平方根出错； （2）4（2x﹣1）2＝36， ∴（2x﹣1）2＝9， ∴2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3， ∴2x＝4或2x＝﹣2， ∴x＝2或x＝﹣1． 7.在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程x（x+8）＝4 解：原方程可变形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4]＝4 （x+4）2﹣42＝4 （x+4）2＝20 直接开平方，得x1＝﹣4+2，x2＝﹣4﹣2． 我们称这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+2）（x+8）＝40时写的解题过程： 解：原方程可变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝40 （x+a）2﹣b2＝40 （x+a）2＝40+b2 直接开平方，得x1＝c，x2＝d． 上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是　  　，　  　，　  　，　  　． （2）请用“平均数法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4． 【答案】解：（1）原方程可变形，得：[（x+5）﹣3][（x+5）+3]＝40． （x+5）2﹣32＝40， （x+5）2＝40+32． 直接开平方并整理，得．x1＝2，x2＝﹣12． 上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5、3、2、﹣12， 故答案为：5、3、2、﹣12； （2）原方程可变形，得：[（x+2）﹣4][（x+2）+4]＝4． （x+2）2﹣42＝4， （x+2）2＝4+42． ∴x＝﹣2±2， ∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2． 二、配方法解一元二次方程 1.若将一元二次方程x2﹣8x+5＝0化成（x+a）2+b＝0的形式，则a和b的值分别为（　　） A.4，11 B.4，19 C.﹣4，﹣11 D.﹣4，﹣19 【答案】C 【解析】用配方法对所给一元二次方程变形为（x+a）2+b＝0的形式即可解决问题． 因为x2﹣8x+5＝x2﹣8x+16﹣16+5＝（x﹣4）2﹣11， 所以方程x2﹣8x+5＝0可化成（x﹣4）2﹣11＝0， 所以a＝﹣4，b＝﹣11． 故选：C． 2.将一元二次方程x2﹣6x﹣9＝0配方后得到（　　） A.（x﹣3）2＝0 B.（x+3）2＝0 C.（x+3）2＝18 D.（x﹣3）2＝18 【答案】D 【解析】先把常数项移项，再配方． ∵x2﹣6x﹣9＝0， ∴x2﹣6x＝9． ∴x2﹣6x+9＝9+9． ∴（x﹣3）2＝18． 故选：D． 3.方程x2+6x﹣5＝0的左边配成完全平方式后所得的方程为（　　） A.（x+3）2＝14 B.（x﹣3）2＝14 C. D.以上答案都不对 【答案】A 【解析】先变形得到x2+6x＝5，再把方程两边加上9得x2+6x+9＝5+9，然后根据完全平方公式得到（x+3）2＝14． 先移项得x2+6x＝5， 方程两边加上9得x2+6x+9＝5+9， 所以（x+3）2＝14． 故选：A． 4.若方程x2﹣4096576＝0的两根为x1＝2024，x2＝﹣2024，则方程x2﹣2x﹣4096575＝0的两根为 　         　． 【答案】x1＝2025，x2＝﹣2023． 【解析】利用配方法、结合题目给出的方程的两根解出方程． x2﹣2x﹣4096575＝0， 则x2﹣2x＝4096575， ∴x2﹣2x+1＝4096575+1， ∴（x﹣1）2＝4096576， ∴x﹣1＝±2024， ∴x1＝2025，x2＝﹣2023， 故答案为：x1＝2025，x2＝﹣2023． 5.将一元二次方程x2+8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式为 　      　． 【答案】（x+4）2＝21． 【解析】根据配方法将方程变形，即可求解． x2+8x﹣5＝0， ∴x2+8x+16＝21， ∴（x+4）2＝21． 故答案为：（x+4）2＝21． 6.已知关于x的一元二次方程（m+1）x|m|+1+（m﹣2）x﹣1＝0． （1）求m的值； （2）用配方法解这个方程． 【答案】解：（1）根据一元二次方程的定义可得， 解得m＝1； （2）当m＝1时，方程为 2x2﹣x﹣1＝0， 两边同除以2得：， 配方，得：， 即：， 直接开平方，得：， 解得x1＝1，． 7.阅读下列材料： 有人研究了利用几何图形求解方程x2+34x﹣71000＝0的方法，该方法求解的过程如下： 第一步：构造 已知小正方形边长为x，将其边长增加17，得到大正方形（如图）． 第二步：推理 根据图形中面积之间的关系，可得（x+17）2＝x2+2×17x+172． 由原方程x2+34x﹣71000＝0，得x2+34x＝71000． 所以（x+17）2＝71000+172． 所以（x+17）2＝71289． 