同步微点进阶讲义直线与圆-2025-2026学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

专题三 直线与圆的方程 微点10  如胶似漆：直线与圆 直线与圆的位置关系问题是本章的重点与难点，也是解析几何的初步，为后面的圆锥曲线学习打下基础.我们从以下三个角度进行研究： 1、相交问题； 2、相切问题； 3、定点定值问题. 对于直线与圆的位置关系，可以通过联立直线方程与圆的方程，通过方程解的情况来判定，也可以利用圆心到直线的距离来计算，显然后者计算量较小.在相交问题中，我们本文主要研究求参范围或最值和相交弦长的问题；在相切问题中，一方面探究切线方程、切点弦方程，及与相切有关的范围或最值问题；最后是以直线与圆有关的定点和定值问题，利用方程思想结合韦达定理的应用，一方面提高计算能力，也为后面圆锥曲线中的定点定值问题做良好铺垫. 探究一　相交问题 【典例1】（24-25高三上·全国·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点.现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】作点关于轴的对称点，利用直线与圆的关系计算圆心到反射光线的距离即可. 【详细解析】作点关于轴的对称点，则直线与圆有交点． 又，所以直线的方程为，即． 由题知圆的圆心为，半径为1， 直线与圆有交点，即圆心到直线的距离小于等于1， 所以，解得． 故选：A 【题后反思】对于光线的反射问题一般作对称点由入射光线得出反射光线所在直线，再利用直线与圆的位置关系计算即可. 【举一反三】（24-25高二上·黑龙江鹤岗·阶段练习） 1．设，．若动直线与交于点A，C，动直线与交于点B，D，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆的圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直线的距离为d，根据几何关系表示出，利用基本不等式即可求出其最大值. 【详解】， 圆心，半径， 过定点， 过定点，且⊥， 如图，设和中点分别为F、G，则四边形为矩形，    设，，则， 则＝ ，当且仅当即时取等号. 故选：B. 【典例2】（2024·河北唐山·二模）已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】作出线段的中点，将转化为，利用垂径定理，由图化简得，只需求的范围即可，故又转化成求过点的弦长的范围问题. 【详细解析】 如图，取线段的中点，连接，则， 由， 因直线经过点，考虑临界情况， 当线段中点与点重合时（此时），弦长最小，此时最长， 为，（但此时直线与轴平行，点不存在）； 当线段中点与点重合时，点与点重合，最短为0（此时符合题意）. 故的范围为. 故选：D. 【题后反思】本题解题的关键在于结合圆的弦想到取其中点，将转化为，利用垂径定理，将所求式转化成，而求范围即求弦的长的范围即可. 【举一反三】（24-25高三上·全国·自主招生） 2．圆O：，过点作两条互相垂直的动弦、，则四边形的面积的最大值为 . 【答案】28 【分析】过点作的垂线，垂足为，作的垂线，垂足为，构造直角三角形求出四边形的对角线长度，则四边形面积为对角线乘积的一半，结合基本不等式即可求解. 【详解】过点作的垂线，垂足为，作的垂线，垂足为，如图所示： 设， 则，且， 则四边形的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形的面积的最大值为28. 故答案为：28. 探究二　相切问题 【典例3】（2020·全国Ⅰ卷理）已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】根据几何条件，得出基本图形中的位置关系，将转化为图形面积问题，结合切线长得到目标为关于的关系式，从而确定点的位置，再将问题转化为过圆外一点作两条圆的切线，求切点弦方程问题． 【详细解析】圆的方程可化为，圆心到直线的距，所以直线与圆相离． 由平面几何知识，易得，，，四点共圆， 如图，且， 所以， 当直线时，，此时|最小． 此时，方程为即，联立解得即点． 至此，问题转化为“过点作圆：的切线，，求过两切点，的直线方程．” 方法1：注意到，，所以在以为直径的圆上， 所以方程即以为直径的圆和已知圆的公共弦方程． 易得以为直径的圆的方程为． 又圆：，两圆的方程相减得，即公共弦的方程． 故选D． 方法2：设两切点坐标为，，由过圆上一点的切线方程， 得切线的方程为， 即， 同理切线的方程为． 因为点在这两条切线上，代入化简可得 点，坐标均满足方程． 因此，直线的方程为． 故选D． 【题后反思】过圆上一点作圆的切线，其切线方程的常用结论： ①圆，切线方程：． ②圆，切线方程：． ③圆，切线方程：． 过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，，切点弦的方程的常用结论： ①圆，切点弦的方程：． ②圆，切点弦的方程：． ③圆，切点弦的方程：． 过圆：外一点作圆的切线，切点为，则其切线长． 【举一反三】（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习） 3．已知圆直线，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别与圆M相切于点A，B．