第13章 重点专题 三角形中角度计算的常见模型&难点专题1 三角形中的探究型问题-2025-2026学年新教材八年级上册数学7分钟优化课堂(人教版2024）

重点专题 三角形中角度计算的常见模型 一、“A”字模型 1.如图,从△ABC纸片中剪去△CDE,得到四边形ABDE.如果∠1+∠2=230°,那么∠C= °. " # % $ &   二、“8”字模型 2.阅读材料:如图1所示,线段AB 与CD 相交于点O,称△AOC 与△DOB 为“对顶三角 形”.根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质:∠A+∠C=∠B+∠D.如图2 所示,线段AB 与CD 相交于点O,∠CAO 与∠BDO 的平分线AP 和DP 相交于点P, AP 交CD 于点M,DP 交AB 于点N,已知∠B=96°,∠C=98°,求∠P 的度数. " # % 
 
 $ " # % $ 0 0 . / 1 三、燕尾模型 3.如图,BE,CE 分别平分∠ABD,∠ACD.当∠BAC=70°,∠BDC=140°,求∠BEC 的 度数. " # % $ & ·31· 难点专题一 三角形中的探究型问题 1.新定义:在△ABC中,若存在最大内角是最小内角度数的n倍(n为大于1的正整数),则 △ABC称为“n倍角三角形”.例如,在△ABC 中,若∠A=90°,∠B=60°,则∠C=30°,因 为∠A 最大,∠C最小,且∠A=3∠C,所以△ABC为“3倍角三角形”. (1)在△DEF中,若∠D=20°,∠E=60°,则∠F= ,△DEF 为“ 倍角三 角形”. (2)如图,在△ABC 中,∠C=44°,∠BAC,∠ABC 的角平分线相交于点D,求∠ADB 的 度数. (3)在(2)的基础上,若△ABD 为“4倍角三角形”,求∠ABD 的度数. " # % $ 2.(1)如图1,△ABC中,BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACB,探求∠BPC 与∠A 之间的数量 关系. (2)如图2,△ABC中,BP1,BP2 是∠ABC的三等分线,CP1,CP2 是∠ACB的三等分线, 则∠BP1C与∠A 之间的数量关系是 . (3)如图3,△ABC中,BP1,BP2,BP3 是∠ABC的四等分线,CP1,CP2,CP3 是∠ACB的 四等分线,则∠BP3C与∠A 之间的数量关系是 . (4)如图4,△ABC 中,BP1,BP2,……,BPn-2,BPn-1是∠ABC 的n 等分线,CP1,CP2, ……,CPn-2,CPn-1是∠ACB 的n 等分线,请用一个等式表示∠BP1C,∠BPn-1C, ∠A 三者之间的数量关系是 . " 1 $# 
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 ·41· (2)∠DAE=12 (∠B-∠C),理由如下: ∵∠BAC+∠B+∠C=180°, ∴∠BAC=180°-∠B-∠C, ∵AE平分∠BAC, ∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=90°- 1 2 (∠B+∠C), 又∵AD⊥BC, ∴∠ADC=90°, ∴∠CAD=90°-∠C, ∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=90°-∠C- [90°-12 (∠B+∠C)]=12 (∠B-∠C). 精练6 三角形的外角 1.B 2.A 3.B 4.B 5.60° 6.2 7.C 8.120° 9.80° 10.解:设∠1=x°, 则∠3=∠4=∠1+∠2=2∠1=2x°, 在△ABC中,∠2+∠4+∠BAC=180°, 即x+2x+81=180, 解得x=33, ∴∠DAC=∠BAC-∠1=81°-33°=48°. 11.解:(1)如图, " # $ %
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当BD 是∠ABC的“邻AB三分线”时, ∠BD″C=∠A+13∠ABC=95° ; 当BD 是∠ABC的“邻BC三分线”时, ∠BD″C=∠A+23∠ABC=110° , 综上所述,∠BDC的度数为95°或110°. (2)由 题 意,得 ∠PBC = 13 ∠ABC , ∠PCB=13∠ACB , ∴13∠ABC+ 1 3∠ACB=40° , ∴∠ABC+∠ACB=120°, ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°, ∴ ∠A =180°- (∠ABC + ∠ACB) =60°. (3)∠BPC的度数为23m° 或1 3m° 或2 3m° +18°或13m°-18°. 重点专题 三角形中角度计算的常见模型 1.50 2.