第三十四讲：用频率估计概率（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第三十四讲：用频率估计概率 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：用频率估计概率 一般地，在大量重复试验下，随机事件 A 发生的频率 (这里 n 是试验总次数，它必须相当大，m 是在这 n 次试验中随机事件 A 发生的次数) 会稳定到某个常数 p. 于是，我们用 p 这个常数表示事件 A 发生的概率，即P(A) = p. 知识点02：归纳总结 考点1：关于频率与概率关系说法的正误 【典型例题】 下列说法正确的是（   ） A．小明做了4次抛瓶盖的试验，其中有3次盖口向上，由此，他估计盖口向上的概率是 B．抛掷1000次硬币与抛掷2000次硬币，“正面朝上”的频率一定相同 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，那么，掷10次硬币，一定会有5次正面朝上 D．在实验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性 【变式训练1】 下列说法正确的是（　　） A．我国首型4米级运载火箭于2024年11月30日成功发射，发射前，科学家对火箭实施检查，最适宜的检查方式是抽样调查 B．“无限小数是无理数”是必然事件 C．小昆同学通过大量重复的定点投篮练习，得到她投中的频率为0.4，则说明小昆定点投篮10次，一定投中4次 D．甲乙两组同学参加“知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组成绩的方差为，乙组成绩的方差为，则乙组同学的成绩较稳定 【变式训练2】 下列说法中，正确的是（   ） A．“经过三点确定一个圆”是必然事件 B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖 D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得 考点2：求某事件的频率 【典型例题】 某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【变式训练1】 调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 【变式训练2】 “长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 考点3：由频率估计概率 【典型例题】 在一个不透明的布袋中装有40个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在0.4左右，则布袋中黄球可能有（   ） A．16个 B．24个 C．28个 D．32个 【变式训练1】 一个不透明的袋中装有6个白球，若干个红球，这些球除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则袋中红球的个数是（   ） A．3 B．5 C．9 D．10 【变式训练2】 一个不透明的袋子里装有4个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并将摸出白球的频率绘制了如图所示的统计图．则从袋子中随机摸出一个球，估计摸到白球的概率为（   ） A． B． C． D． 考点4：用频率估计概率的综合应用 【典型例题】 某植物研究院培育的新品植株的成活率约为，若在相同条件下培育50棵同种植株，则成活的植株约为（   ） A．45棵 B．5棵 C．20棵 D．40棵 【变式训练1】 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外其它都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球（   ） A． 个 B．6个 C．4个 D．2个 【变式训练2】 一个不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共个，它们除颜色外都相同．小明将盒子中的小球搅拌均匀，从中随机摸出一个小球记下它的颜色后放回盒中，重复这一过程，试验发现摸到红色小球的频率稳定在左右，由此估计盒子中红色小球有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚硬币100次，一定有50次“正面朝上” B．为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式 C．一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8 D．“太阳东升西落”是不可能事件 2．不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 3．在一个不透明的袋子中有40个除颜色以外均相同的小球，每次摸球前都先将袋子里的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验以后，发现摸到黄球的频率稳定于，则可以估计袋中黄球的个数约为（   ） A．2 B．4 C．8 D．10 4．如图，是根据“用频率估计概率”的实验统计的某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（     ） A．小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜 B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．投掷一枚图钉，尖朝上 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数 5．在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 6．在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题 7．