同步微点进阶强化练9 “圆”来如此多娇-2025-2026学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

强化练9    “圆”来如此多娇 一、单选择题 1．在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．圆关于点对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．方程表示圆，则该圆半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． （24-25高二上·陕西西安·开学考试） 4．直线l过点，且与圆C：相交所形成的长度为整数的弦的条数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． （2024·湖北·模拟预测） 6．四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 7．已知圆和两点，，若圆C上存在点P使得，则m的最大值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 8．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 二、多选择题 9．（多选）已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 10．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美､对称美､和谐美的结合产物.关于曲线，则下列结论正确的是（    ） A．曲线关于原点成中心对称图形 B．曲线关于轴，轴成轴对称图形 C．曲线上任意两点之间的距离都不超过2 D．曲线所围成的“花瓣”形状区域的面积大于 （2024·山西太原·二模） 11．已知两定点，，动点M满足条件，其轨迹是曲线C，过B作直线l交曲线C于P，Q两点，则下列结论正确的是（    ） A．取值范围是 B．当点A，B，P，Q不共线时，面积的最大值为6 C．当直线l斜率时，AB平分 D．最大值为 三、填空题： 12．已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 ． 13．若圆关于直线l的对称图形为圆，则直线l的方程为 . 14．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则最小值为 . 四、解答题. （23-24高二上·湖南衡阳·期末） 15．已知圆经过和两点，且与轴的正半轴相切. (1)求圆的方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的方程. （24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习） 16．的三个顶点分别是，，. (1)求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程； (2)（ⅰ）求的外接圆（为圆心）的标准方程； （ⅱ）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 17．在平面直角坐标系中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围； (2)求圆C的方程； (3)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论. 18．已知圆过点，，. (1)求圆的标准方程； (2)若过点且与轴平行的直线与圆交于点，，点为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，（与不重合），证明：直线过定点. （24-25高二上·江西上饶·阶段练习） 19．已知定点，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)设，过点作与轴不重合的直线交曲线于、两点． （i）过点作与直线垂直的直线交曲线于、两点，求四边形面积的最大值； （ii）设曲线与轴交于、两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 强化练9    “圆”来如此多娇 一、单选择题 1．在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出圆的标准方程. 【详解】由题意可知，圆心的横坐标为，纵坐标为，即点， 圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. 故选：A. 2．圆关于点对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将圆的方程化为标准方程得到圆心和半径，再求出圆心关于的对称点即可得到对称的圆的标准方程. 【详解】由题意可得圆的标准方程为， 所以圆心为，半径为， 因为点关于点的对称点为， 所以所求对称圆的标准方程为， 故选：D 3．方程表示圆，则该圆半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据配方法，结合二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】， 所以 所以有 故选：B （24-25高二上·陕西西安·开学考试） 4．直线l过点，且与圆C：相交所形成的长度为整数的弦的条数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】判断已知点与圆的位置关系，并确定过定点的直线与圆所成弦长的范围，结合圆的对称性确定弦的条数. 【详解】由题设，圆的圆心为，且半径， 而，即点在圆内，且圆心到该点的距离， 当直线与、的连线垂直时，弦长最短为， 而最长弦长为圆的直径为，故所有弦的弦长范围为， 所以相交所形成的长度为整数的弦，弦长为， 根据圆的对称性，弦长为各有2条，弦长为2的只有1条， 综上，共9条. 故选：D 5．两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意建立坐标系，由题意可得点M的轨迹方程，进而可得M点的轨迹长． 