解:∵AP 平分∠CAB,DP 平分∠BDC, ∴∠CAP=∠BAP,∠BDP=∠CDP, ∵ ∠CAP + ∠C = ∠CDP + ∠P ①, ∠BAP+∠P=∠BDP+∠B②, ①-②得∠C-∠P=∠P-∠B, 即∠P=12 (∠C+∠B), ∵∠B=96°,∠C=98°, ∴∠P=12× (98°+96°)=97°. 3.解:如图,延长BE交AC 于点F,延长BD 交AC 于点G, " # $ ( '   & % 设∠ABE=α,∠ACE=β, ∵BE,CE分别平分∠ABD,∠ACD, ∴∠ABD=2α,∠ACD=2β, ∵∠1=∠BAC+α,∠2=∠BAC+2α, ∠BEC=∠1+β=∠BAC+α+β,∠BDC =∠2+2β=∠BAC+2α+2β, ∵∠BAC=70°,∠BDC=140°, ∴140°=70°+2α+2β, 解得α+β=35°, ∴∠BEC= ∠BAC+α+β=70°+35° =105°. 难点专题一 三角形中的探究型问题 1.解:(1)100°;5 (2)∵∠C=44°, ·59· ∴∠BAC+∠ABC=180°-44°=136°, ∵∠BAC,∠ABC的角平分线相交于点D, ∴∠DAB=12∠BAC ,∠DBA=12∠ABC , ∴∠DAB+∠DBA=12 (∠BAC+∠ABC) =12×136°=68° , ∴∠ADB=180°-(∠DAB+∠DBA)= 180°-68°=112°. (3)∵△ABD 为“4倍角三角形”, ∴∠ADB=4∠ABD或∠ADB=4∠BAD, 当∠ADB=4∠ABD 时,∠ABD=28°, 当∠ADB=4∠BAD 时,∠BAD=28°,则 ∠ABD=180°-112°-28°=40°, 综上所述,∠ABD 的度数为28°或40°. 2.解:(1)∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°, ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A, ∵BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACB, ∴∠PBC=12∠ABC ,∠PCB=12∠ACB , ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB, =180°-12∠ABC- 1 2∠ACB , =180°-12 (∠ABC+∠ACB), =180°-12 (180°-∠A), =90°+12∠A. (2)∠BP1C=60°+23∠A (3)∠BP3C=135°+14∠A (4)∠BP1C+∠BPn-1C=180°+∠A 难点专题二 双角平分线模型 1.解:(1)∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACD, ∴∠ABC=2∠CBE,∠ACD=2∠DCE, ∵∠ACD=∠A+∠ABC, ∠DCE=∠E+∠CBE, ∴∠A+∠ABC=2(∠E+∠CBE), ∴∠A=2∠E, ∵∠A=40°, ∴∠E=20°. (2)∠A=2∠E. 2.(1)证明:如图,连接BC, " # $ % &   在 △DBC 中,∵ ∠DBC + ∠DCB + ∠BDC=180°, ∴∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC, 在△ABC中, ∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°, ∴∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+ ∠A=180°, ∵∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC, ∴∠A+∠ABD+∠ACD=180°-(180° -∠BDC)=∠BDC, ∴∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD. (2)解:∠BDC+∠BAC=2∠BEC,理由 如下: 由题意,得∠BDC=∠BEC+∠1+∠2①, ∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE②, ∵BE平分∠ABD,CE平分∠ACD, ∴∠ABE=∠1,∠ACE=∠2, ①-②得∠BDC-∠BEC=∠BEC-∠BAC, ∴∠BDC+∠BAC=2∠BEC. (3)2∠BDC+∠BAC=3∠BEC 3.解:(1)45° (2)∠ACB的度数不改变,理由如下: ∵AD 平分∠BAN,BC平分∠ABM, ∴∠NAD=∠BAD=12∠BAN ,∠ABC =∠MBC=12∠ABM , 又∵∠NAB+∠BAO=180°,∠MBA+ ∠ABO=180°, ∴∠NAB+∠MBA=180°-∠BAO+180° ·69·