精品解析：山东省聊城市2024-2025学年高一下学期期末教学质量抽测数学试题

2024—2025学年度第二学期期末教学质量抽测 高一数学试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡的相应位置上. 2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用坐标表示向量即可. 【详解】由点，，得. 故选：D 2. 下列几何体是棱台的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据棱台定义，上下底面平行且相似，侧棱延长交一点，逐项判断，即可得出结论. 【详解】A，C都不是由棱锥截成的不符合棱台的定义故选项A，C不满足题意； B中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故选项B不满足题意； D符合棱台的定义. 故选:D. 【点睛】本题考查棱台的判断，注意棱台与棱锥的关系，属于基础题. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则进行计算. 【详解】. 故选：B 4. 若数据1，2，5，x，2，2的极差是它们众数的2倍，则满足条件的正整数x的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】确定出众数，再由已知数据中最大值与最小值的差是众数的2倍，从而得出的范围及结论. 【详解】由已知众数是2，由于，因此只有当即时均满足题意，共5个， 故选：D 5. 已知正四棱锥的所有棱长均相等，则直线与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角不可能为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】A 【解析】 【分析】确定直线与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角的大小，再进行判断即可. 【详解】如图： 因为四棱锥是正四棱锥，且所有棱长均相等. 所以，故C可能成立； 在中，，，所以BD可能成立； 与其余的棱或对角线都不能成，故A不可能成立. 故选：A 6 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将写成，利用两角和的正弦公式化简即可. 【详解】因为 . 故选：A 7. 在梯形中，，，，当点在内部运动时，的取值区间为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，确定的值即可. 【详解】如图： 取，过作，交于点，交于点. 设，因为三点共线，所以. 设，因为， 所以，. 因为共线，所以，所以. 因为且点在内运动，所以点在线段上，所以. 即，.所以. 故选：C 8. 如图，是半径为4半圆O的直径，点B，C在弧上，若，则四边形周长的最大值为（ ） A 16 B. 17 C. 18 D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，设，，表达出，，化简求出，结合，得到最大值. 【详解】取的中点，连接， 则⊥，⊥， 因为，所以，， 因为，所以， 设，，则，， 故，， 故 ， 因为，所以，， 故当时，取得最大值，最大值为17.      故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间中三条不同的直线，，和平面，且，则下列结论正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若与相交，则与相交 D. 若与相交，则与相交 【答案】AD 【解析】 【分析】利用空间中线线与线面的位置关系逐一分析各选项的正误，可得出合适的选项. 【详解】对A：因为，，则.故A成立； 对B：若，，则或.故B错误； 对C：若，与相交，则与相交或与异面，故C错误； 对D：若，与相交，则与相交.故D成立. 故选：AD 10. 欧拉公式是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，若，则（ ） A. 的虚部为1 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，计算出，得到虚部；B选项，，由共轭复数的定义可知B正确；C选项，计算出，C正确；D选项，通过计算可得的一个周期为6，且，通过周期可得答案. 【详解】A选项，因为，所以，故虚部为，A错误； B选项，，故，B正确； C选项，， ， 故，，C正确； D选项，，， ， ， 故的一个周期为6， 且 ， 故 ，D正确. 故选：BCD 11. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，，则（ ） A. 与的最小正周期相同 B. 与的对称中心完全相同 C. 与在上的值域相同 D. 与的图象在上恰有四个交点时，m的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，进而求出，再结合三角函数图象性质逐项求解判断. 【详解】函数，， 则，， 对于A，的最小正周期为，的最小正周期为，A正确； 对于B，由，得图象对称中心， 由，得图象对称中心，B正确； 对于C，当时，，，C错误； 对于D，由，得，解得， 即，方程在上恰有四个根， 则，即，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量在单位向量上的投影向量为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】结合投影向量的概念以及平面向量数量积的概念求值即可. 【详解】由题意：， 所以. 故答案为： 13. 函数，的单调递减区间为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用二倍角公式化简函数的解析式，在求函数的单调区间. 【详解】因为. 由，，. 又，所以当时，可得. 所以所求函数的单调减区间为：. 故答案为： 14. 已知中，，，若将绕直线旋转一周，所得几何体的内切球半径等于，则该内切球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据“筝形”内切圆半径的求法，确定几何体的内切球半径，再求内切球的表面积. 【详解】如图： 作旋转体的轴截面，为如图筝形，设筝形的内切圆半径为， 因为中，，， 则；. 由. 又，可得. 由可得. 所以. 所以旋转体的内切球表面积为：. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 对于向量，，定义运算，已知向量，，. （1）若，求t的值； （2）若，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用新定义列方程求解； （2）由垂直求得值，由新定义求得，再由向量夹角公式计算. 【小问1详解】 因为，，， 所以， 因为，所以，解得. 【小问2详解】 由题意得 又，且，所以，解得， 此时， 设与的夹角为， 则 所以与夹角的余弦值为 16. 某校高一年级为了解学生近期的数学学习情况，组织了一次数学阶段测试.从所有学生的数学成绩中随机抽取400名学生的数学成绩作为样本，整理数据并分成，，，，，这6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值，并估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数（四舍五入取整数）； （2）从所抽取的数学成绩在，内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取n名学生，若这n名学生数学成绩的平均数为126分，方差为50，且这n名学生中数学成绩在内的只有1名，其数学成绩为136分，求这n名学生中数学成绩在内的学生数学成绩的平均数与方差. 【答案】（1），中位数为99分， （2）平均数为124分，方差为36 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再确定中位数所在区间，列式求解. （2）求出，利用分层抽样平均数、方差公式列式求解 【小问1详解】 由频率分布直方图知，，解得； 由，， 得这400名学生数学成绩的中位数，由，得， 所以估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数为99分. 