同步微点进阶强化练2 空间向量基本定理-2025-2026学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

强化练2    空间向量基本定理 一、单选择题 （24-25高二·上海·课堂例题） 1．如图，在长方体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量基本定理表示出可得答案. 【详解】 . 故选：A. （23-24高二下·江苏盐城·期中） 2．已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量基本定理易求得的值. 【详解】由，因四点共面,由空间向量基本定理可知，需使，解得. 故选：B. （24-25高二上·河北保定·开学考试） 3．若是空间的一个基底，则下列向量不共面的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间基底的概念对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，是空间的一个基底， A选项，由于，所以共面，A选项错误. B选项，由于不存在实数，使得， 所以不共面，所以B选项正确. C选项，由于，所以共面，C选项错误. D选项，由于， 所以共面，D选项错误. 故选：B 4．在四面体中，，，，为的重心，在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点，根据向量的线性运算法则，结合重心的性质将表示为的线性形式即可. 【详解】延长交于点，则点为的中点， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 因为，，， 所以， 故选：C. （24-25高二上·上海·课后作业） 5．如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可知，延长与交于，连接，则由题意可得∥，令，，则利用不同的方法将用表示，可求出，然后利用三角形相似可求得结果. 【详解】由条件可知，延长与交于，连接， 因为平面， 平面，平面平面， 所以∥， 令，， 则有， ， 根据向量基底表示法的唯一性， 得解得 ∥， ，， ． 故选：D． （23-24高二上·山东枣庄·阶段练习） 6．如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在正方体中，由点M是上靠近点C的三等分点， 得，于是， 由N为AM与平面的交点，得点共面，则，所以. 故选：C （23-24高一下·重庆·期末） 7．在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，当点与点之间的距离为3时，（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算可得，利用模长公式，结合数量积的运算即可求解. 【详解】分别作，，垂足为，则． 由，可得， 所以． 因为， 则 即， 故， 故选：B．    （23-24高二上·湖北·开学考试） 8．在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为的中点，N在侧面上（包含边界），若，则下列正确的是（    ）      A．若，则∥平面 B．若，则 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】C 【分析】根据可证平面，设，且，进而可得，对于A：若，则点即为点，进而可得结果；对于B：若，可得点在线段上（包括短点），结合垂直关系分析判断；对于C、D：过作，垂足为，可证平面，则，结合图形分析判断. 【详解】因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 且平面，可得， 又因为N在侧面上（包含边界），设，且， 可得 ， 又因为，可得，且. 对于选项A：若，则，可得点即为点， 显然平面，故A错误； 对于选项B：若，则，可得点在线段上（包括端点）， 由平面，可知当且仅当点为点，，故B错误； 过作，垂足为，可得，，        因为平面，平面，则， 且，平面，所以平面， 可得， 对于选项C：显然当点即为点时，最小，此时， 可得，故C正确； 对于选项D：显然当点即为点时，最大，则最大，此时， 可得，故D错误； 故选：C. 【点睛】关键点睛：1. 设，且，根据空间向量基本定理分析可得，方便建立关系； 2.分析可得平面，则，将的大小转化为的大小. 二、多选择题 （23-24高二下·全国·课后作业） 9．在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】借助空间向量的线性运算可得答案． 【详解】 ，故A错误、B正确； ，故C错误、D正确． 故选：BD． 10．如图，在四面体P﹣ABC中，下列说法正确的是（      ） A．若，则 B．若四面体各棱长均为4，分别是的中点，则 C．若在平面上存在一点，使，则 D．若该四面体为正四面体，则二面角的大小为 【答案】AC 【分析】A选项，证明出线面垂直，进而证明线线垂直；B选项，作出辅助线，利用勾股定理求出的长；C选项，利用空间向量基本定理得到；D选项，作出辅助线，得到为二面角的平面角，利用余弦定理求出二面角的大小. 【详解】因为，所以平面， 因为平面，所以，A正确； 连接，因为四面体各棱长均为4，分别是的中点， 则由勾股定理得：，所以是等腰三角形， 由三线合一可知：，由勾股定理得： ，B错误； ，即， 所以，所以，C正确； 取AB中点G，连接PG，CG，因为该四面体为正四面体， 所以，则为二面角的平面角， 设正四面体棱长为，则 则，所以二面角的大小不是60°，D错误. 故选：AC （23-24高二上·广东惠州·阶段练习） 11．如图，在三棱锥中，两两垂直，且.给出下列四个命题，其中正确的命题是（       ） A． B． C．与的夹角为 D．三棱锥的体积为 【答案】AB 【分析】A选项，利用空间向量数量积公式得到A正确；B选项，变形得到；C选项，求出及，利用向量夹角余弦公式求出答案；D选项，推出三棱锥体积为，D错误. 【详解】A选项，因为两两垂直，所以， 故， A正确； B选项， ，B正确； C选项， ， ， 由勾股定理得， 所以与的夹角余弦为， 故与的夹角为，C错误； D选项，， 因为， 所以三棱锥的体积为， 由于，D错误. 故选：AB 三、填空题： （24-25高二下·全国·课后作业） 12．定义向量在基下的坐标如下：若，则叫作在基下的坐标．已知向量在基下的坐标为，则在基下的坐标为 ，在基下的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用空间向量的基本定理及向量相等建立等式求解即可得出． 【详解】由条件知． 设在基下的坐标为， 则， ，，不共面， ，， 即在基下的坐标为， 设在基下的坐标为，则， ，，不共面， ，解得， 即在基下的坐标为， 故答案为：；． （23-24高二上·河北石家庄·阶段练习） 13．如图，在三棱柱中，，为的中点，E为的中点，和相交于点P，则 ． 【答案】## 【分析】根据给定条件，可得，再利用空间向量的基底表示，然后利用向量数量积的运算律求解即得. 【详解】在三棱柱中，连接，由分别为的中点， 得，且，则， ， ，而， 所以 . 故答案为：. （2024高二·全国·专题练习） 14．平行六面体中，，，，动点在直线上运动，则的最小值为 ． 