直接开方可得正根x＝250． 依照上述解法，要解方程x2+bx+c＝0（b＞0），请写出第一步“构造”的具体内容：　                       　； 与第二步中“（x+17）2＝71000+172“相应的等式是 　              　． 【答案】已知小正方形边长为x，将其边长增加，得到大正方形； （x+）2＝﹣c+（）2． 【解析】第一步：仿照材料中的内容构造具体内容； 第二步：根据图形面积关系和等式的性质列出相应的等式． 解方程x2+bx+c＝0（b＞0）， 第一步“构造”：已知小正方形边长为x，将其边长增加，得到大正方形， 故答案为：已知小正方形边长为x，将其边长增加，得到大正方形； 第二步：推理， 根据图形面积之间的关系，可得（x+）2＝x2+2×x+（）2． 由原方程x2+bx+c＝0，得x2+bx＝﹣c． 所以（x+）2＝﹣c+（）2， 故答案为：（x+）2＝﹣c+（）2． 三、换元法解一元二次方程 1.实数x满足方程（x2+x）2+（x2+x）﹣2＝0，则x2+x的值等于（　　） A.﹣2 B.1 C.﹣2或1 D.2或﹣1 【答案】B 【解析】运用换元法解方程，再根据根的判别式判断根的情况，由此即可求解． 根据题意，设x2+x＝M，则原式变形得M2+M﹣2＝0， 因式分解法解一元二次方程得，M2+M﹣2＝（M﹣1）（M+2）＝0， ∴M1＝﹣2，M2＝1， 当M＝﹣2时，x2+x＝﹣2，变形得，x2+x+2＝0，根据判别式Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，无实根； 当M＝1时，x2+x＝1，变形得，x2+x﹣1＝0，根据判别式Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，方程有两个实根； ∴x2+x＝1， 故选：B． 2.已知关于x的一元二次方程3x2﹣2xy﹣y2＝0，则＝（　　） A.1 B.1或 C.1或 D. 【答案】C 【解析】方程两边同时除以y2，构造以为未知数的一元二次方程，据此求解． ∵3x2﹣2xy﹣y2＝0 ∴3（）2﹣2﹣1＝0， 解得：＝1或﹣． 故选：C． 3.已知a、b为实数，且满足（a2+b2）2+2（a2+b2）﹣15＝0，则代数式a2+b2的值为（　　） A.3或﹣5 B.3 C.﹣3或5 D.5 【答案】B 【解析】设x＝a2+b2，方程化为关于x的一元二次方程，求出方程的解即可得到a2+b2的值． 设x＝a2+b2，方程化为x2+2x﹣15＝0， 分解因式得：（x﹣3）（x+5）＝0， 可得x﹣3＝0或x+5＝0， 解得：x＝3或x＝﹣5， ∵a2+b2≥0， ∴a2+b2＝3． 故选：B． 4.（1）已知（2a+1+2b）（2a﹣1+2b）＝63，则a+b的值为 　  　； （2）如果（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝63，那么a2+b2的值为 　  　． 【答案】（1）±4． （2）8． 【解析】（1）设2a+2b＝x，则原式化为（x+1）（x﹣1）＝63，解方程求得x的值，进一步即可求得a+b的值． （2）设a2+b2＝x，则原式化为（x+1）（x﹣1）＝63，解方程求得x的值，即可求得a2+b2的值． （1）设2a+2b＝x，则原式化为（x+1）（x﹣1）＝63， ∴x2﹣1＝63， ∴x2＝64， 解得x＝±8， ∴a+b＝±4． 故答案为：±4． （2）设a2+b2＝x，则原式化为（x+1）（x﹣1）＝63， ∴x2﹣1＝63， ∴x2＝64， 解得x＝±8， ∵a2+b2≥0， ∴a2+b2＝8． 故答案为：8． 5.若实数x满足方程（x2+2x）（x2+2x﹣2）＝8，那么代数式3x2+6x+2011的值是 　   　． 【答案】2023． 【解析】设x2+2x＝a，则原方程化成：a（a﹣2）＝8，解方程求出a，再把所求代数式的前两项提取公因数3，再把x2+2x的值整体代入，进行计算即可． 设x2+2x＝a，则原方程化成：a（a﹣2）＝8， a2﹣2a﹣8＝0， （a﹣4）（a+2）＝0， a﹣4＝0，a+2＝0， a1＝4，a2＝﹣2， ∴x2+2x的值为4或﹣2， 当x2+2x＝4时， 3x2+6x+2011 ＝3（x2+2x）+2011 ＝3×4+2011 ＝12+2011 ＝2023， ∵x2+2x≥﹣1， 代数式3x2+6x+2011的值是2023， 故答案为：2023． 6.在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在2•+1＝0中，令＝y，则有y2﹣2y+1＝0，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明给出的问题：求方程（x2﹣1）2+（x2﹣1）＝0的根． 【答案】解：设y＝x2﹣1，则y2+y＝0， 分解因式得：y（y+1）＝0， 所以y＝0或y+1＝0， 解得：y1＝0，y2＝﹣1， 当y＝0，即x2﹣1＝0时， 解得：x1＝1，x2＝﹣1； 当y＝﹣1，即x2﹣1＝﹣1时， 解得：x3＝x4＝0． ∴x1＝1，x2＝﹣1，x3＝x4＝0是原方程的根． 7.