空间向量坐标法讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

专题一 空间向量与立体几何 微点3 空间向量坐标法 在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量为基底，建立了向量的坐标与点的坐标之间的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算．类似地，在空间中，也可以以空间直角坐标系中与轴、轴、轴方向相同的三个单位向量为基底，建立向量的坐标与点的坐标之间的一一对应关系，从而把空间向量的运算化归为数的运算．利用坐标法可以解决以下常见的几种问题： 1、线线垂直的证明 2、求两点距离 3、求线线夹角 处理方法：根据条件建立合适的空间直角坐标系，利用坐标表示点的坐标及相应直线的方向向量，根据模长的坐标公式及向量的数量积公式计算即可. 类型一　证明线线垂直问题 【典例1】如图，在四棱锥中，底面．求证：． 【思路引导】要证，只需证．可对此四棱锥建立空闻直角坐标系，把向量用坐标表示，进而求出数量积，从而得出结论． 【详细解析】过点做，交AB于点．以为原点，建立空间直角坐标系，如图3－2，则，，则，所以，所以． 【题后反思】利用坐标法求解的关键是建立空间直角坐标系，写出向量的坐标. 【举一反三】 1．在空间直角坐标系中，已知的顶点分别为2，，3，，1，，求证：是直角三角形． 【答案】证明见解析 【分析】证明即得证. 【详解】证明：在空间直角坐标系中， 的顶点分别为2，，3，，1，， 1，，，， ， ， 是直角三角形． 【点睛】本题主要考查空间向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 【典例2】如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点，若线段上总存在一点，使得，求的最大值． 【思路引导】建立合适的空间直角坐标系，设，求出，利用求出，即可得出的最大值. 【详细解析】因为正方形和矩形所在的平面互相垂直， 则可得两两垂直，则可以C为原点建立如图所示空间直角坐标系， ，则， 因为点在线段上，设，其中， 则，从而点坐标为， 于是，而， 则由可知，即， 所以，解得，故的最大值为. 【题后反思】关键是根据条件建立合适的空间直角坐标系，利用垂直的坐标运算计算参数即可. 【举一反三】 2．在平行六面体中，底面是矩形，， 平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标. (1)； (2)； (3)； (4)若为上点，且，写出点坐标； 【答案】(1)，，， (2) (3) (4). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出，，，的坐标； （2）利用重心坐标公式计算得到点坐标； （3）利用向量相等得到点B坐标； （4）利用向量垂直得到方程，求出点坐标. 【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，以过点作的平行线为轴建立空间直角坐标系． 设点，点在平面上则， 由图可知它到轴投影对应数值，则， 到轴投影对应数值为，则，即 同理得； （2）是的重心， (由三角形重心公式可得) （3）设，则，， 又 ， 比较得， 点B坐标为 （4）三点共线，可设，(某点在一直线上常用向量法) 即， ， ， ， ∴ 解得：， 故. 类型二　求两点距离问题 【典例3】的三个顶点分别是，则边AC上的高BD的长度为______． 【思路引导】 要求边AC上的高BD的长度，只需要求出点的坐标，再利用向量的模长公式求出BD的长度． 【详细解析】设点，则， 因为垂足满足条件所以 即所以，所以． 【题后反思】要求某线段的长度时，应在空间直角坐标系中写出这两点的坐标，从而写出向量的坐标表示，再用模长公式求出这两点间的距离． 【举一反三】 3．在四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点．若点在棱上，，，求的长．    【答案】1 【分析】以为坐标原点，为轴正方向，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，计算的坐标，根据代入计算即可. 【详解】由已知得，以为坐标原点，为轴正方向，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，． 又点在棱上，设， 因为， 则． 由得， 解得， 所以， 所以．    【典例4】（2024·浙江·模拟预测）边长为1的正方体中，，分别是，中点，是靠近的四等分点，在正方体内部或表面，，则的最大值是（ ） A．1    B．    C．    D． 【思路引导】建立空间直角坐标系，设，从而求得，再根据向量模长公式结合即可求解. 【详细解析】如图，建立空间直角坐标系，设， 则， 所以，则， 因为，又， 所以，即， 所以， 又，所以，当且仅当， 此时时，等号成立，所以的最大值是. 故选：D. 【题后反思】求模长的范围或最值，可以利用条件得出坐标各量的关系结合函数值域计算即可. 【举一反三】 （23-24高二上·浙江杭州·期中） 4．如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出点P的轨迹结合函数求最值即可. 