则下列说法正确的个数是（   ） （1）四边形PAMB的面积最小值为                （2）最短时，弦AB长为 （3）最短时，弦AB直线方程为    （4）直线AB过定点 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，当最短时，面积最小，当时，最短，求出面积即可得（1）错误；结合（1）和弦长公式以及几何关系可得（2）正确；当短时，由两直线平行得到斜率关系，再求出AB的直线方程，利用点到直线的距离求出，再结合几何关系确定的取值可得直线方程，最后可得（3）错误；设圆上一点，由向量的数量积为零得到关于点的两条直线方程，解方程组即可得到定点坐标，可得（4）错误； 【详解】对于（1），四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，即， 最短时，面积最小，故当时，最短， 即， ，故（1）错误； 对于（2），由上述可知，时，最短，故最小，且最小值为， 所以，故（2）正确； 对于（3），当短时，则，又，所以， 可设AB的直线方程为圆心到直线AB的距离， 解得或， 由于直线AB在圆心的右侧，且在直线l的左侧， 所以，所以，即直线AB的方程为，故（3）错误； 对于（4），设圆上一点， ， 易知，由于， 所以，同理， ，， ，即， 令， 解得，所以直线AB过定点为，故（4）错误； 故选：A． 【典例4】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 【思路引导】由表示圆上的点到定点的距离的平方，可判定A错误；由表示圆上的点与点的斜率，设，结合直线与圆相切列出方程，可判定B正确；由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，进而可判定C错误；根据点在圆上，结合圆的切线的性质，可判定D正确. 【详细解析】由圆可化为，可得圆心，半径为， 对于A中，由表示圆上的点到定点的距离的平方， 所以它的最大值为，所以A错误； 对于B中，表示圆上的点与点的斜率，设，即， 显然该直线与圆相切时取得最值， 即由圆心到直线的距离，解得， 所以的最大值为，所以B正确； 对于C中，由表示圆上任意一点到直线的距离的倍， 圆心到直线的距离，所以其最小值为，所以C错误； 对于D中，因为点满足圆的方程，即点在圆上， 则点与圆心连线的斜率为， 根据圆的性质，可得过点作圆的切线的斜率为， 所以切线方程为，即，所以D正确. 故选：BD. 【题后反思】①圆中最值的斜率型：，可转化为圆上一点与定点的斜率问题，利用相切求最值端点值；②圆中最值的截距型：，可转化为动直线与有交点，也可利用相切时求最值端点值. 【举一反三】 4．若直线l：与曲线C：有两个交点，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意分析可得曲线C是以为圆心，1为半径的右半圆，结合图象分析求解. 【详解】因为，可得，且， 所以曲线C是以为圆心，1为半径的右半圆， 直线l：过定点，斜率为，如图所示：    当直线l过时，可得； 当直线l：与曲线C相切，则，解得； 所以实数k的取值范围是. 故答案为：. 探究三　定点定值问题 【典例5】（23-24高二上·北京·阶段练习）已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是． （1）求曲线的方程； （2）已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点直线的斜率分别为，，且证明：直线恒过定点． 【思路引导】（1）利用中点坐标公式以及求轨迹方程的方法求解； （2）利用韦达定理结合题意求解. 【详细解析】（1）设，， 由中点坐标公式得 因为点的轨迹方程是， 所以， 整理得曲线的方程为． （2）设直线的方程为，，，， 由，得， 所以，， 所以 ， 所以，且即， 即， 所以直线的方程为，即直线过定点． 【题后反思】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 【举一反三】 5．设点为直线上任意一点，过点作圆的切线，切点分别为，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设为直线上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点， 【详解】如图，连接，，   根据题意，设为直线上的一点，则， 由于为圆的切线，则有，， 则点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为,，半径， 则其方程为，变形可得， 联立可得直线AB：， 又由，则有AB：，变形可得， 则有，解可得，故直线恒过定点. 故选：B. 【典例6】（湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二上学期第二次联考数学试题）在平面直角坐标系中，已知，，，且，点P的轨迹为C. （1）求C的方程； （2）求证：当，是x正半轴上的两个不同点，且时，为定值. 【思路引导】（1）由两点间的距离公式，建立等量关系化简即可得C的方程； （2）由两点间的距离公式，及，化简证明即可. 【详细解析】（1）因为已知，，， 所以，， 因为，所以， 化简得：， 所以C的方程为：. （2）证明：当，是x正半轴上的两个不同点， 则，且，所以，， ，， 所以， 又，所以， 所以为定值. 