第13章 精练5 直角三角形两个锐角互余-2025-2026学年新教材八年级上册数学7分钟优化课堂(人教版2024）

满分:50分,限时:20分钟 精练5 直角三角形两个锐角互余 一、核心知识巩固(1-5题,每题2分,共10分) 知识点1 直角三角形的性质 1.把一块直尺与一块三角板如图放置,若∠1=40°,则∠2的度数为 ( ) A.140° B.130° C.50° D.120°   第1题图 " % $ # 第2题图 " % $# & 第3题图 2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD 是△ABC的高,若∠A=24°,则∠BCD 的度数是 ( ) A.66° B.22° C.26° D.24° 3.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点D,DE⊥AB 于点E,则下列各角中,与 ∠B一定相等的是 ( ) A.∠BAD B.∠CAD C.∠BCA D.∠BDE 知识点2 直角三角形的判定 4.满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是 ( ) A.∠A=90° B.∠A:∠B:∠C=3∶4∶5 C.∠C=∠A+∠B D.∠A+∠C=90° 5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=∠BCD,则△BDC是 ( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 " % $ # 第5题图 " %$ # c & ( ' c 第6题图 二、综合知识运用(6-7题,每题3分,8-10题,每题8分,共30分) 6.将一副三角板按照如图方式摆放,则∠BGE的度数为 ( ) A.65° B.75° C.85° D.105° 7.在直角三角形中,有一个锐角是另外一个锐角的5倍,则这两个锐角的度数分别为 . ·9· 8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD 是△ABC的高. (1)图中有几个直角三角形? 是哪几个? (2)∠2和∠A 有什么数量关系? 并说明理由. " % $ #  9.如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,E 是AB 边上一点,CE 交AD 于点 M,且 ∠DCM=∠MAE.求证:△AEM 是直角三角形. " % $# & . 10.如图,在△ABC中,AB⊥BC,点D 在边BC 上(不与点B,点C重合). (1)若点P 在边AC 上,且∠PDC=∠BAC,求证:PD⊥AC. (2)请用尺子在图中画出△ADC 的边AD 上的高CE,若AB=4cm,AD=5cm,DC= 6cm,求CE的长度. " % $# 1 三、拓广实践探索(共10分) 11.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AE平分∠BAC. (1)已知∠B=74°,∠C=26°,求∠DAE的度数. (2)已知∠B>∠C,猜想∠DAE与∠B,∠C之间的关系,并证明. " % $# & ·01· " # $% & ' 0 精练4 三角形的内角 1.B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.50° 7.C 8.B 9.75° 10.96°或88°或48° 11.解:(1)∵∠B=35°,∠ACB=85°, ∴∠BAC=180°-35°-85°=60°, ∵AD 平分∠BAC, ∴∠DAC=30°, ∴∠ADC=180°-30°-85°=65°, ∵PE⊥AD, ∴∠DPE=90°, ∴∠E=180°-90°-65°=25°. (2)∠E=12 (∠ACB-∠B),理由如下: ∵AD 平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC , ∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°, 设∠B=n°,∠ACB=m°, ∴∠CAB=(180-n-m)°, ∴∠BAD=∠CAD=12 (180-n-m)°, ∴∠ADC=180°-m°-∠CAD=90°+ 1 2n°- 1 2m° , ∵PE⊥AD, ∴∠DPE=90°, ∴∠E=180°-90°- 90°+12n°-12m° =12 (m-n)°=12 (∠ACB-∠B). 精练5 直角三角形两个锐角互余 1.B 2.D 3.B 4.B 5.C 6.B 7.15°和75° 8.