第13章 难点专题2 双角平分线模型-2025-2026学年新教材八年级上册数学7分钟优化课堂(人教版2024）

难点专题二 双角平分线模型 一、内外角平分线模型 1.如图∠ACD 是△ABC 的外角,∠A=40°,BE 平分∠ABC,CE 平分∠ACD,且BE,CE 交于点E. (1)求∠E的度数. (2)请猜想∠A 与∠E之间的数量关系,不需说明理由. " # %$ & 二、双内角平分线模型 2.请结合所学知识解决下列问题: (1)用图1证明:∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD. (2)在图1中,若BE平分∠ABD,CE平分∠ACD,BE 与CE 交于E 点,运用(1)的结论 写出∠BDC,∠BEC和∠BAC之间的关系,并说明理由. (3)如图2,若∠1=13∠ABD ,∠2=13∠ACD ,试探索∠BDC,∠BEC 和∠BAC 三个角 之间的关系为 (直接写出结果即可). " # %  $ & " # %  $ & 图1 图2 ·51· 三、双外角平分线模型 3.已知∠MON,点A,B分别在射线ON,OM 上移动(不与点O重合),AD 平分∠BAN,BC 平分∠ABM,直线AD,BC相交于点C. (1)如图1,若∠MON=90°,则∠ACB的度数为 . (2)如图2,若∠MON=α,问:在点A,B在射线ON,OM 上运动的过程中,∠ACB的度数 是否改变? 若不改变,求出其值(用含α的式子表示);若改变,请说明理由. (3)如图3,若∠MON=α,BC 平分∠ABO,其他条件不变,问:(2)中的结论是否仍然成 立? 请说明理由. " " " $ $ $ % % % # # #0 0 0 / / / . . . 图1 图2 图3 四、角平分线的综合 4.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段,完成所提出的问题. (1)如图1,在△ABC中,O是∠ABC与∠ACB的平分线BO 和CO 的交点,则∠BOC 与 ∠A 有怎样的关系. (2)如图2,O是∠ABC与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点,则∠BOC与∠A 有怎 样的关系. (3)如图3,O是外角∠DBC与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点,则∠BOC 与∠A 有怎样的关系. " " " 0 0 0 &   
 
 
 # # # $ $ $ % % ·61· ∴∠BAC+∠ABC=180°-44°=136°, ∵∠BAC,∠ABC的角平分线相交于点D, ∴∠DAB=12∠BAC ,∠DBA=12∠ABC , ∴∠DAB+∠DBA=12 (∠BAC+∠ABC) =12×136°=68° , ∴∠ADB=180°-(∠DAB+∠DBA)= 180°-68°=112°. (3)∵△ABD 为“4倍角三角形”, ∴∠ADB=4∠ABD或∠ADB=4∠BAD, 当∠ADB=4∠ABD 时,∠ABD=28°, 当∠ADB=4∠BAD 时,∠BAD=28°,则 ∠ABD=180°-112°-28°=40°, 综上所述,∠ABD 的度数为28°或40°. 2.解:(1)∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°, ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A, ∵BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACB, ∴∠PBC=12∠ABC ,∠PCB=12∠ACB , ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB, =180°-12∠ABC- 1 2∠ACB , =180°-12 (∠ABC+∠ACB), =180°-12 (180°-∠A), =90°+12∠A. (2)∠BP1C=60°+23∠A (3)∠BP3C=135°+14∠A (4)∠BP1C+∠BPn-1C=180°+∠A 难点专题二 双角平分线模型 1.解:(1)∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACD, ∴∠ABC=2∠CBE,∠ACD=2∠DCE, ∵∠ACD=∠A+∠ABC, ∠DCE=∠E+∠CBE, ∴∠A+∠ABC=2(∠E+∠CBE), ∴∠A=2∠E, ∵∠A=40°, ∴∠E=20°. (2)∠A=2∠E. 2.(1)证明:如图,连接BC, " # $ % &   在 △DBC 中,∵ ∠DBC + ∠DCB + ∠BDC=180°, ∴∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC, 在△ABC中, ∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°, ∴∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+ ∠A=180°, ∵∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC, ∴∠A+∠ABD+∠ACD=180°-(180° -∠BDC)=∠BDC, ∴∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD. (2)解:∠BDC+∠BAC=2∠BEC,理由 如下: 由题意,得∠BDC=∠BEC+∠1+∠2①, ∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE②, ∵BE平分∠ABD,CE平分∠ACD, ∴∠ABE=∠1,∠ACE=∠2, ①-②得∠BDC-∠BEC=∠BEC-∠BAC, ∴∠BDC+∠BAC=2∠BEC. (3)2∠BDC+∠BAC=3∠BEC 3.解:(1)45° (2)∠ACB的度数不改变,理由如下: ∵AD 平分∠BAN,BC平分∠ABM, ∴∠NAD=∠BAD=12∠BAN ,∠ABC =∠MBC=12∠ABM , 又∵∠NAB+∠BAO=180°,∠MBA+ ∠ABO=180°, ∴∠NAB+∠MBA=180°-∠BAO+180° ·69· -∠ABO=360°-(∠BAO+∠ABO), ∵∠BAO+ ∠ABO=180°- ∠AOB= 180°-α, ∴∠NAB+∠MBA=360°-(180°-α)= 180°+α, ∴∠CAB+∠CBA=12 (∠BAN+∠ABM), =12 (180°+α), =90°+12α , ∴∠ACB=180°-(∠CAB+∠CBA)= 90°-12α. (3)(2)中的结论不成立,理由如下: ∵AD 平分∠BAN,BC平分∠ABO, ∴∠BAD=12∠BAN ,∠ABC=∠OBC =12∠ABO , ∴∠ACB=∠BAD-∠ABC=12 (∠BAN -∠ABO)=12∠MON= 1 2α. 4.解:(1)∠BOC=90°+12∠A ,理由如下: ∵BO 和CO 分别是∠ABC 与∠ACB 的 角平分线, ∴∠1=12∠ABC ,∠2=12∠ACB , ∴∠1+∠2=12 (∠ABC+∠ACB), 又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A, ∴∠1+∠2=12 (180°-∠A)=90°- 1 2∠A , ∴∠BOC=180°-(∠1+∠2), =180°- 90°-12∠A , =90°+12∠A. (2)∠BOC=12∠A ,理由如下: ∵BO和CO 分别是∠ABC与外角∠ACD 的角平分线, ∴∠1=12∠ABC ,∠2=12∠ACD , " # $ % 0  又∵∠ACD 是△ABC的一外角, ∴∠ACD=∠A+∠ABC, ∴∠2=12 (∠A+∠ABC)=12∠A+∠1 , ∵∠2是△BOC的一外角, ∴∠BOC=∠2-∠1= 12∠A+∠1 - ∠1=12∠A. (3)∠BOC=90°-12∠A ,理由如下: 根据三角形的外角性质,得∠DBC=∠A +∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC, ∵O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分 线BO 和CO 的交点, ∴∠OBC=12∠DBC ,∠OCB=12∠BCE , ∴∠OBC+∠OCB=12 (∠DBC+∠BCE) =12 (∠A+∠ACB+∠A+∠ABC), ∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°, ∴∠OBC+∠OCB=90°+12∠A , ∴在△OBC 中,∠BOC=180°-(∠OBC +∠OCB)=180°- 90°+12∠A =90°- 1 2∠A. 第十四章 全等三角形及其性质 精练1 全等三角形及其性质 1.③④ 2.B 3.D 4.解:对应顶点是点C和点C,点B和点D, ·79·