【题后反思】线段比值的定值问题，一般可利用两点距离公式计算线段比，注意根据横纵坐标的等量关系以及参数之间的关系消元转化；也可利用几何性质将线段比化为坐标比，利用韦达定理消元化简计算. 【举一反三】（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习） 6．已知圆，过作直线圆交于点． (1)求证：是定值； (2)若点．求的值． 【答案】(1)为定值，证明见解析 (2)-1 【分析】（1）易知当直线的斜率不存在时；当直线的斜率存在时，设直线方程和，联立圆方程，利用韦达定理表示，结合平面向量的坐标表示化简计算即可求解； （2）根据两点表示可得，由（1）知，计算化简即可求解. 【详解】（1）若直线的斜率不存在，则， 则，所以； 若直线的斜率存在，设， ，消去，得， ，又， 所以. 综上，为定值. （2）易知直线的斜率存在，由（1）知， 所以，得， 由，得， 所以. （2023·全国·高考真题） 7．已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【答案】C 【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可. 【详解】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 8．设直线系，对于下列四个命题： （1）中所有直线均经过某定点； （2）存在定点不在中的任意一条直线上； （3）对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上； （4）中的直线所能围成的正三角形面积都相等； 其中真命题的是（    ） A．（2）（3） B．（1）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2） 【答案】A 【分析】先求出直线 的几何特征，再逐项分析即可. 【详解】原点O 到直线的距离为 ，所以直线M始终是圆O： 的切线； 对于A，由于 的变化，直线M是围绕圆O旋转的，没有定点，错误； 对于B，O点不在直线M上，正确； 对于C，如果圆O是该正多边形的内切圆，则其所在的边必定在M上，正确； 对于D，正 的三边所在的直线均与圆相切，可以分为切点全在边上或者一个切点在边上，两个切点在边的延长线上两种情况，三角形面积不相等，错误； 故选：A. 9．已知圆，有下列四个命题： ①一定存在与所有圆都相切的直线； ②有无数条直线与所有的圆都相交； ③存在与所有圆都没有公共点的直线； ④所有的圆都不过原点. 其中正确的命题个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】①可先设出切线方程，利用圆心到直线距离等于半径建立等式求解. ②③根据直线与两条切线的相对位置，可找出与圆相交和相离的直线 ④假设过原点，有解 【详解】由圆知 圆心坐标为，半径，圆心在直线上， ①假设存在直线与所有圆均相切，设为 则到的距离为 可得 直线与所有圆均相切，故切线应与无关，可取，有 解得. 即 所以，存在与所有圆均相切的直线，故①正确； 过点介于两相切直线之间的直线，均与所有圆相交，故②正确； 过点在两相切直线之外部区域的直线，与所有圆均没有交点，故③正确； 假设过原点，则，得或，故④错误. 故选：C 【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． （2021·全国·高考真题） 10．已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. （2022·全国·高考真题） 11．设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可； 【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上， 所以所在直线即为直线，所以直线为，即； 圆，圆心，半径， 依题意圆心到直线的距离， 即，解得，即； 故答案为： （24-25高二上·吉林长春·阶段练习） 12．已知为圆C：上任意一点， (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）设，得直线，易知同时在直线与圆上，所以只需要直线与圆有交点即可； （2），表示两点间距离的平方，最后利用距离求范围即可. 【详解】（1）由题可知， 设,得直线， 该直线与圆有交点即可，所以 圆心到直线的距离要小于等于半径即可， 有解得 即 所以的最大值为，最小值为 （2） 显然表示点到点的距离的平方， 即 已知在圆上，所以 显然， 所以 所以 所以 所以 所以的最大值为，最小值为. 13．如图，经过原点O的直线与圆相交于A，B两点，过点且与垂直的直线与圆M的另一个交点为D． (1)当点B坐标为时，求直线的方程； (2)记点A关于x轴对称点为F（异于点A，B），求证：直线恒过x轴上一定点，并求出该定点坐标； (3)求四边形的面积S的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）根据两点的斜率公式及直线的点斜式方程即可求解； （2）设直线方程为，联立圆，可得，设，，则，再将直线直线求出，令，根据根与系数的关系可求出其所过定点； （3）设圆心到直线的距离平方为m，则，设圆心到直线的距离平方为n，根据圆的几何性质及平面几何知识易得，再利用弦长公式及四边形的面积公式，构建四边形的面积S关于m的函数关系式，最后求出S的取值范围． 