解:(1)图中有3个直角三角形,分别是 △ACD,△BCD,△ABC. (2)∵△ACD,△ABC 是直角三角形,且 ∠ADC,∠ACB是直角, ∴∠1+∠A=90°,∠1+∠2=90°, ∴∠2=∠A. 9.证明:∵AD 是BC 边上的高, ∴∠ADC=90°, ∴∠DMC+∠DCM=90°. ∵∠DCM=∠MAE,∠DMC=∠AME, ∴∠AME+∠MAE=90°, ∴△AEM 是直角三角形. 10.(1)证明:∵AB⊥BC, ∴∠ABC=90°, ∴∠BAC+∠C=90°, ∵∠PDC=∠BAC, ∴∠PDC+∠C=90°, ∴∠DPC=90°, ∴PD⊥AC. (2)解:如图,CE即为所求, " # $% & 1 ∵S△ADC=12CD ·AB=12AD ·CE, ∴12×6×4= 1 2×5×CE , ∴CE=245 (cm), ∴CE的长为245cm. 11.解:(1)∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∠B =74°,∠C=26°, ∴∠BAC=180°-74°-26°=80°, ∵AE平分∠BAC, ∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=40° , 又∵AD⊥BC, ∴∠ADC=90°, ∵∠C=26°, ∴∠CAD=90°-26°=64°, ∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=64°-40° =24°. ·49· (2)∠DAE=12 (∠B-∠C),理由如下: ∵∠BAC+∠B+∠C=180°, ∴∠BAC=180°-∠B-∠C, ∵AE平分∠BAC, ∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=90°- 1 2 (∠B+∠C), 又∵AD⊥BC, ∴∠ADC=90°, ∴∠CAD=90°-∠C, ∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=90°-∠C- [90°-12 (∠B+∠C)]=12 (∠B-∠C). 精练6 三角形的外角 1.B 2.A 3.B 4.B 5.60° 6.2 7.C 8.120° 9.80° 10.解:设∠1=x°, 则∠3=∠4=∠1+∠2=2∠1=2x°, 在△ABC中,∠2+∠4+∠BAC=180°, 即x+2x+81=180, 解得x=33, ∴∠DAC=∠BAC-∠1=81°-33°=48°. 11.解:(1)如图, " # $ %
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当BD 是∠ABC的“邻AB三分线”时, ∠BD″C=∠A+13∠ABC=95° ; 当BD 是∠ABC的“邻BC三分线”时, ∠BD″C=∠A+23∠ABC=110° , 综上所述,∠BDC的度数为95°或110°. (2)由 题 意,得 ∠PBC = 13 ∠ABC , ∠PCB=13∠ACB , ∴13∠ABC+ 1 3∠ACB=40° , ∴∠ABC+∠ACB=120°, ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°, ∴ ∠A =180°- (∠ABC + ∠ACB) =60°. (3)∠BPC的度数为23m° 或1 3m° 或2 3m° +18°或13m°-18°. 重点专题 三角形中角度计算的常见模型 1.50 2.解:∵AP 平分∠CAB,DP 平分∠BDC, ∴∠CAP=∠BAP,∠BDP=∠CDP, ∵ ∠CAP + ∠C = ∠CDP + ∠P ①, ∠BAP+∠P=∠BDP+∠B②, ①-②得∠C-∠P=∠P-∠B, 即∠P=12 (∠C+∠B), ∵∠B=96°,∠C=98°, ∴∠P=12× (98°+96°)=97°. 3.解:如图,延长BE交AC 于点F,延长BD 交AC 于点G, " # $ ( '   & % 设∠ABE=α,∠ACE=β, ∵BE,CE分别平分∠ABD,∠ACD, ∴∠ABD=2α,∠ACD=2β, ∵∠1=∠BAC+α,∠2=∠BAC+2α, ∠BEC=∠1+β=∠BAC+α+β,∠BDC =∠2+2β=∠BAC+2α+2β, ∵∠BAC=70°,∠BDC=140°, ∴140°=70°+2α+2β, 解得α+β=35°, ∴∠BEC= ∠BAC+α+β=70°+35° =105°. 难点专题一 三角形中的探究型问题 1.解:(1)100°;5 (2)∵∠C=44°, ·59·