【详解】以点A为坐标原点，直线AB为x轴，建立直角坐标系，如图，      则，设点， 由，得，化简并整理得：， 于是得点M的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其周长为， 所以M点的轨迹长为. 故选：A. （2024·湖北·模拟预测） 6．四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意建立直角坐标系，设，写出坐标，可得点的轨迹方程，进而可求出的最大值. 【详解】根据题意，建立如图所示的直角坐标系， 设， 则， 故， ， 即； 故点在以点为圆心，1为半径的圆周上运动， 所以的最大值为. 故选：D. 7．已知圆和两点，，若圆C上存在点P使得，则m的最大值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】设出P的坐标，由圆C上存在点P使得，可构建的等式，解读的几何意义，结合图形求出最值. 【详解】设点 圆C上点P使得， , 又，, ，即 ，其意义表示为到原点的距离， 又点在圆上,可知, 故选：B. 8．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】结合已知条件写出曲线的解析式，做出图，将问题转化为点到直线的距离，然后利用圆上一点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可求解． 【详解】当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为， 曲线的图像如图所示； 因为到直线的距离为， 所以， 当最小时，易知在曲线的第一象限内的图像上， 因为曲线的第一象限内图像是圆心为，半径的半圆， 所以圆心到直线的距离， 所以， 所以的最小值为. 故选：B 二、多选择题 9．（多选）已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用勾股定理求出的长，从而确定圆心的坐标，写出圆的方程即可. 【详解】由题意设，，所以， 在中， 如图所示，有两种情况：    故圆心C的坐标为或， 故所求圆的标准方程为 故选：AB. 10．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美､对称美､和谐美的结合产物.关于曲线，则下列结论正确的是（    ） A．曲线关于原点成中心对称图形 B．曲线关于轴，轴成轴对称图形 C．曲线上任意两点之间的距离都不超过2 D．曲线所围成的“花瓣”形状区域的面积大于 【答案】ABD 【分析】分类讨论去绝对值，可得曲线方程，从而可得曲线图像，最后可对命题进行判断. 【详解】当时，曲线方程可化为，表示以为圆心，为半径的圆在第一象限的部分； 当时，曲线方程可化为，表示以为圆心，为半径的圆在第二象限的部分； 当时，曲线方程可化为，表示以为圆心，为半径的圆在第三象限的部分； 当时，曲线方程可化为，表示以为圆心，为半径的圆在第四象限的部分； 当时或；当时或；图像上还有，，，，这5个点. 曲线图像如图所示: 对于A，将代入曲线方程有，整理得，所以曲线关于原点成中心对称图形，故A正确； 对于B，将代入曲线方程有，整理得，所以曲线关于轴成轴对称图形，将代入曲线方程有，整理得，所以曲线关于轴成轴对称图形，故B正确； 对于C，如图，每个小圆半径， 曲线上任意两点距离范围为，即两点距离范围为，故C错误； 对于D，曲线所围成的“花瓣”形状区域可看成四个半圆和一个正方形组成，设它的面积为，，故D正确. 故选：ABD （2024·山西太原·二模） 11．已知两定点，，动点M满足条件，其轨迹是曲线C，过B作直线l交曲线C于P，Q两点，则下列结论正确的是（    ） A．取值范围是 B．当点A，B，P，Q不共线时，面积的最大值为6 C．当直线l斜率时，AB平分 D．最大值为 【答案】ACD 【分析】分析可知曲线C是以为圆心，半径的圆.对于A：根据圆的性质分析求解；对于B：设，联立方程，利用韦达定理可得，即可得面积最大值；对于C：利用韦达定理可得，进而分析角度关系即可；对于D：根据AB平分，结合切线分析求解即可. 【详解】设， 因为，即，整理可得， 可知曲线C是以为圆心，半径的圆. 对于选项A：因为，可知点B在曲线C内，且直线l与曲线C必相交， 且，则的最大值为，最小值为， 所以取值范围是，故A正确； 设， 联立方程，消去x可得， 则. 对于选项B：可得， 令，则， 可得， 因为在内单调递增，则的最小值为， 即，则， 可得的面积， 所以面积的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为， 又因为， 则， 即，可知，所以AB平分，故C正确； 对于选项D：因为AB平分，则， 可知当与曲线C相切时，取到最大值， 此时，且为锐角，则， 即的最大值为，则的最大值为， 所以最大值为，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：根据题意结合两点间距离公式分析可知曲线C是以为圆心，半径的圆，结合圆的性质逐项分析判断. 三、填空题： 12．已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 ． 【答案】 ； 5． 【详解】试题分析：由题意，知，，当时，方程为，即，圆心为，半径为5，当时，方程为，不表示圆． 圆的标准方程. 由方程表示圆可得的方程，解得的值，一定要注意检验的值是否符合题意，否则很容易出现错误． 13．若圆关于直线l的对称图形为圆，则直线l的方程为 . 【答案】 【分析】先分别写出两圆的圆心和半径，根据题意确定l是两圆心连线的垂直平分线，求出两圆心中点坐标，以及圆心连线的斜率，进而可求出所求直线方程. 【详解】的圆心为，半径为； 的圆心为，半径为. 由题意知，直线l是线段的垂直平分线. 线段的中点为，斜率为，所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即. 故答案为： 14．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则最小值为 . 【答案】 【分析】建立坐标系，设，，，设，，则，构造相似三角形，设，可得，所以． 【详解】如图，，设，则向量满足，设，所以点为以为圆心，以为半径的圆上的一点， 所以，同理， 取点，则，又因， 所以， 所以，即， 所以， 由三角形的三边关系知. 故填：. 【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的模，向量模的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造相似三角形等知识，属于难题． 