“交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 8．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（    ） A．五位 B．四位 C．三位 D．二位 二、填空题 9．在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动．在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其 的估计值． 10．在整数20250416中，数字“0”出现的频率是 ． 11．在一个不透明的箱子中装有10个红球和若干个绿球，这些球除颜色外全一样，搅匀后从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了400次，发现有80次摸到红球，由此可估计箱子中有 个绿球． 12．在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有红球 个． 13．一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买 个这样的电子产品，可能会出现1个次品． 14．如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是 ． 15．抛掷两枚普通的正方体骰子，把两枚骰子的点数相加，若第一枚骰子的点数为1，第二枚骰子的点数为5，则是“和为6”的一种情况，我们按顺序记作（1，5），如果一个游戏规定掷出“和为6”时甲方赢，掷出“和为9”时乙方赢，则这个游戏 （填“公平”、“不公平”）． 16．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有 棵． 三、解答题 17．小丽和小亮用10张写有的卡片做游戏，这10张卡片除数字外完全相同，将它们背面朝上混合均匀后，从中任意抽出一张． (1)抽出卡片上的数字是3的倍数的概率是________； (2)小丽和小亮规定：小丽从中任意抽出一张卡片，小亮从剩余的卡片中任意抽出一张，谁抽到卡片上的数字大谁就获胜，现在小丽抽到数字6的卡片，然后小亮抽出卡片，那么谁获胜的概率大？ 18．工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 n (1)表格中m的值为__________，n的值为__________（结果精确到0．01）； (2)估计任抽一件甲员工近期生产的产品是合格品的概率．（结果精确到0．01） 19．一个不透明的箱子里装着若干除颜色外其它均相同的小球，某数学兴趣小组从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，不断重复，得到如下数据： 摸球总次数 150 200 250 300 350 400 摸到红球的次数 98 126 150 173 198 摸到红球的频率 0.520 0.490 0.504 0.500 0.505 (1)上表中的________，________（小数形式）； (2)“摸到红球”的概率估计值为________；（精确到0.1） (3)若箱子中装有红、白、黑三种颜色的球共20个，其中白球的个数比黑球个数的2倍少2个，求摸到黑球的概率． 20．某地组织居民开展义务献血活动．参与的所有献血者的血型检测结果有“”“”“”“”四种血型．在所有参与献血者中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并制作了下面两幅不完整的统计图表． 血型 人数 (1)上表中的 ． ． (2)若活动中该地有人参与义务献血，请根据抽样结果回答： 从所有献血者中随机抽取一人，其血型是型的概率是多少？ 估计这人中有多少人是型血． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第三十四讲：用频率估计概率 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：用频率估计概率 一般地，在大量重复试验下，随机事件 A 发生的频率 (这里 n 是试验总次数，它必须相当大，m 是在这 n 次试验中随机事件 A 发生的次数) 会稳定到某个常数 p. 于是，我们用 p 这个常数表示事件 A 发生的概率，即P(A) = p. 知识点02：归纳总结 考点1：关于频率与概率关系说法的正误 【典型例题】 下列说法正确的是（   ） A．小明做了4次抛瓶盖的试验，其中有3次盖口向上，由此，他估计盖口向上的概率是 B．抛掷1000次硬币与抛掷2000次硬币，“正面朝上”的频率一定相同 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，那么，掷10次硬币，一定会有5次正面朝上 D．在实验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查了概率的概念，频率的定义理解，掌握概率和频率的相关知识是解题的关键．根据事件发生的可能性的大小，以及频率的概念逐项分析即可． 【详解】解：A. 小明做了4次抛瓶盖的试验，虽然有3次盖口向上，单盖口向上的概率是，故该选项不正确，不符合题意； B. 抛掷1000次硬币与抛掷2000次硬币，“正面朝上”的频率相近，但不一定相同，故该选项不正确，不符合题意； C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，那么，掷10次硬币，不一定会有5次正面朝上，故该选项不正确，不符合题意； D. 在实验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式训练1】 下列说法正确的是（　　） A．我国首型4米级运载火箭于2024年11月30日成功发射，发射前，科学家对火箭实施检查，最适宜的检查方式是抽样调查 B．“无限小数是无理数”是必然事件 C．小昆同学通过大量重复的定点投篮练习，得到她投中的频率为0.4，则说明小昆定点投篮10次，一定投中4次 D．