同步微点进阶强化练5 动态轨迹的“变中寻定”-2025-2026学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

强化练5    动态轨迹的“变中寻定” 一、单选择题 1．空间直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点坐标为A（3，1，0），B（－1，3，0），若点C满足＝＋，其中，∈R，＋＝1，则点C的轨迹为 A．平面 B．直线 C．圆 D．线段 【答案】B 【详解】设点C的坐标为，由题意可得 ， 再由＋＝1可得，， 故点C的轨迹方程为 故选：B． 2．如图，定点A，B都在平面内，定点，C是内异于A和B的动点，且，则动点C在平面内的轨迹是（    ） A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点 C．一段弧，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点 【答案】B 【分析】连接，由已知条件可得平面，从而可得，则点C在内的轨迹是以为直径的圆，进而可得答案 【详解】连接，因为，所以，又，， 所以平面，又平面，故， 因为A，B是平面上的定点，所以点C在内的轨迹是以为直径的圆， 又C是内异于A和B的点，故此轨迹要去掉A、B两个点，所以B正确. 故选：B 3．如图，已知正方体的棱长为3，点在棱上，且，是侧面内一动点，且，则点的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作交于点，得，进而得点P的轨迹是以G为圆心，半径的圆弧，求出弧长即可. 【详解】作交于点，则由正方体性质可知，， 因为，所以， 所以点P的轨迹是以G为圆心，半径的圆弧，如图， 所以，所以， 所以， 点的轨迹的长度为弧长. 故选：D. 【点睛】思路点睛：作交于点，由定值，和求出是一个定值，进而得点P的轨迹是以G为圆心，半径的圆弧，再利用已知条件求出，再结合弧长公式即可求解. 4．已知棱长为1的正方体，是的中点，动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点M做平面的平行截面，再求四边形面积即可. 【详解】 如图所示 E、F、G、M分别是、、、的中点， 则，，所以平面，平面，且， 所以平面 平面，故点P的轨迹为矩形. ，所以，所以. 故选：A 【点睛】本题考查面面平行的判定和面面平行的性质，以及正方体的截面问题，属综合中档题. （23-24高二上·福建福州·期末） 5．已知长方体，，，是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，可得点在矩形及内部，结合平面，利用面面平行的知识找出点的轨迹，然后根据长方体的结构特征与解三角形的知识算出答案. 【详解】在长方体中，由，，，得点在矩形及内部， 又平面，故点在过且平行于平面的平面内， 连接交于点，取中点，连接，在上取点，使得，连接，，， 由是长方体，可知对角面为矩形，且， 因为，， 所以且，四边形为平行四边形，可得， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 因为是平面内的相交直线， 故平面平面，即平面是过且平行于平面的平面， 所以点的轨迹是四边形截面与平面的交线，即线段. 因为矩形中，，，可知， 所以，可得中，， 所以，即动点的轨迹所形成的轨迹长度为3. 故选：A （23-24高三下·北京·开学考试） 6．正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】 以为坐标原点，以分别为轴的正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设，， 则，则， 因为平面，所以， 即，解得， 所以，所以， 又，所以当时，即是的中点时，取得最小值， 当或，即与点或重合时，取得最大值， 所以线段长度的取值范围为. 故选：C 7．如图，在长方体中，，，记为棱的中点，若空间中动点满足，则点的轨迹与侧面相交所形成的曲线长为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据长方体的几何性质，结合锐角三角函数定义、通过建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式进行求解即可. 【详解】因为点的轨迹与侧面相交， 所以点的轨迹在侧面内， 由长方体性质可知：都与平面垂直， 而在平面内，所以， 由， 可知，即，故， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，故所求点满足， 化简得， 故所求的即为此圆在矩形内的部分， 即圆心角为，半径为2的圆弧，长度为． 故选：D    【点睛】关键点睛：本题的关键是根据角的关系确定边之间的关系，利用空间两点间距离公式进行求解. （23-24高三上·北京·期中） 8．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则以下说法中不正确的是（    ） A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变 B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若是的中点，点在底面上运动时，不存在点满足平面 D．若点在底面上运动，则使直线与平面所成的角为的点的轨迹为圆上的一段弧 【答案】C 【分析】根据棱锥体积公式即判断A，建立空间直角坐标系，向量法求线线角、线面角，及利用法向量判断线面关系，即可判断BCD. 