天津市弘毅中学2024-2025学年高三上学期第二次过程性诊断考试数学试题

高三数学试卷 第 1 页（共 4 页） 天津市弘毅中学 2024—2025 学年度第一学期第二次过程性诊断 高三数学 命题人：王玉磊 本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。 一、选择题：(本题共 9个小题，每小题 5分，共 45分．每小题给出的四个选项只有一个符 合题目要求．） 1．已知集合  Z | 1 3A x x=  −  ，  0 3B x x=  ∣ ，则 A B =（ ） A． 0,1,2,3 B． 1,0,1, 2− C． 0 3x x ∣ D．{ 2 4}x x−  ∣ 2．设a R ，则“ 2a = ”是“直线 1 : 6 1 0l ax y+ − = 与直线 2 : ( 1) 4 0l x a y+ + + = 平行”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数 ( ) sin lnf x x x=  的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 4．已知实数 1 25a = ， 1 sin 3 b = ， 1 3 log 5c = ，则a，b ，c这三个数的大小关系是（ ） A．c a b  B．b c a  C．c b a  D．a c b  5．已知m， n为两条不同的直线， ，  为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 （ ） A．若m  ，n ，𝑚//𝛽， / /n  ，则 ∥ B．若 ∥ ，m  ，n  ，则m n∥ 高三数学试卷 第 2 页（共 4 页） C．若m ⊥ ，m n⊥ ，则n ∥ D．若𝑛//𝑚，n ⊥ ，则m ⊥ 6．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑P ABC− 中，PA ⊥ 平面 ABC， AC CB⊥ ， 2 2PA BC= = ， 3AC = ，则此四面体的外接球表面积为（ ） A．3π B．8π C．9π D． 8 2 π 3 7．函数 ( ) ( ) π sin 0, 0, 2 f x A x A      = +       的部分图象如图所示，将 ( )f x 的图象向左 平移 π 12 个单位长度后所得图象关于原点对称，则图中的a值为（ ） A． 1− B． 3− C． 2− D． 6 2 2 − − 8．已知椭圆E ： 2 2 2 2 1 x y a b + = （ 0a b  ）的左焦点为F ，过焦点F 作圆 2 2 2x y b+ = 的一条切 线 l交椭圆E 的一个交点为 A，切点为Q，且 2OA OF OQ+ = （O为坐标原点），则椭圆E 的 离心率为（ ） A． 5 3 B． 3 3 C． 6 3 D． 3 2 9．奇函数 ( )f x 和偶函数 ( )g x 的图象分别如图 1、图 2 所示，方程 ( ) 0f g x  =  和 ( ) 0g f x  =  的实根个数分别a，b ，则a b+ =（ ） A．3 B．7 C．10 D．14 高三数学试卷 第 3 页（共 4 页） 二、填空题（本大题共 6个小题，每小题 5分，共 30分．把答案填在题中横线上．） 10．若 1 iz = + ，则 1 iz+ = . 11．已知 π 2 cos( ) 6 3  − = ，则 π sin(2 ) 6  + = 12．已知圆 ( ) ( ) 2 2 : 3 3 4C x y− + + = ，过点 ( )2, 1− 的直线m 与圆C交于 ,M N 两点，且 2 3MN = ，则直线m的方程为 ． 13．过椭圆 2 2 1 2 y x + = 上一点 P 作 x轴的垂线，垂足为Q，则线段 PQ中点M 的轨迹方程 为 . 14．已知数列 na 满足 3 1n na a+ = + ，且 1 1a = ， 2 2a = ， 3 3a = ，则 7 8 9a a a+ + = ；记 na 的前n项和为 nS ，则 120S = ． 15．赵爽为《周髀算经》一书作注时介绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”．下图是某同学绘 制的赵爽弦图，其中 2AD ED= = ，点 ,P Q 分别是正方形 ABCD和正方形EFGH 上的动点， 给出下列四个结论： ① 4CD EF = ； ② 2 10EQ  ； ③设FB与 FE的夹角为 ，则 tan的值为 3； ④FP EQ 的最大值为 12． 其中所有正确结论的序号是 ． 三．解答题（共 5小题，满分 75分） 16．已知a，b ， c分别为△ 𝐴𝐵𝐶三个内角A ， B ，C 的对边，且2 2 cosb c a C= + ． (1)求A ； (2)若 3 cos 3 B = ，求 ( )sin 2B A− 的值； (3)若△𝐴𝐵𝐶的面积为 10 3 3 ， 3a = ，求△𝐴𝐵𝐶的周长． 高三数学试卷 第 4 页（共 4 页） 17．如图，在四面体 ABCD中， AD ⊥平面 ABC，点M 为 AB 中点，且 2AB AC= = ， 2 2BC = ， 2AD = . (1)证明： AC BD⊥ ； (2)求平面BCD与平面CDM 夹角的余弦值； (3)在直线BD上是否存在点 P ，使得直线PC与平面CDM 所成角的正弦值为 1 6 ？若存在；求 BP BD 的值；若不存在，请说明理由. 18．已知椭圆 ( ) 2 2 2 2 : 1 0 x y C a b a b + =   的离心率为 3 2 ，且过点 3 1, 2        . (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为 1 2 的直线 l与椭圆C交于M ， N 两点，且点M 在第一象限，点 ,A B分别为椭圆 C的右顶点和上顶点，求四边形 AMBN 面积S的最大值. 19．已知数列 na 是公差大于 1 的等差数列， 2 3a = ，且 1 1a + ， 3 1a − ， 6 3a − 成等比数列， 若数列 nb 前n项和为 nS ，并满足 2n nS b n= + ， *n N . (1)求数列 na 的通项公式. (2)证明：数列{𝑏𝑛 − 1}为等比数列，并求数列{𝑏𝑛}的通项公式 (3)若 ( )( )1 1n n nc a b= − − ，求数列 nc 前n项的和 nT . 20．已知函数 21( ) ln ( R) 2 f x x x ax a= −  . (1)讨论函数 ( )f x 的单调性； (2)若 ( )f x 有两个极值点，求实数a的取值范围； (3)当 0a = 时，若 ( ) e ( ) 1xg x f x= − − ，求证： ( ) 0g x  .