甲乙两组同学参加“知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组成绩的方差为，乙组成绩的方差为，则乙组同学的成绩较稳定 【答案】D 【分析】本题考查了统计与概率中相关知识，涉及事件、调查方式、频率及方差等知识，属于基础知识，掌握这些基础知识是解题的关键；根据这些知识判断即可． 【详解】解：A、科学家对发射前的火箭实施检查，最适宜的检查方式是普查，保证发射万无一失，故说法错误； B、无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，因此这是随机事件，说法错误； C、投中的频率为0.4，说明小昆定点投篮10次，可能投中4次，说法错误； D、甲乙两组同学的平均成绩相同，乙组的方差小于甲组的方差，表示乙组同学的成绩较稳定，说法正确； 故选：D． 【变式训练2】 下列说法中，正确的是（   ） A．“经过三点确定一个圆”是必然事件 B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖 D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得 【答案】B 【分析】本题主要考查了事件的判断，频率和概率的关系，根据随机事件判断A，再根据可能性的大小和概率的关系判断B，C，然后根据不规则物体的概率只能通过大量次数的实验，得出频率估计概率的方法判断D． 【详解】解：因为“经过不在同一条直线上的三点确定一个圆”是必然事件，所以A不正确，不符合题意； 因为事件发生的可能性越大，说明发生的机会越大，它的概率越接近1，所以B正确，符合题意； 因为彩票中奖的概率是，因此买100张彩票可能有1张中奖，说明中奖的概率很低，所以C不正确，不符合题意； 图钉是不规则的物体，投掷一枚一枚图钉，“针尖朝上”只能通过大量的实验，使频率稳定时，可能频率估计概率，不可以用列举法求得，所以D不正确，不符合题意． 故选：B． 考点2：求某事件的频率 【典型例题】 某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【答案】C 【分析】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的定义是解题关键． 直接利用频率求法，频数÷总数＝频率，进而得出答案． 【详解】解：∵某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次， ∴出现反面的频率是． 故选：C 【变式训练1】 调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求频率，根据频率之和为1，进行求解即可． 【详解】解：在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ， 则达到或超过 米的数出现的频率是： 故选B． 【变式训练2】 “长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求频率，直接利用频率公式进行计算即可． 【详解】解：一共40个字母，字母“i”出现了4次， ∴； 故选C． 考点3：由频率估计概率 【典型例题】 在一个不透明的布袋中装有40个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在0.4左右，则布袋中黄球可能有（   ） A．16个 B．24个 C．28个 D．32个 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率的知识，熟练掌握频率与概率的关系，以及利用概率求球的数量是解题的关键．利用频率估计概率，先求出白球数量，再用总球数减去白球数得到黄球数． 【详解】解：∵摸到白球的频率稳定在左右，根据频率估计概率，可知摸到白球的概率约为．布袋中共有个球， ∴白球的数量约为个． ∴黄球可能有个． 故选：B ． 【变式训练1】 一个不透明的袋中装有6个白球，若干个红球，这些球除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则袋中红球的个数是（   ） A．3 B．5 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了频率估计概率，根据频率估计概率的原理，摸到白球的频率稳定在附近，说明白球的概率约为．设红球个数为，则总球数为，利用概率公式建立方程求解． 【详解】解∶设袋中红球有x个，总球数为． 由题意可知，摸到白球的概率为，即：， 解方程：， 因此红球有9个． 故选C． 【变式训练2】 一个不透明的袋子里装有4个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并将摸出白球的频率绘制了如图所示的统计图．则从袋子中随机摸出一个球，估计摸到白球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了频率估计概率，根据将摸出白球的频率绘制成的统计图．得出摸到白球的频率在附近波动，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，将摸出白球的频率绘制成的统计图．得出摸到白球的频率在附近波动， ∴估计摸到白球的概率为， 故选：C 考点4：用频率估计概率的综合应用 【典型例题】 某植物研究院培育的新品植株的成活率约为，若在相同条件下培育50棵同种植株，则成活的植株约为（   ） A．45棵 B．5棵 C．20棵 D．40棵 【答案】A 【分析】本题主要考查百分率的知识．利用“总数×成活率=成活棵树”计算求解． 【详解】解：（棵）， 故选：A． 【变式训练1】 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外其它都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球（   ） A． 个 B．6个 C．4个 D．2个 【答案】A 【分析】主要考查了利用频率估计概率，正确掌握频率求法是解题关键，设红球有x个，利用红球个数÷总数，进而得出答案； 【详解】解：设红球有x个，由题意可得， ， 解得：， 故选：A． 【变式训练2】 一个不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共个，它们除颜色外都相同．小明将盒子中的小球搅拌均匀，从中随机摸出一个小球记下它的颜色后放回盒中，重复这一过程，试验发现摸到红色小球的频率稳定在左右，由此估计盒子中红色小球有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率，总个数乘以摸到红色小球的频率稳定值即可．解题的关键是理解：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：由题意知，估计盒子中红色小球有：（个）． 故选：A． 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚硬币100次，一定有50次“正面朝上” B．为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式 C．一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8 D．“太阳东升西落”是不可能事件 【答案】C 【分析】本题考查频率和概率的关系，抽样调查和全面调查，众数和中位数，事件的分类等知识，根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、频率不等于概率，正面朝上的次数不确定，故此选项错误，不符合题意； B、为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用随机抽样的方式，故此选项错误，不符合题意； C、这组数据按从小到大的顺序排列为6，7，8，8，8，9，10，中位数是8，出现最多的是8，即众数是8，故此选项正确，符合题意； D、“太阳东升西落”是必然事件，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设口袋中白球大约有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：设口袋中白球大约有x个， ∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴估计口袋中白球大约有15个． 故选：B 3．在一个不透明的袋子中有40个除颜色以外均相同的小球，每次摸球前都先将袋子里的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验以后，发现摸到黄球的频率稳定于，则可以估计袋中黄球的个数约为（   ） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查的是根据频率估计概率，当大量重复试验时，事件发生的频率会趋近于其概率，黄球的频率稳定在，说明黄球的概率约为，由此建立方程求解． 【详解】解：设袋中黄球的个数为，总球数为40， 根据频率估计概率可得：， 解得：， 因此，袋中黄球的个数约为8个， 故选：C． 4．如图，是根据“用频率估计概率”的实验统计的某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（     ） A．小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜 B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．投掷一枚图钉，尖朝上 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数 【答案】D 【分析】此题考查了利用频率估计概率．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为的即为正确答案． 【详解】解：试验结果在附近波动，即其概率， A、小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜的概率为，故A选项错误； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故B选项错误； C、投掷一枚图钉，尖朝上的概率无法判断，故C选项错误； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数是，故D选项正确； 故选：D． 5．在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设瓶子中有豆子x粒，根据取出100粒刚好有记号的8粒列出算式，再进行计算即可． 【详解】设瓶子中有豆子粒豆子， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：估计瓶子中豆子的数量约为粒． 故选：． 【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法． 6．在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题 【答案】D 【分析】根据题意，分类讨论，列举或画出树状图列出等可能的情况，根据概率公式求出每一种情况下的概率，即可判断． 