【小问2详解】 依题意，，解得， 设这6名学生的数学成绩分别为，，，，，136， 由这6名学生的数学成绩的平均数为126分，得， 解得，因此； 设，，，，的方差为，由这6名学生的数学成绩的方差为50， 得，解得， 所以所求学生数学成绩的平均数为124分，方差为36. 17. 如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异于A，B的动点，，是圆柱的两条母线. （1）证明：平面； （2）若该圆柱的侧面积等于两底面面积的和，当C为弧的中点时，求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆柱母线的概念，得到，再根据线面平行的判定定理证明平面. （2）先根据条件，确定圆柱的母线长与底面半径的关系，再确定直线与平面所成的角，利用三角形的边角关系求角的正切值. 【小问1详解】 因为，是圆柱的两条母线， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为是下底面圆的直径，C是下底面圆周上异于A，B的动点， 所以， 又因为是圆柱的一条母线，所以底面， 而底面，所以. 因为平面，平面，且， 所以平面. 又由（1）知，所以平面 所以为直线与平面所成的角. 设圆柱的底面圆半径为r，母线长为l， 因为圆柱的侧面积等于两底面面积的和，所以，得， 又Ｃ为弧的中点，所以， 所以在中， 在中， 所以直线与平面所成角的正切值为. 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角C； （2）若的边c上的高等于. （i）当时，求的值； （ii）求面积的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后再结合余弦定理可得，结合为三角形内角，可得. （2）（i）先根据条件，结合三角形的面积公式，可求，再结合，可求的值. （ii）利用余弦定理，结合基本不等式，求出的最小值，再结合三角形的面积公式，可求三角形面积的最小值. 【小问1详解】 由得 在中，由正弦定理得， 即，所以 因为，所以. 【小问2详解】 （i）由（1）知，因为的边c上的高等于，且， 所以的面积，所以， 因为在中，，即 所以， 又中， 所以. （ii）由（1）及（i）知，， 在中，由余弦定理得 所以· 因为，所以，解得，当且仅当时，等号成立. 所 即面积的最小值为. 19. 如图，在三棱柱中，，D为的中点，平面平面. （1）求证：是直角三角形； （2）E为的中点，F为与的交点，点M在线段上，，若平面. （i）求侧面与底面所成二面角的正弦值； （ii）若点C到平面的距离为，求三棱柱的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）（ii）或 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面，进而得到平面，再根据线面垂直的概念可得结论. （2）（i）先确定为二面角的平面角，在求的正弦值； （ii）先根据条件确定的长，再结合体积变换求三棱柱的体积. 【小问1详解】 因为，D为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为三棱柱中，，所以平面， 又平面，所以，即是直角三角形. 【小问2详解】 （i）如图，由平面，得平面， 因为平面，平面平面， 所以， 又E为的中点，，所以. 由（1）知平面，因为平面， 所以，所以为二面角的平面角， 又，，所以≌， 所以， 又中，， 所以，所以 因为是锐角，所以， 所以，得 即侧面与底面所成二面角的正弦值为； （ii）因为∥，D为的中点，点到平面的距离为 所以点D到平面的距离d为点到平面距离的，即. 由（1）及（i）知，平面，，，， 因为，且，， 所以 即，平方整理得， 解得，或，所以，或. 因为 所以时，； 时， 即三棱柱的体积为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期末教学质量抽测 高一数学试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡的相应位置上. 2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知点，，则（ ） A B. C. D. 2. 下列几何体是棱台的是（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 若数据1，2，5，x，2，2的极差是它们众数的2倍，则满足条件的正整数x的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知正四棱锥的所有棱长均相等，则直线与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角不可能为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 6. （ ） A. B. C. D. 7. 在梯形中，，，，当点在内部运动时，的取值区间为，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是半径为4的半圆O的直径，点B，C在弧上，若，则四边形周长的最大值为（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间中三条不同直线，，和平面，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与相交，则与相交 D. 若与相交，则与相交 10. 欧拉公式是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，若，则（ ） A. 的虚部为1 B. C. D. 11. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，，则（ ） A. 与最小正周期相同 B. 与的对称中心完全相同 C. 与在上的值域相同 D. 与的图象在上恰有四个交点时，m的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量在单位向量上的投影向量为，则______. 13. 函数，的单调递减区间为______. 14. 已知中，，，若将绕直线旋转一周，所得几何体的内切球半径等于，则该内切球的表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 对于向量，，定义运算，已知向量，，. （1）若，求t的值； （2）若，求与夹角的余弦值. 16. 某校高一年级为了解学生近期的数学学习情况，组织了一次数学阶段测试.从所有学生的数学成绩中随机抽取400名学生的数学成绩作为样本，整理数据并分成，，，，，这6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a值，并估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数（四舍五入取整数）； （2）从所抽取的数学成绩在，内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取n名学生，若这n名学生数学成绩的平均数为126分，方差为50，且这n名学生中数学成绩在内的只有1名，其数学成绩为136分，求这n名学生中数学成绩在内的学生数学成绩的平均数与方差. 17. 如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异于A，B的动点，，是圆柱的两条母线. （1）证明：平面； （2）若该圆柱的侧面积等于两底面面积的和，当C为弧的中点时，求直线与平面所成角的正切值. 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角C； （2）若的边c上的高等于. （i）当时，求的值； （ii）求面积的最小值. 19. 如图，在三棱柱中，，D为的中点，平面平面. （1）求证：是直角三角形； （2）E为的中点，F为与的交点，点M在线段上，，若平面. （i）求侧面与底面所成二面角正弦值； （ii）若点C到平面的距离为，求三棱柱的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $