同步微点进阶强化练7 本是同根生：倾斜角与斜率-2025-2026学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

一、单选择题 1．若，则经过两点，的直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用两点的坐标求出直线的斜率，再利用诱导公式验证各选项. 【详解】由题意，得该直线的斜率为，且， 且， ， ， 所以该直线的倾斜角为. 故选：B． 2．已知平面直角坐标系中，四边形ABCD的四条边AB，BC，CD，DA所在的直线分别为，，，，如图所示，它们的斜率分别为，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，延长，再比较四条直线的倾斜角即得解. 【详解】如图，延长. 直线的倾斜角是锐角，直线的倾斜角大于直线的倾斜角，所以； 直线的倾斜角是钝角，直线的倾斜角大于直线的倾斜角，所以； 所以， 故选：C 3．若等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为，则斜边所在直线的斜率为（    ） A．或2 B．或3 C．或4 D．或5 【答案】C 【分析】设一条直角边所在直线的倾斜角是，则斜边的倾斜角是或，利用三角函数求倾斜角的正切值，即可求得直线的斜率. 【详解】因为等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为，即， 设其倾斜角为，则， 因为斜边与直角边的倾斜角相差45°，则斜边的倾斜角为或， 所以， ， 所以斜边所在直线的斜率为或4． 故选：C． 4．已知三点共线，则（    ） A． B．6 C． D．2 【答案】B 【分析】根据三点共线列方程，从而求得的值. 【详解】由题可得，即，解得． 故选：B 5．已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为　(　　) A．1 B．0 C．0或2 D．0或1 【答案】D 【详解】当AB与CD斜率均不存在时， 故得m=0，此时两直线平行； 此时AB∥CD，当kAB=kCD时，，得到m=1，此时AB∥CD. 故答案选D． 点睛：解答本题易出现选A的错误，导致出现这种错误的原因是忽略了直线AB与CD的斜率不存在的情况.在已知直线的位置关系，求参数时，在用到了直线的斜率时，首先要考虑直线的斜率是否存在，然后再列式子． 6．若已知点，，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线平行和垂直的斜率关系可判断A，B，D，通过两点间的距离公式可判断C. 【详解】，，且点不在直线上， 所以，故A正确； 又因为，所以，所以，故B正确； 因为，， 所以，故C正确； 又因为，，所以， 所以，故D错误． 故选：D． 7．已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点C的坐标,再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标； 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则， 直线BH的斜率， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为． 故选:. 8．已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把，，分别看作函数图象上的点与原点确定直线的斜率，结合图象即可得答案． 【详解】由，得的几何意义是过点和原点的直线的斜率， 画出函数的图象，如图， 直线的斜率分别为，，，而， 所以，，的大小关系是. 故选：A 二、多选择题 9．【多选】以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算判断，对于D，通过计算判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以A点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 10．已知点，，点在轴上，且，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设出点的坐标，利用斜率坐标公式及垂直关系列式计算即得. 【详解】设点的坐标为，由，得， 又直线与直线的斜率都存在，且，整理得， 解得或，所以点的坐标为或． 故选：AD 11．在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为，则正方形ABCD四边所在直线中过点的直线的斜率可以是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】假设所在的直线过点，分类讨论所在的直线所过的点，结合图象分析运算. 【详解】因为选项斜率均为正值，不妨假设所在的直线过点， 设直线的倾斜角为，斜率为， ①若所在的直线过点，如图，可得， 因为，即，则； ②若所在的直线过点，如图，可得， 因为，即，则； ③若所在的直线过点，如图，可得， 因为，即，则； 综上所述：的可能值为. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：假设所在的直线过点，分类讨论所在的直线所过的点，数形结合处理问题. 三、填空题： 12．已知四边形的顶点，则四边形的形状为 . 【答案】矩形 【分析】分别求出直线的斜率，根据斜率判断对应直线得位置关系，即可得出结论. 【详解】解：，且不在直线上，. 又，且不在直线上，，四边形为平行四边形.又. 平行四边形为矩形. 故答案为：矩形. 13．直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝ . 【答案】 【分析】由题意可得出直线l1的斜率，根据平行和垂直关系可列出关于m的方程，解方程即可. 【详解】如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，    ∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝. 由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝. ∴直线AB的斜率存在，且kAB＝. ∴＝＝－， 解得m＝4＋. 故答案为：4＋ 14．已知四边形各顶点的坐标分别为，，，，点为边的中点，点在线段上，且是以角为顶角的等腰三角形，记直线，的倾斜角分别为，，则 . 【答案】 【分析】根据已知条件易得四边形为正方形，再由是以角为顶角的等腰三角形得到必为边的中点，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得和，再利用同角三角函数的基本关系和诱导公式得到答案即可. 