【详解】解：①若两次求助都用在第1题， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用两次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除AB选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除AC选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除BC选项，只剩D一个选项，答对的概率是1， 因此第一题答对的概率为：，第2题答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ②若在第1第2题各用一次求助， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用一次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除A选项，还剩BCD三个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除B选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除C选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 因此第一题答对的概率为：， 第2题使用一次求助后，还剩3个选项，其中只有一个正确选项，因此答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ③两次求助都用在第2题， 画树状图如下：上层A、B、C表示第一题剩下的三个选项，下层A、B表示第二题剩下的二个选项，    共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为：. ∵， ∴两次求助都用在第1题或都用在第2题时，该选手通关的概率大， 故选：D． 【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握画树状图的方法、概率公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 7．“交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率的应用．掌握事件的所有情况的概率之和为1成为解题的关键． 根据事件的所有情况的概率之和为1解答即可． 【详解】解：∵他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为， ∴他遇到绿灯的概率是：． 故选：C． 8．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（    ） A．五位 B．四位 C．三位 D．二位 【答案】B 【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可． 【详解】解：∵取一位数时一次就拨对密码的概率为； 取两位数时一次就拨对密码的概率为； 取三位数时一次就拨对密码的概率为； 取四位数时一次就拨对密码的概率为； ∵， ∴密码的位数至少需要四位，故选项B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． 二、填空题 9．在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动．在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其 的估计值． 【答案】概率 【分析】本题考查了频率与概率，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动．在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值． 故答案为：概率． 10．在整数20250416中，数字“0”出现的频率是 ． 【答案】 【分析】本题考查频率，用0的个数除以所有数字的个数，进行计算即可． 【详解】解：由题意，数字“0”出现的频率是； 故答案为：． 11．在一个不透明的箱子中装有10个红球和若干个绿球，这些球除颜色外全一样，搅匀后从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了400次，发现有80次摸到红球，由此可估计箱子中有 个绿球． 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率，概率公式求概率，解题的关键是要计算出红球所占的比例．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率．先根据频率求出摸到红球的概率，再设绿球个数为个，根据红球的概率,即可求解． 【详解】解：摸了次，发现有次摸到红球， 估计摸到红球的概率为， 设绿球个数为个， ， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 估计箱子中有个绿球． 故答案为：． 12．在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有红球 个． 【答案】12 【分析】本题主要考查用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到黄球的概率是0.4，据此求出黄球的数量，进而求解即可． 【详解】解：∵通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.4， ∴摸到黄球的概率是0.4， ∴黄球的个数为（个）， ∴口袋中大约有红球（个）， 故答案为：12． 13．一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买 个这样的电子产品，可能会出现1个次品． 【答案】4 【分析】根据“合格率”，“不合格率”的意义，结合“频数与频率”的意义进行判断即可． 【详解】解：∵产品的抽样合格率为， ∴产品的抽样不合格率为 ∴当购买该电子产品足够多时，平均来说，每购4个这样的电子产品，就可能会出现1个次品 故答案为：4． 【点睛】本题考查频数与频率，理解“频率”“合格率”“不合格率”的意义是正确判断的前提． 14．如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是 ． 【答案】 【分析】根据概率的求法，找准两点： ①全部情况的总数； ②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．依此即可求解． 【详解】解：∵A区域扇形的圆心角为90°， ∴自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）． 15．