【详解】    依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设， 所以， 即，所以， 而， 由二次函数的单调性可知， 当时，，则. 故选：B 类型三　求线线夹角 【典例5】在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【思路引导】要求异面直线与所成的角，可以先写出和的坐标，用坐标法求两向量夹角的余弦值，进而求两直线夹角的余弦值． 【详细解析】如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，，则， 所以．故选C． 【题后反思】 要用坐标法求两直线夹角，关键在于建立空间直角坐标系，写出两直线的方向向量的坐标表示，从而利用坐标的运算求两向量夹角的余弦值，进而求两直线夹角的余弦值．特别要注意的是两异面直线夹角的余弦值一定是非负数，而两向量夹角的余弦值是可正可负的，若记两异面直线的夹角为，两异面直线的方向向量的夹角为，则有． 【举一反三】 5．已知是空间的一个单位正交基底，且，，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与夹角为，利用空间向量数量积坐标表示从而求解. 【详解】由题意得是空间的一个单位正交基底， 所以=，， 设与的夹角为，， 所以，故D项错误. 故选：D. 【典例6】在正三棱台中，，是的中点，设与所成角分别为，则（ ） A．    B． C．    D． 【思路引导】设的中心分别为，所以垂直于上下底面， 是的中点，所以，取的中点，则，分别以为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，利用夹角公式可得答案. 【详细解析】如图正三棱台中， 均为正三角形，设的中心分别为，所以垂直于上下底面， 是的中点，所以，取的中点，则，分别以为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，因为，所以 ，，取中点，则，因为为正三角形的中心，所以，所以，，作交于，则，， 所以， 所以， 所以，，， ， 所以， ， ， 综上所述，，. 故选：D. 【题后反思】本题考查了线线角的求法，关键点是建立空间直角坐标系，利用向量数量积公式求得答案，考查了学生的空间想象力和运算能力. 【举一反三】 6．如图，已知矩形与矩形全等，二面角为直二面角，为中点，与所成角为，且，则. A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】以A为原点，AF为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2a，BC＝2b，利用向量法能求出AB与BC的长度之比． 【详解】以A为原点，AF为x轴，AB为y轴，AD为z轴， 建立空间直角坐标系， 设AB＝2a，BC＝2b， 则F（2b，0，0），M（0，a，0），B（0，2a，0）， D（0，0，2b）， （﹣2b，a，0），（0，﹣2a，2b）， ∵FM与BD所成角为θ，且cosθ， ∴|cos，|， 整理，得5a2b2+4b4﹣26a4＝0， ∴﹣26×（）4+5×（）2+4＝0， 解得（）2，或 （）2 （舍）， ∴ 故选C． 【点睛】本题考查两线段长的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． （安徽省部分学校2023-2024学年高二上学期阶段性测试（一）数学试题） 7．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱，的中点，若直线与平面交于点，则线段的长度为（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线可得，进而根据空间中点点距离即可求解. 【详解】如图，连接，因为直线与都在平面内， 所以直线与的交点即与平面的交点， 由于且，故由三角形相似，可得， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，所以，从而， 所以的坐标为，所以, 故选:B    8．如图，正方体的棱长为1，P为的中点，M在侧面上，若，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，利用向量的坐标运算求得，进而结合二次函数性质求得，利用三角形面积公式，即可求得答案. 【详解】以点为空间直角坐标系的原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则点，，所以． 因为，，所以, 因为，所以，所以． 因为，所以， 所以,因为， 所以当时，． 因为正方体中，平面，平面,故， 所以， 故选：C． （21-22高三下·全国·阶段练习） 9．如图，，是圆柱底面的圆心，，，均为圆柱的母线，是底面直径，E为的中点．已知，． (1)证明：； (2)若，求该圆柱的体积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过线面垂直证明线线垂直 （2）建立空间直角坐标系，根据垂直条件解出圆柱的高 【详解】（1） 连结，可知 平面 平面 （2）如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系 设圆柱的高为 可得 由题意得，解得 故圆柱的体积 10．