【详解】由题中条件可得，，且不重合， 所以，，所以四边形为平行四边形， 如图，连接， 由两点间距离公式得，所以平行四边形为菱形， 因为，所以，所以菱形为正方形， 因为为边的中点，是以角为顶角的等腰三角形， 所以必为边的中点，则，， 所以， 由题意得，所以，因为， 解得，(负根舍去)，直线与轴垂直， 则，所以. 故答案为： 四、解答题. 15．已知，，． (1)求点的坐标，满足，； (2)若点在x轴上，且，求直线的倾斜角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线的垂直关系和平行关系即可求出结果； （2）根据条件可得即可求出结果. 【详解】（1）设， 由已知得， 又，可得， 即．　① 由已知得， 又，可得， 即．　② 联立①②解得， ∴． （2）设， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 解得． ∴， 又∵， ∴轴， 故直线MQ的倾斜角为90°． 16．判断下列各对直线是否平行或垂直： (1)经过两点的直线，与经过且斜率为1的直线； (2)经过两点的直线，与经过点且斜率为的直线． (3)试确定的值，使过两点的直线与过两点的直线： (I)平行； (II)垂直． 【答案】(1)平行 (2)垂直 (3)(I);(II) 【分析】（1）分别求出两直线方程，根据斜率关系即可判断； （2）求出直线的斜率，根据斜率关系即可判断； （3）(I)根据两条平行直线的斜率关系即可求解；(II)根据两条垂直直线的斜率关系即可求解. 【详解】（1）因为直线经过两点，所以，则直线的方程为：； 因为直线经过且斜率为1，所以直线方程为：， 则直线与直线平行. （2）因为直线经过两点，所以， 因为直线的斜率为， 所以， 则直线与直线垂直. （3）因为直线过， 所以； (I)当直线与直线平行时；则，解得： (II) 当直线与直线垂直时则，解得： 17．已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2)； (3). 【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【详解】（1）解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； （2）解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； （3）解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 18．一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，求的斜率的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意线段∥，∥，分别找出点落在线段上的临界位置，即可求解. 【详解】由题意知：∥，∥，设， 则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点A时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点A时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：， 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 19．已知正三角形的三个顶点均在抛物线上，其中一条边所在直线的斜率为，求的三个顶点的横坐标之和. 【答案】 【分析】根据直线倾斜角和等边三角形内角之间关系，结合直线斜率公式、两角和差的正切公式进行求解即可. 【详解】设点，互不相等， 则，，， 不妨设，且直线的倾斜角为 因为是等边三角形，所以 所以 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 强化练 微点7  本是同根生：倾斜角与斜率 一、单选择题 1．若，则经过两点，的直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 2．已知平面直角坐标系中，四边形ABCD的四条边AB，BC，CD，DA所在的直线分别为，，，，如图所示，它们的斜率分别为，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．若等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为，则斜边所在直线的斜率为（    ） A．或2 B．或3 C．或4 D．或5 4．已知三点共线，则（    ） A． B．6 C． D．2 5．已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为　(　　) A．1 B．0 C．0或2 D．0或1 6．若已知点，，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 7．已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、多选择题 9．【多选】以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 10．已知点，，点在轴上，且，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 11．在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为，则正方形ABCD四边所在直线中过点的直线的斜率可以是（    ） A．2 B． C． D． 三、填空题： 12．已知四边形的顶点，则四边形的形状为 . 13．直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝ . 14．已知四边形各顶点的坐标分别为，，，，点为边的中点，点在线段上，且是以角为顶角的等腰三角形，记直线，的倾斜角分别为，，则 . 四、解答题. 15．已知，，． (1)求点的坐标，满足，； (2)若点在x轴上，且，求直线的倾斜角． 16．判断下列各对直线是否平行或垂直： (1)经过两点的直线，与经过且斜率为1的直线； (2)经过两点的直线，与经过点且斜率为的直线． (3)试确定的值，使过两点的直线与过两点的直线： (I)平行； (II)垂直． 17．已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 18．一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，求的斜率的取值范围. 19．已知正三角形的三个顶点均在抛物线上，其中一条边所在直线的斜率为，求的三个顶点的横坐标之和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$