【详解】（1）∵，， ∴的斜率为，又， ∴的斜率为，又， ∴直线的方程，即. （2）根据题意可得直线的斜率存在且不为0，又过原点， ∴设直线方程为，联立圆， 可得，设，， 则，又， ∴直线为， 令，可得x＝， ∴直线恒过x轴上定点； （3）作，，垂足分别为，与交于点， 设圆心到直线的距离平方为m，则，即， 设圆心到直线的距离平方为n， 根据圆的几何性质及平面几何知识易得点为中点，，则，即， 可得， ，又，， ∴四边形的面积为： ， 又，令， ∴，即， ∴四边形的面积S的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题三 直线与圆的方程 微点10  如胶似漆：直线与圆 直线与圆的位置关系问题是本章的重点与难点，也是解析几何的初步，为后面的圆锥曲线学习打下基础.我们从以下三个角度进行研究： 1、相交问题； 2、相切问题； 3、定点定值问题. 对于直线与圆的位置关系，可以通过联立直线方程与圆的方程，通过方程解的情况来判定，也可以利用圆心到直线的距离来计算，显然后者计算量较小.在相交问题中，我们本文主要研究求参范围或最值和相交弦长的问题；在相切问题中，一方面探究切线方程、切点弦方程，及与相切有关的范围或最值问题；最后是以直线与圆有关的定点和定值问题，利用方程思想结合韦达定理的应用，一方面提高计算能力，也为后面圆锥曲线中的定点定值问题做良好铺垫. 探究一　相交问题 【典例1】（24-25高三上·全国·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点.现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】作点关于轴的对称点，利用直线与圆的关系计算圆心到反射光线的距离即可. 【详细解析】作点关于轴的对称点，则直线与圆有交点． 又，所以直线的方程为，即． 由题知圆的圆心为，半径为1， 直线与圆有交点，即圆心到直线的距离小于等于1， 所以，解得． 故选：A 【题后反思】对于光线的反射问题一般作对称点由入射光线得出反射光线所在直线，再利用直线与圆的位置关系计算即可. 【举一反三】（24-25高二上·黑龙江鹤岗·阶段练习） 1．设，．若动直线与交于点A，C，动直线与交于点B，D，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·河北唐山·二模）已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】作出线段的中点，将转化为，利用垂径定理，由图化简得，只需求的范围即可，故又转化成求过点的弦长的范围问题. 【详细解析】 如图，取线段的中点，连接，则， 由， 因直线经过点，考虑临界情况， 当线段中点与点重合时（此时），弦长最小，此时最长， 为，（但此时直线与轴平行，点不存在）； 当线段中点与点重合时，点与点重合，最短为0（此时符合题意）. 故的范围为. 故选：D. 【题后反思】本题解题的关键在于结合圆的弦想到取其中点，将转化为，利用垂径定理，将所求式转化成，而求范围即求弦的长的范围即可. 【举一反三】（24-25高三上·全国·自主招生） 2．圆O：，过点作两条互相垂直的动弦、，则四边形的面积的最大值为 . 探究二　相切问题 【典例3】（2020·全国Ⅰ卷理）已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】根据几何条件，得出基本图形中的位置关系，将转化为图形面积问题，结合切线长得到目标为关于的关系式，从而确定点的位置，再将问题转化为过圆外一点作两条圆的切线，求切点弦方程问题． 【详细解析】圆的方程可化为，圆心到直线的距，所以直线与圆相离． 由平面几何知识，易得，，，四点共圆， 如图，且， 所以， 当直线时，，此时|最小． 此时，方程为即，联立解得即点． 至此，问题转化为“过点作圆：的切线，，求过两切点，的直线方程．” 方法1：注意到，，所以在以为直径的圆上， 所以方程即以为直径的圆和已知圆的公共弦方程． 易得以为直径的圆的方程为． 又圆：，两圆的方程相减得，即公共弦的方程． 故选D． 方法2：设两切点坐标为，，由过圆上一点的切线方程， 得切线的方程为， 即， 同理切线的方程为． 因为点在这两条切线上，代入化简可得 点，坐标均满足方程． 因此，直线的方程为． 故选D． 【题后反思】过圆上一点作圆的切线，其切线方程的常用结论： ①圆，切线方程：． ②圆，切线方程：． ③圆，切线方程：． 过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，，切点弦的方程的常用结论： ①圆，切点弦的方程：． ②圆，切点弦的方程：． ③圆，切点弦的方程：． 过圆：外一点作圆的切线，切点为，则其切线长． 【举一反三】（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习） 3．已知圆直线，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别与圆M相切于点A，B．则下列说法正确的个数是（   ） （1）四边形PAMB的面积最小值为                （2）最短时，弦AB长为 （3）最短时，弦AB直线方程为    （4）直线AB过定点 A．1 B．2 C．3 D．