阅读下面的材料，回答问题：方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0一个一元四次方程，我们可以将x2﹣1看成一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0①，解①得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2﹣1＝1，x2﹣1＝1，x＝±； 当y＝4时，x2﹣1＝4，x＝±． ∴原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣． （1）在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到 　   　的目的（填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； （2）仿照上面的方法，解方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0． 【答案】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到降次的目的， 故答案为：降次； （2）设x2﹣x＝y，则原方程可化为y2﹣4y﹣12＝0①， 解①得y1＝﹣2，y2＝6． 当y＝﹣2时，x2﹣x＝﹣2，方程无实数解； 当y＝6时，x2﹣x＝6，解得：x1＝﹣2，x2＝3． ∴原方程的解为：x1＝﹣2，x2＝3． 四、根据一元二次方程根的情况求字母的值 1.已知关于x的方程（x﹣2）（x﹣4）＝m有实数根，则m的值有可能是（　　） A.﹣3 B.﹣2 C.﹣1 D. 【答案】C 【解析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再根据方程有实数根得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 关于x的方程（x﹣2）（x﹣4）＝m可化为x2﹣6x+8﹣m＝0， ∵方程有实数根， ∴Δ≥0，即Δ＝（﹣6）2﹣4（8﹣m）≥0， 解得m≥﹣1， ∵﹣3＜﹣2＜﹣＜﹣1， ∴m的值可能为﹣1． 故选：C． 2.若关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，则m的值可以为（　　） A.﹣1 B. C.0 D.1 【答案】D 【解析】根据关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，得到Δ＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值即可． ∵关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×m＝1﹣4m＜0， 解得：m＞． 故选：D． 3.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】D 【解析】先根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根得出关于m的不等式，求出m的取值范围，进而可得出结论． ∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即Δ＝（﹣3）2﹣4m＞0， 解得m＜， ∴实数m的值可以是2． 故选：D． 4.已知关于x的方程有两个实数根，请写出一个符合条件的m的值 　   　． 【答案】见试题解答内容 【解析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0和被开方数2﹣m≥0． ∵关于x方程（m﹣1）x2﹣＝0的有两个实数根， ∴， 解得：0≤m≤2且m≠1． 故答案为：1.2． 5.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有实数根，则常数m的值可以是 　    　．（写出一个符合要求的值即可） 【答案】4（答案不唯一）． 【解析】根据方程有实数根可得出关于m的不等式，求出m的取值范围，进而可得出结论． ∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有实数根， ∴Δ≥0，即Δ＝16﹣4m≥0， 解得m≤4， ∴m的值可以是4． 故答案为：4（答案不唯一）． 6.已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0． （1）当c＝b﹣2时，利用根的判别式判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的非零实数根，写出一组满足条件的b，c的值，并求此时方程的根． 【答案】解：（1）∵c＝b﹣2， ∴Δ＝b2﹣4c＝b2﹣4（b﹣2）＝（b﹣2）2+4， ∵（b﹣2）2＞0， ∴Δ＝（b﹣2）2+4＞0． ∴Δ＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4c＝0， 若b＝2，c＝1，方程变形为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1． 7.