四、解答题. （23-24高二上·湖南衡阳·期末） 15．已知圆经过和两点，且与轴的正半轴相切. (1)求圆的方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）首先设圆的标准方程，再代入条件，即可求解； （2）首先求圆的圆心关于直线的对称点，即求圆的方程. 【详解】（1）根据题意设圆的方程为，其中. 将两点的坐标代入方程得， 解得. 因此圆的标准方程为； （2）因为圆与圆关于对称，所以两个圆的圆心关于对称，半径相等. 由（1）知圆的圆心为，设圆的圆心坐标为， 则， 解得：，，即 所以圆的方程为. （24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习） 16．的三个顶点分别是，，. (1)求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程； (2)（ⅰ）求的外接圆（为圆心）的标准方程； （ⅱ）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】(1)， (2)（ⅰ）；（ⅱ），轨迹是以为圆心，半径为的圆． 【分析】（1）设线段的中点为，求得直线的方程为，由，得到直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）（ⅰ）设圆的方程为，根据三点都在圆上，列出方程组，求得的值，即可得到圆的方程； （ⅱ）设，点，由，求得，根据在圆上运动，得到，代入，即可求解. 【详解】（1）解：设线段的中点为，则， 因为，则边上的中线的方程为，即直线的方程为， 又因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为. （2）解：（ⅰ）设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得， 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 （ⅱ）设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆． 17．在平面直角坐标系中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围； (2)求圆C的方程； (3)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论. 【答案】(1)，且 (2)（，且）； (3)过定点和，证明见解析. 【分析】（1）令得抛物线与轴交点，此交点不能是原点；令，则方程＞0，即可求的范围． （2）设出所求圆的一般方程，令得到的方程与是同一个方程；令得到的方程有一个根为，由此求得参数及圆的一般方程． （3）把圆方程里面的合并到一起，令的系数为零，得到方程组，求解该方程组，即得圆过的定点． 【详解】（1）令得抛物线与轴交点是； 令， 由题意，且，解得，且． 即实数的取值范围，且． （2）设所求圆的一般方程为， 由题意得函数的图像与两坐标轴的三个交点即为圆和坐标轴的交点， 令得，，由题意可得，这与是同一个方程，故，． 令得，，由题意可得，此方程有一个根为，代入此方程得出， ∴圆的方程为（，且）． （3）把圆的方程改写为，令， 解得或，故圆过定点和． 18．已知圆过点，，. (1)求圆的标准方程； (2)若过点且与轴平行的直线与圆交于点，，点为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，（与不重合），证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求得圆一般方程，再将其转化为标准方程； （2）求出点，的坐标，设，根据，得出，的坐标，当直线斜率存在时，设直线方程为，与圆方差联立方程组，利用根与系数关系化简得出与的关系，进而得出直线恒过的定点坐标，再验证斜率不存在时仍成立. 【详解】（1）设圆的一般方程为， 又圆过点，，， 则， 解得， 所以圆的一般方程为， 即其标准方程为； （2）由题意得，所以直线，点，点， 设点，，， 所以，， 所以， 又，， ， 又，在圆上， 所以，， ， 即， 所以， 整理得：， 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 代入， 得， 则，， 所以， 即， 即， 得或， 当时，直线的方程为，过点， 当时，直线的方程为，过点，在直线上，不成立， 当直线斜率不存在时，，即，解得或（舍），所以直线过成立， 综上所述，直线恒过点. （24-25高二上·江西上饶·阶段练习） 19．已知定点，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)设，过点作与轴不重合的直线交曲线于、两点． （i）过点作与直线垂直的直线交曲线于、两点，求四边形面积的最大值； （ii）设曲线与轴交于、两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）在定直线上 【分析】（1）根据点点距离公式即可列方程，化简可得结论， （2）（i）根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式可计算的长度,即可根据面积公式得表达式,结合不等式即可求解最值, （ii）联立直线与圆的方程得韦达定理,即可根据点斜式求解直线的方程,联立两直线方程即可求解定直线. 【详解】（1）设动点的坐标为， 因为，，且， 所以， 整理得，即： 所以动点的轨迹的方程为； （2）（i）因为直线不与轴重合，所以设直线的方程为，即， 则直线为，设圆的圆心到直线和直线的距离分别为，， 则，，所以，， 所以， 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立， 综上所述，四边形面积的最大值为. （ii）设，，联立，得， 则，，， 因为曲线与轴交于，两点，所以，， 则直线的方程为， 直线的方程为， 联立两直线方程得， 所以在定直线上 【点睛】方法点睛:解析几何简化运算的常见方法： （1）正确画出图形，利用平面几何知识简化运算； （2）坐标化，把几何关系转化为坐标运算； （3）巧用定义，简化运算. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$