【答案】## 【分析】根据题设，，，可选取，，为一组基底，将和分解为，，表示，进而利用数量积进行运算即可求出最小值． 【详解】设，，，    设，则，， 则， 由，，， 可得，， ， 当时，的最小值为． 故答案为：． 四、解答题. （23-24高二下·江苏淮安·期中） 15．如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. (1)以为基底表示； (2)若，且，，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的加减数乘运算，结合题设条件即可求得； （2）先求出平面的基底两两之间的数量积，再根据（1）中的表示式，两边取平方，利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】（1）由图可得，; （2）由题意，， 则， 于是，由两边取平方， ， 故. （23-24高二下·江苏连云港·阶段练习） 16．已知，，是空间中不共面的向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三点共线可设，列方程求； （2）由四点共面可设，列方程可得的关系，由此可求的最大值． 【详解】（1）因为三点共线，则， 又， ， 有}解得； （2）因为四点共面，则， 则， 有 解得， 所以， 当时，取到最大值 17．如图所示，在三棱柱中，，是的中点. (1)用表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，时，. 【分析】（1）结合图形由空间向量的线性运算计算可得； （2）设，用向量表示，由向量垂直根据空间向量的数量积的坐标运算求出即可. 【详解】（1） （2）假设存在点，使，设， 显然. 因为，所以， 即 . 设，又， 即， 解得， 所以当时，. （23-24高二上·江苏苏州·阶段练习） 18．如图，在矩形ABCD和ABEF中， ， 记． (1)当时，求MN与AE夹角的余弦值； (2)是否存在使得平面ABCD？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）利用空间向量的数量积求夹角即可； （2）利用空间向量证明线面垂直即可. 【详解】（1）, 在矩形ABEF中,易知， ， 当时，, , , . 故MN与AE夹角的余弦值. （2）若平面ABCD， 平面ABCD， . 则显然成立， 又，即， 解得,满足题意. 故存在，使得平面ABCD. （23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习） 19．如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)为定值 【分析】（1）根据空间向量基本定理进行求解； （2）设，表达出，根据平面，设存在实数，使得，表达出，，从而得到方程，得到，分和时，结合根的判别式，得到，求出为定值. 【详解】（1）因为四棱锥的底面为平行四边形，所以， 故； （2）由（1）知，，又， 所以， 则， ，， 设，又， 则， 因为平面，则存在实数，使得， 故， 所以 ， 故， 整理得，， 当时，，解得， 当时，由， 解得或， 综上，， 所以对所有满足条件的平面，点的轨迹长度为， 故为定值，. 【点睛】空间向量解决空间几何中点的存在性问题或轨迹问题，可将几何问题转化为代数问题，化繁为简，可大大节省思考量. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 强化练2    空间向量基本定理 一、单选择题 （24-25高二·上海·课堂例题） 1．如图，在长方体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． （23-24高二下·江苏盐城·期中） 2．已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． （24-25高二上·河北保定·开学考试） 3．若是空间的一个基底，则下列向量不共面的为（    ） A． B． C． D． 4．在四面体中，，，，为的重心，在上，且，则（    ） A． B． C． D． （24-25高二上·上海·课后作业） 5．如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． （23-24高二上·山东枣庄·阶段练习） 6．如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（    ） A． B． C． D． （23-24高一下·重庆·期末） 7．在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，当点与点之间的距离为3时，（    ）． A． B． C． D． （23-24高二上·湖北·开学考试） 8．在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为的中点，N在侧面上（包含边界），若，则下列正确的是（    ）      A．若，则∥平面 B．若，则 C．当最小时， D．当最大时， 二、多选择题 （23-24高二下·全国·课后作业） 9．在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，在四面体P﹣ABC中，下列说法正确的是（      ） A．若，则 B．若四面体各棱长均为4，分别是的中点，则 C．若在平面上存在一点，使，则 D．若该四面体为正四面体，则二面角的大小为 （23-24高二上·广东惠州·阶段练习） 11．如图，在三棱锥中，两两垂直，且.给出下列四个命题，其中正确的命题是（       ） A． B． C．与的夹角为 D．三棱锥的体积为 三、填空题： （24-25高二下·全国·课后作业） 12．定义向量在基下的坐标如下：若，则叫作在基下的坐标．已知向量在基下的坐标为，则在基下的坐标为 ，在基下的坐标为 ． （23-24高二上·河北石家庄·阶段练习） 13．如图，在三棱柱中，，为的中点，E为的中点，和相交于点P，则 ． （2024高二·全国·专题练习） 14．平行六面体中，，，，动点在直线上运动，则的最小值为 ． 四、解答题. （23-24高二下·江苏淮安·期中） 15．如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. (1)以为基底表示； (2)若，且，，，求. （23-24高二下·江苏连云港·阶段练习） 16．已知，，是空间中不共面的向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值． 17．如图所示，在三棱柱中，，是的中点. (1)用表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. （23-24高二上·江苏苏州·阶段练习） 18．如图，在矩形ABCD和ABEF中， ， 记． (1)当时，求MN与AE夹角的余弦值； (2)是否存在使得平面ABCD？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． （23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习） 19．如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$