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0，其中a，b，c为△ABC的三边． （1）若x＝1是方程的根，判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】解：（1）把x＝1代入方程得， a+c﹣2b﹣a+c＝0， 化简得c＝b， 则该三角形ABC的形状为等腰三角形． （2）由题意可得方程有两个相等的实数根， 则方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0的判别式， Δ＝（﹣2b）2﹣4a×（a+c）（﹣a+c）＝0， 4b2﹣4×（c2﹣a2）＝0， 化简可得b2+a2＝c2， 则该三角形ABC的形状为直角三角形． 五、根据一元二次方程根的情况求字母的取值范围 1.已知关于x的一元二次方程kx2﹣（4k﹣1）x+4k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A.k＜ B.k＜且k≠0 C.k＞﹣ D.k＞﹣且k≠0 【答案】D 【解析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0且二次项系数不为0，求出k的范围即可． ∵关于x的一元二次方程kx2﹣（4k﹣1）x+4k﹣3＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（4k﹣1）2﹣4k（4k﹣3）＞0且k≠0， 解得：k且k≠0． 故选：D． 2.若关于x的方程x2﹣4x+k+2＝0有两个不相等的实数根，则直线y＝（k﹣2）x+1不经过（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【解析】由关于x的方程x2﹣4x+k+2＝0有两个不相等的实数根，得到Δ＞0，即Δ＝（﹣4）2﹣4（k+2）＝﹣4k+8＞0，解得k＜2，可得k﹣2＜0，然后根据一次函数的性质得到直线直线y＝（k﹣2）x+1经过的象限． 根据题意得：Δ＝（﹣4）2﹣4（k+2）＝﹣4k+8＞0， 解得k＜2． 则k﹣2＜0， 则直线y＝（k﹣2）x+1不经过第三象限． 故选：C． 3.已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A.k＞﹣2 B.k≥﹣2 C.k≥﹣2且k≠2 D.k＞﹣2且k≠2 【答案】C 【解析】根据根的判别式大于或等于零且二次项系数不等于零列式求解即可． 由题意得，Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣2）×（k+1）≥0且k﹣2≠0， 解得k≥﹣2且k≠2． 故选：C． 4.关于x的方程x2﹣x+c＝0有两个不相等的实数，则实数c的取值范围是 　     　． 【答案】． 【解析】根据一元二次方程根的情况求参数，根据两个不相等的实数，得Δ＝b2﹣4ac＞0，代入数值进行计算，即可作答． ∵关于x的方程x2﹣x+c＝0有两个不相等的实数， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×c＞0， 解得， 故答案为：． 5.若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是 　     　． 【答案】m＞． 【解析】由方程的系数结合根的判别式Δ＜0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围． ∵关于x的一元二次方程x2+x+m＝0没有实数根， ∴Δ＝12﹣4×1×m＝1﹣4m＜0， 解得：m＞． 故答案为：m＞． 6.已知关于x的一元二次方程mx2﹣3（m+1）x+2m+3＝0 （1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，当该方程的两个根都是整数，求正整数m的值． 【答案】解：（1）由题意m≠0， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即[﹣3（m+1）]2﹣4m（2m+3）＝（m+3）2＞0， 解得：m≠﹣3， 则m的取值范围为m≠0和m≠﹣3； （2）∵Δ＝（m+3）2， ∴x＝， ∴x1＝，x2＝1， 当x1＝是整数时，可得m＝1或m＝﹣1（舍）或m＝3， ∴m＝1或m＝3． 7.已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m取满足条件的最小奇数时，求方程的根． 【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0 有两个不相等的实数根， ∴m+1≠0且Δ＞0． ∵Δ＝（2m）2﹣4（m+1）（m﹣3）＝4（2m+3）， ∴2m+3＞0． 解得 m＞． ∴m的取值范围是 m＞且m≠﹣1． （2）在m＞且m≠﹣1的范围内，最小奇数m为1． 此时，方程化为x2+x﹣1＝0． ∵Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5， ∴． ∴方程的根为 ，． 学科网（北京）股份有限公司 $$