抛掷两枚普通的正方体骰子，把两枚骰子的点数相加，若第一枚骰子的点数为1，第二枚骰子的点数为5，则是“和为6”的一种情况，我们按顺序记作（1，5），如果一个游戏规定掷出“和为6”时甲方赢，掷出“和为9”时乙方赢，则这个游戏 （填“公平”、“不公平”）． 【答案】不公平 【分析】列举出所有情况，看“和为6”及“和为9”情况数占所有情况数的多少即可． 【详解】解：如图所示： （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 共有36种情况，和为6情况数是5种，所以甲赢的概率为；和为9的情况数有4种，所以概率为 ． ∵＞， ∴不公平． 故答案为不公平． 【点睛】此题考查用列表格的方法解决概率问题；得到“和为6”及“和为9”的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 16．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有 棵． 【答案】1600 【分析】本题考查折线统计图，频率估计概率，利用样本的概率估计总体数量，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据图形可以发现，频率在0.8附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再根据成活概率估算总体数量即可． 【详解】解：由图可得这种树苗成活的频率约为0.8， ∴这种树苗成活的概率为0.8， ∴这种树苗移植2000棵，成活的大约有：（棵）， 故答案为：1600． 三、解答题 17．小丽和小亮用10张写有的卡片做游戏，这10张卡片除数字外完全相同，将它们背面朝上混合均匀后，从中任意抽出一张． (1)抽出卡片上的数字是3的倍数的概率是________； (2)小丽和小亮规定：小丽从中任意抽出一张卡片，小亮从剩余的卡片中任意抽出一张，谁抽到卡片上的数字大谁就获胜，现在小丽抽到数字6的卡片，然后小亮抽出卡片，那么谁获胜的概率大？ 【答案】(1) (2)小丽获胜的概率大 【分析】本题考查简单的概率计算，掌握概率的计算公式是解答本题的关键． （1）先确定中3的倍数的个数，再依据概率公式计算即可． （2）确定小丽抽到6后剩余卡片情况，共9张，数字为、、、、、、、、； 分别找出小亮获胜（抽到、、、 ）和小丽获胜（抽到、、、、 ）对应的数字个数； 依据概率公式分别计算小亮和小丽获胜的概率，比较大小得出谁获胜概率大． 【详解】（1）解：在1到10这10个数字中，3的倍数有3、6、9，共3个． 所以抽出卡片上的数字是3的倍数的概率， 故答案为：； （2）在数字1到10中，比6小的数字有1，2，3，4，5， 所以小丽获胜的概率是．           比6大的数字有7，8，9，10， 所以小亮获胜的概率是．           因为， 所以小丽获胜的概率大． 18．工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 n (1)表格中m的值为__________，n的值为__________（结果精确到0．01）； (2)估计任抽一件甲员工近期生产的产品是合格品的概率．（结果精确到0．01） 【答案】(1)475， (2) 【分析】本题考查了总数，频数，频率之间的数量关系，以及用频率估计概率，解题的关键在于掌握利用频率估计概率的方法． （1）根据总数，频数，频率之间的数量关系计算，即可解题； （2）根据频率估计概率的方法求解，即可解题． 【详解】（1）解：， 故答案为475，． （2）解：∵抽取件数为时，合格的频率趋近于， ∴任抽一件甲员工近期生产的产品是合格品的概率为． 19．一个不透明的箱子里装着若干除颜色外其它均相同的小球，某数学兴趣小组从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，不断重复，得到如下数据： 摸球总次数 150 200 250 300 350 400 摸到红球的次数 98 126 150 173 198 摸到红球的频率 0.520 0.490 0.504 0.500 0.505 (1)上表中的________，________（小数形式）； (2)“摸到红球”的概率估计值为________；（精确到0.1） (3)若箱子中装有红、白、黑三种颜色的球共20个，其中白球的个数比黑球个数的2倍少2个，求摸到黑球的概率． 【答案】(1)78，0.495 (2)0.5 (3)摸到黑球的概率为0.2 【分析】本题考查了频率估计概率，求解随机事件的概率． （1）根据表中的数据，结合频数，频率，数据总数之间的关系可得答案； （2）由频率估计概率可得答案； （3）设黑球有个，则白球有个；可得，再进一步即可解答． 【详解】（1）解：，； （2）解：由表可知，当n很大时，摸到红球的频率将会接近， ∴摸到红球的概率估计值是； （3）解：设黑球有个，则白球有个； ∴， 解得：， ∴摸到黑球的概率为 答：摸到黑球的概率为． 20．某地组织居民开展义务献血活动．参与的所有献血者的血型检测结果有“”“”“”“”四种血型．在所有参与献血者中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并制作了下面两幅不完整的统计图表． 血型 人数 (1)上表中的 ． ． (2)若活动中该地有人参与义务献血，请根据抽样结果回答： 从所有献血者中随机抽取一人，其血型是型的概率是多少？ 估计这人中有多少人是型血． 【答案】(1)，； (2)；人． 【分析】本题考查了扇形统计图，统计表，频率估计概率，用样本估计总体等，读懂统计图、统计表，从中找到必要的信息是解题的关键． （1）用型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，用总人数乘以型的人数所占比得到的值，再用总人数乘以减去型、型、型人数计算出型人数的值； （2）通过频率估计概率即可；用乘以型的人数所占比即可求解． 【详解】（1）解：随机抽取了部分献血者的人数为（人）， ∴（人）， ∴， 故答案为：，； （2）解：由扇形统计图可知“”血型所占比为， ∴从所有献血者中随机抽取一人，其血型是型的概率是， （人）， 答：估计这人中有人是型血． 学科网（北京）股份有限公司 $$