4 【典例4】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 【思路引导】由表示圆上的点到定点的距离的平方，可判定A错误；由表示圆上的点与点的斜率，设，结合直线与圆相切列出方程，可判定B正确；由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，进而可判定C错误；根据点在圆上，结合圆的切线的性质，可判定D正确. 【详细解析】由圆可化为，可得圆心，半径为， 对于A中，由表示圆上的点到定点的距离的平方， 所以它的最大值为，所以A错误； 对于B中，表示圆上的点与点的斜率，设，即， 显然该直线与圆相切时取得最值， 即由圆心到直线的距离，解得， 所以的最大值为，所以B正确； 对于C中，由表示圆上任意一点到直线的距离的倍， 圆心到直线的距离，所以其最小值为，所以C错误； 对于D中，因为点满足圆的方程，即点在圆上， 则点与圆心连线的斜率为， 根据圆的性质，可得过点作圆的切线的斜率为， 所以切线方程为，即，所以D正确. 故选：BD. 【题后反思】①圆中最值的斜率型：，可转化为圆上一点与定点的斜率问题，利用相切求最值端点值；②圆中最值的截距型：，可转化为动直线与有交点，也可利用相切时求最值端点值. 【举一反三】 4．若直线l：与曲线C：有两个交点，则实数k的取值范围是 . 探究三　定点定值问题 【典例5】（23-24高二上·北京·阶段练习）已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是． （1）求曲线的方程； （2）已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点直线的斜率分别为，，且证明：直线恒过定点． 【思路引导】（1）利用中点坐标公式以及求轨迹方程的方法求解； （2）利用韦达定理结合题意求解. 【详细解析】（1）设，， 由中点坐标公式得 因为点的轨迹方程是， 所以， 整理得曲线的方程为． （2）设直线的方程为，，，， 由，得， 所以，， 所以 ， 所以，且即， 即， 所以直线的方程为，即直线过定点． 【题后反思】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 【举一反三】 5．设点为直线上任意一点，过点作圆的切线，切点分别为，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【典例6】（湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二上学期第二次联考数学试题）在平面直角坐标系中，已知，，，且，点P的轨迹为C. （1）求C的方程； （2）求证：当，是x正半轴上的两个不同点，且时，为定值. 【思路引导】（1）由两点间的距离公式，建立等量关系化简即可得C的方程； （2）由两点间的距离公式，及，化简证明即可. 【详细解析】（1）因为已知，，， 所以，， 因为，所以， 化简得：， 所以C的方程为：. （2）证明：当，是x正半轴上的两个不同点， 则，且，所以，， ，， 所以， 又，所以， 所以为定值. 【题后反思】线段比值的定值问题，一般可利用两点距离公式计算线段比，注意根据横纵坐标的等量关系以及参数之间的关系消元转化；也可利用几何性质将线段比化为坐标比，利用韦达定理消元化简计算. 【举一反三】（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习） 6．已知圆，过作直线圆交于点． (1)求证：是定值； (2)若点．求的值． （2023·全国·高考真题） 7．已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 8．设直线系，对于下列四个命题： （1）中所有直线均经过某定点； （2）存在定点不在中的任意一条直线上； （3）对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上； （4）中的直线所能围成的正三角形面积都相等； 其中真命题的是（    ） A．（2）（3） B．（1）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2） 9．已知圆，有下列四个命题： ①一定存在与所有圆都相切的直线； ②有无数条直线与所有的圆都相交； ③存在与所有圆都没有公共点的直线； ④所有的圆都不过原点. 其中正确的命题个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 （2021·全国·高考真题） 10．已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， （2022·全国·高考真题） 11．设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ． （24-25高二上·吉林长春·阶段练习） 12．已知为圆C：上任意一点， (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． 13．如图，经过原点O的直线与圆相交于A，B两点，过点且与垂直的直线与圆M的另一个交点为D． (1)当点B坐标为时，求直线的方程； (2)记点A关于x轴对称点为F（异于点A，B），求证：直线恒过x轴上一定点，并求出该定点坐标； (3)求四边形的面积S的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$