【详解】当在平面上运动时，到的距离恒为2，故四棱锥的体积不变，A对； 如下图示空间直角坐标系，， 所以且， 设与所成角为且，则， 当时，且，可得；当时，； 所以，故，B对； 如下图示空间直角坐标系，， 所以，则， 所以，又且面， 所以面，即是面的一个法向量， 由，则， 若平面，则，即， 显然，直线与底面有公共点，即存在点满足平面，C错； 若点在底面上运动，设，，则， 又面的一个法向量，则直线与平面所成的角为， 所以，整理得， 所以的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，其在底面上轨迹为圆上的一段弧，D对. 故选：C 二、多选择题 9．如图，在直三棱柱中，，若，则D可能为（    ） A．的中点 B．AC的中点 C．的中点 D．的重心 【答案】BCD 【分析】设E，F分别为AC和的中点，证明平面BEF，得点在平面BEF内，从而可得正确选项． 【详解】设E，F分别为AC和的中点，因为是直三棱柱，所以平面ABC，平面ABC，所以，又因为，E为AC的中点，所以，因为，平面，所以平面，而平面，则，又因为，是正方形，与正方形的对角线平行，所以，又，平面BEF，所以平面BEF，因为，所以点D在平面BEF内． 故选：BCD. 10．已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面 C．与所成角的余弦值为 D．动点P的轨迹长为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式、空间向量数量积的运算性质逐一判断即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，    则， 所以， 由平面，得，即， 化简可得：， 所以动点P在直线上， 对于选项A：，所以与不垂直，所以A选项错误； 对于选项B：平面平面，所以平面，B选项正确； 对于选项C：，C选项正确； 对于选项D：动点P在直线上，且P为侧面上的动点，则P在线段上，，所以，D选项正确； 故选：BCD. （2024上·山东泰安·高二统考期末） 11．如图，在正四棱柱中，，点在线段上运动，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．若为的中点，则直线平面 C．异面直线与所成角的正弦值的范围是 D．直线与平面所成角的正弦的最大值为 【答案】ACD 【分析】证明出平面，可知点到平面的距离等于点到平面的距离，利用锥体的体积公式可判断A选项；以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可判断BCD选项. 【详解】对于A选项，在正四棱柱中，，且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以，为定值，A对； 对于B选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、、， 因为为的中点，则，则，， 所以，，所以，与不垂直， 故当为的中点时，直线与平面不垂直，B错； 对于C选项，，设， 则， ， 所以，， 因为，则，所以，， 所以，， 因此，异面直线与所成角的正弦值的范围是，C对； 对于D选项，设平面的法向量为，，， 则，取，可得，此时，， ， 所以， ， 当且仅当时，等号成立，故直线与平面所成角的正弦的最大值为，D对. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 三、填空题： 12．动点的棱长为1的正方体表面上运动，且与点的距离是，点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为 【答案】 【分析】根据题意知，分情况解决即可. 【详解】由题意，此问题的实质是以为球心，为半径的球， 因为， 所以在正方体各个面上交线的长度计算， 正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类： 为过球心的截面， 截痕为大圆弧，各弧圆心角为， 为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧， 由于截面圆半径为，故各段弧圆心角为， 所以这条曲线长度为， 故答案为： （23-24高二上·四川成都·阶段练习） 13．如图，正方体的棱长为1，点是线段的中点，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点在正方形内运动形成的线段长度为 ． 【答案】 【分析】利用线面平行的判定及勾股定理即可求解. 【详解】连接,如图所示    在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形, 所以, 又平面，平面， 所以平面， 若平面, 所以， 又因为平面， 所以的轨迹为线段（除外）， 又正方体的棱长为1， 所以，即点在正方形内运动形成的线段长度为. 故答案为：. （23-24高三下·上海·期中） 14．棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则当三棱锥体积取最大时，其外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】先过作平面的平行面从而确定点的轨迹，再确定三棱锥体积取最大时的位置，进而找到球心所在方位即可求解. 【详解】如图，当点位于的中点时，取中点G，连接， 则由正方体性质有， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又且都在面，所以平面平面， 又面，所以平面， 所以的轨迹是以的中点为端点的线段， 因为， 所以当F点离平面距离最远时三棱锥体积最大， 此时，点与的中点重合， 取中点O，连接，则由正方体性质可得平面， 所以三棱锥的外接球球心在所在直线上， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则，球心为， 则 于是，， 所以外接球半径为， 所以. 故答案为：. 四、解答题. 15．如图1所示，长方体，底面是正方形， 为中点，图2是该几何体的左视图. （1）求四棱锥的体积； （2）正方体内（包括边界）是否存在点，使三棱锥体积是四棱锥体积的？