天津市弘毅中学2024-2025学年高二上学期第二次过程性诊断考试数学试题

第 1 页（共 4 高二数学试卷 页） 天津市弘毅中学 2024—2025 学年度第一学期第二次过程性诊断 高二数学 命题人：隋晓琳 何一磊 本试卷满分 120分，考试用时 100 分钟。 一、单选题（每题 4分） 1．下列直线中倾斜角为45 的是（ ） A． = − +y x 2 B． = −y x 2 C． =x 1 D． =y 1 2．已知圆C 方程： + − − − =x y x y6 2 15 02 2 ，则直线 − + =x y 2 0被圆C 截得的弦长为（ ） A．8 B．2 19 C．2 17 D．2 15 3．如图，空间四边形OABC中， , ,OA a OB b OC c= = = ，点M 在OA上，且满足 2OM MA= ，点 N 为BC的中点，则MN =（ ） A． 1 2 1 2 3 2 a b c− + B． 2 2 1 3 3 2 a b c+ − C． 1 1 1 2 2 2 a b c+ − D． 2 1 1 3 2 2 a b c− + + 4．已知等差数列 an 的前 3 项分别为 −a 1， +a 1， +a2 3，则此数列的通项为（ ） A． −n2 5 B． −n2 3 C． −n2 1 D．2 1n 5．已知三角形的三个顶点为 A B C1,2 , 2,0 , 3,3)()()( ，则过点C 的中线的长为（ ） A．2 B． 2 5 C． 2 7 D．3 第 2 页（共 4 高二数学试卷 页） 6．已知数列 − −1, 3,5, 7,9, ，则该数列的第985项为（ ） A．−1971 B．1971 C．1969 D．−1969 7．在 ABC 中， −A 5,0)( ，B 5,0)( ，点 C在双曲线 − = x y 16 9 1 2 2 上，则 − = A B C sin sin sin （ ） A． 3 5 B． 3 5 C． 4 5 D．− 4 5 8．过点 − −1, 2)( 的直线 l 与曲线 = − −y x4 2 有且仅有两个不同的交点，则 l 的斜率的取值范 围为（ ） A．       − −      3 3 2, 0, 4 2 B． 2 2,0 0, 3       − ) C．    −   3 2, 2 D．       − −      4 3 2, 0, 3 2 9．已知双曲线 − =   a b a b x y 1 0, 0 2 2 2 2 )( 的左顶点与抛物线 = y px p2 0 2 )( 的焦点的距离为 4， 过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标 −2,2)( ，则双曲线的焦 距为（ ） A． 3 B．2 3 C． 5 D． 2 5 10．抛物线有这样一个重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于抛物线的顶 点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．若抛物线 =y px22 （ p 0）的焦点为 F，从 点 F发出的光线经过抛物线上点 M反射后，其反射光线过点N 3 3,3)( ，且 =FMN 120 ， 则△FMN的面积为（ ） A． 4 9 3 B． 4 9 C． 2 3 3 D． 2 9 3 第 3 页（共 4 高二数学试卷 页） 二、填空题（每题 4分） 11．已知直线 + − =l ax y: 2 2 01 ，直线 + + − =l x a y: 1 2 02 )( ，若 //l l1 2，则a = . 12．如图所示，在正三棱柱 −ABC A B C1 1 1中，所有棱长均为 1，则点 B1 到平面 ABC1 的距离 为 ． 13．在等差数列 an 中，若 + + = + + =a a a a a a39, 331 4 7 2 5 8 ，则 + +a a a3 6 9 的值为 . 14．已知抛物线 =x y42 的焦点为 F， , , ( , )A x y B x y( )1 1 2 2 是抛物线上的两点，若 =AB 8，则 AB 的中点到 x轴距离的最小值为 . 15．已知双曲线 − =C x y 2 4 : 1 2 2 ，M ， N 是C 上的两点， P 是MN 的中点，O为坐标原点，直 线OP 的斜率为− 2 1 ，则直线MN 的斜率为 ． 16．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过圆E ： + = −  x y a b a b 0 2 2 2 2 )( 上任意一点作双曲 线C ： − = a b x y 1 2 2 2 2 的两条切线，这两条切线互相垂直，我们通常把这个圆E 称作双曲线C 的 蒙日圆.过双曲线W ： − =y x 3 12 2 的蒙日圆上一点 P 作W 的两条切线，与该蒙日圆分别交于 A ， B 两点，若 = PAB 30 ，则 PAB 的周长为 . 三、解答题（每题 14分） 17．已知圆 C的圆心为 −2, 2)( ，且与直线 + + =x y 2 10 0相切． (1)求圆 C的方程； (2)求圆 C与圆 + =x y 42 2 的公共弦的长． 第 4 页（共 4 高二数学试卷 页） 18．（1）已知数列 an 的前 n项和 = −S n nn 2 3 2 ，求 an 的通项公式； （2）已知数列 an 满足 =a 2 1 1 ， + − =+ +a a a an n n n2 01 1 ，求数列 an 的通项公式． 19．如图，四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱 A1A⊥底面 ABCD，AB∥DC，AB⊥AD， AD=CD=1， AA1=AB=2，E 为棱 AA1的中点． （1）证明 B1C1⊥CE； （2）求 角夹的面平与面平 B CE C CE1 1 的正弦值． （3）设点 M 在线段 C1E 上，且直线 AM 与平面 ADD1A1所成角的正弦值为 6 2 ，求线段 AM 的长． 20．已知点A ， B 分别是椭圆 + = a b C x y : 1 2 2 2 2  a b( 0)的左顶点和上顶点，F 为其右焦点， 1BA BF = ，且该椭圆的离心率为 2 1 ； （1）求椭圆C 的标准方程； （2）设点 P 为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点M 为直线 AP 与 y 轴的交点，线段 AP 的中垂线与 x轴交于点 N ，若直线OP 斜率为 kOP ，直线MN 的斜率为 kMN ，且  = − a k k b OP MN 8 2 （O为坐标原点），求直线 AP 的方程.