若存在，请指出满足要求的点的轨迹，并在图1中画出轨迹图形；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（2）存在，点的轨迹是的中点和的中点的连线段，图形见解析 【分析】（1）由题意可得，再结合棱锥的体积公式求解即可; （2）由棱锥的体积，求出点到的距离，再判断点的轨迹即可得解. 【详解】解：（1）又由题意可得：， 则 ； （2）设点到的距离为， 因为点到平面的距离为1，所以， 所以，即满足要求的点的轨迹是的中点和的中点的连线段， 点的轨迹如图所示： 【点睛】本题考查了棱锥的体积的求法，重点考查了轨迹问题及运算能力，属中档题. （23-24高二上·上海·期末） 16．如图，已知正方体的棱长为6，点在该正方体的表面上运动. (1)若，求点的轨迹长度； (2)若点是线段的中点，是正方形（包括边界）上运动，且满足，求点的轨迹长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别讨论当点在正方体的六个表面内时，满足的点的轨迹，并求出估计长度即可； （2）先根据已知证明，求得，建立平面直角坐标系，求得点P的轨迹，求得圆弧长即可得解. 【详解】（1）若，则点P 以点A为球心半径为的球面上运动， 又P在正方体表面运动， 当P在正方形内部时，平面， 则P在以D为圆心，半径为的圆上， 如图所示，此时点的轨迹长度为； 同理可得当P在正方形内部时，轨迹为，轨迹长度为； 当P在正方形内部时，轨迹为，轨迹长度为； 当P在正方形、正方形、正方形内部时，； 故点的轨迹长度为； （2）因为正方体中，平面，平面，平面， 所以，又，所以， 所以，即， 如图，在平面中，以D为原点，分别为x，y轴建立平面直角坐标系， 则，设，由知，，化简整理得， 所以点P的轨迹为圆在正方形内部的部分，即， 其中，则，由弧长公式知点的轨迹长度为. （2024·重庆·一模） 17．如图，四棱锥中，底面，四边形中，，．    (1)若为的中点，求证：平面平面； (2)若平面与平面所成的角的余弦值为． （ⅰ）求线段的长； （ⅱ）设为内（含边界）的一点，且，求满足条件的所有点组成的轨迹的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）2；（ⅱ）. 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，再结合面面垂直的判定推理即得. （2）以点A为原点，建立空间直角坐标系，设，利用面面角的向量求法结合已知求出，再求出并确定轨迹求解即得. 【详解】（1）在四棱锥中，底面，平面，则， 而平面，于是平面，又平面， 则，由，为的中点，得平面， 因此平面，而平面， 所以平面平面. （2）（ⅰ）由（1）知，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    过作于，由，得，令， 则，， 设平面的法向量，则，令，得， 由平面，得平面的一个法向量， 依题意，，整理得，而，解得， 所以线段的长为2. （ⅱ）显然平面，而平面，则，又， 于是，解得，因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的， 所以点的轨迹的长度为. （23-24高二上·重庆·阶段练习） 18．类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知曲面的方程为.    (1)已知直线过曲面上一点，以为方向向量，求证：直线在曲面上（即上任意一点均在曲面上）； (2)已知曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）设是直线上任意一点，由题意有，从而得点的坐标，代入曲面的方程验证即可. （2）设是直线上任意一点，直线的方向向量为，由题意有，可得点的坐标，代入曲面的方程，进而可求得的关系，可得，利用向量夹角公式求解即可得出答案. 【详解】（1）设是直线上任意一点，而为直线的方向向量，则有， 从而存在实数，使得，即， 则，解得，即点， 显然， 因此点的坐标总是满足曲面的方程，所以直线在曲面上. （2）直线在曲面上，且过点， 设是直线上任意一点，直线的方向向量为，则有， 从而存在实数，使得，即， 则，解得，即点， 由点在曲面上，得， 整理得， 依题意，对任意的实数有恒成立， 因此，且，解得，或， 不妨取，则，或，即，或， 又直线的方向向量为， 所以异面直线与所成角的余弦值均为. （22-23高二上·福建福州·期中） 19．如图，在四棱锥中，PA面ABCD，ABCD，且CD=2，AB=1，BC=，PA=1，ABBC，N为PD的中点． (1)求证：AN平面PBC； (2)在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)在平面PBC内是否存在点H，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H的轨迹图形形状（不必证明）． 【答案】(1)见解析 (2)存在， (3)存在点H，点H的轨迹为圆 【分析】（1）取的中点，连接，证明，，从而可得平面平面，再根据面面平行的性质即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，设，利用向量法结合线面角的正弦值求解即可； （3）求出AD中点到平面PBC的距离，再由球的截面的性质即可得解. 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为N为PD的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 又因平面， 所以平面平面， 又平面， 所以平面； （2）解：假设存在，设， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 则， 设平面的法向量， 则有，可取， 则， 整理得，解得或（舍去）， 所以当时，直线CM与平面PBC所成角的正弦值是； （3）解：假设存在，设线段的中点为，则 该点到平面PBC的距离为， 所以存在点H，点H的轨迹为圆. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 强化练5    动态轨迹的“变中寻定” 一、单选择题 1．空间直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点坐标为A（3，1，0），B（－1，3，0），若点C满足＝＋，其中，∈R，＋＝1，则点C的轨迹为 A．平面 B．直线 C．圆 D．线段 2．如图，定点A，B都在平面内，定点，C是内异于A和B的动点，且，则动点C在平面内的轨迹是（    ） A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点 C．一段弧，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点 3．如图，已知正方体的棱长为3，点在棱上，且，是侧面内一动点，且，则点的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 4．已知棱长为1的正方体，是的中点，动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是（    ） A． B． C． D． （23-24高二上·福建福州·期末） 5．已知长方体，，，是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（    ） A．3 B． C． D．2 （23-24高三下·北京·开学考试） 6．正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在长方体中，，，记为棱的中点，若空间中动点满足，则点的轨迹与侧面相交所形成的曲线长为（    ）      A． B． C． D． （23-24高三上·北京·期中） 8．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则以下说法中不正确的是（    ） A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变 B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若是的中点，点在底面上运动时，不存在点满足平面 D．若点在底面上运动，则使直线与平面所成的角为的点的轨迹为圆上的一段弧 二、多选择题 9．如图，在直三棱柱中，，若，则D可能为（    ） A．的中点 B．AC的中点 C．的中点 D．的重心 10．已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面 C．与所成角的余弦值为 D．动点P的轨迹长为 （2024上·山东泰安·高二统考期末） 11．如图，在正四棱柱中，，点在线段上运动，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．若为的中点，则直线平面 C．异面直线与所成角的正弦值的范围是 D．直线与平面所成角的正弦的最大值为 三、填空题： 12．动点的棱长为1的正方体表面上运动，且与点的距离是，点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为 （23-24高二上·四川成都·阶段练习） 13．如图，正方体的棱长为1，点是线段的中点，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点在正方形内运动形成的线段长度为 ． （23-24高三下·上海·期中） 14．棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则当三棱锥体积取最大时，其外接球的表面积为 . 四、解答题. 15．如图1所示，长方体，底面是正方形， 为中点，图2是该几何体的左视图. （1）求四棱锥的体积； （2）正方体内（包括边界）是否存在点，使三棱锥体积是四棱锥体积的？若存在，请指出满足要求的点的轨迹，并在图1中画出轨迹图形；若不存在，请说明理由. （23-24高二上·上海·期末） 16．如图，已知正方体的棱长为6，点在该正方体的表面上运动. (1)若，求点的轨迹长度； (2)若点是线段的中点，是正方形（包括边界）上运动，且满足，求点的轨迹长度. （2024·重庆·一模） 17．如图，四棱锥中，底面，四边形中，，．    (1)若为的中点，求证：平面平面； (2)若平面与平面所成的角的余弦值为． （ⅰ）求线段的长； （ⅱ）设为内（含边界）的一点，且，求满足条件的所有点组成的轨迹的长度． （23-24高二上·重庆·阶段练习） 18．类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知曲面的方程为.    (1)已知直线过曲面上一点，以为方向向量，求证：直线在曲面上（即上任意一点均在曲面上）； (2)已知曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值. （22-23高二上·福建福州·期中） 19．如图，在四棱锥中，PA面ABCD，ABCD，且CD=2，AB=1，BC=，PA=1，ABBC，N为PD的中点． (1)求证：AN平面PBC； (2)在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)在平面PBC内是否存在点H，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H的轨迹图形形状（不必证明）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$