如图，直三棱柱，底面中，，，，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求的值； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)详见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得的坐标，再求模即可； （2）分别求得的坐标，再利用向量的夹角公式求解； （3）分别求得的坐标，再判断是否为零即可. 【详解】（1）解：建立如图所示空间直角坐标系： ， 则， 所以， 则； （2）由（1）知， 所以， 则， 所以； （3）由（1）知， 所以， 则， 所以． 11．在棱长为2的正方体中，Q是棱的中点，点P在侧面（包含边界）上. (1)若点P与点Q重合，求点P到平面的距离； (2)若，求线段CP长度的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）连接交于点，证明面，求出点到平面的距离为即得解； （2）如图建立空间直角坐标系，设，根据得到，求出即得解. 【详解】（1）解：在正方体中， ，面，面，所以面， 连接交于点，所以， 又面，面，所以， 因为，所以面， 因为正方体的棱长为，所以，即点到平面的距离为， 若点与点重合，则点到平面的距离即为点到平面的距离为. （2）解：如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 设，则，，， 因为，所以，所以，即， 所以， 因为,所以， 所以，即. （23-24高二上·山西运城·阶段练习） 12．如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面，.    (1)若 与 相似，三棱锥 的外接球的球心恰为 中点，求 与平面 所成角的正弦值； (2)求四棱锥 体积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用面面垂直性质定理及线面角的定义计算即可； （2）结合空间向量法求轨迹方程再应用体积公式求解. 【详解】（1）由题意知平面平面，平面平面，且平面APB，平面， 又， 又三棱锥外接球的球心恰为中点，， ，即， ， 又 ，设与平面所成角的正弦值为. 即与平面所成角的正弦值为. （2） 易知四边形的面积为3， 以为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 易知点在平面内，设， 由得， 即即， 轨迹是在面上，以为圆心，为半径的圆上， 体积最大，即到平面距离最大，且最大值为， 最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题一 空间向量与立体几何 微点3 空间向量坐标法 在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量为基底，建立了向量的坐标与点的坐标之间的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算．类似地，在空间中，也可以以空间直角坐标系中与轴、轴、轴方向相同的三个单位向量为基底，建立向量的坐标与点的坐标之间的一一对应关系，从而把空间向量的运算化归为数的运算．利用坐标法可以解决以下常见的几种问题： 1、线线垂直的证明 2、求两点距离 3、求线线夹角 处理方法：根据条件建立合适的空间直角坐标系，利用坐标表示点的坐标及相应直线的方向向量，根据模长的坐标公式及向量的数量积公式计算即可. 类型一　证明线线垂直问题 【典例1】如图，在四棱锥中，底面．求证：． 【思路引导】要证，只需证．可对此四棱锥建立空闻直角坐标系，把向量用坐标表示，进而求出数量积，从而得出结论． 【详细解析】过点做，交AB于点．以为原点，建立空间直角坐标系，如图3－2，则，，则，所以，所以． 【题后反思】利用坐标法求解的关键是建立空间直角坐标系，写出向量的坐标. 【举一反三】 1．在空间直角坐标系中，已知的顶点分别为2，，3，，1，，求证：是直角三角形． 【典例2】如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点，若线段上总存在一点，使得，求的最大值． 【思路引导】建立合适的空间直角坐标系，设，求出，利用求出，即可得出的最大值. 【详细解析】因为正方形和矩形所在的平面互相垂直， 则可得两两垂直，则可以C为原点建立如图所示空间直角坐标系， ，则， 因为点在线段上，设，其中， 则，从而点坐标为， 于是，而， 则由可知，即， 所以，解得，故的最大值为. 【题后反思】关键是根据条件建立合适的空间直角坐标系，利用垂直的坐标运算计算参数即可. 【举一反三】 2．在平行六面体中，底面是矩形，， 平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标. (1)； (2)； (3)； (4)若为上点，且，写出点坐标； 类型二　求两点距离问题 【典例3】的三个顶点分别是，则边AC上的高BD的长度为______． 【思路引导】 要求边AC上的高BD的长度，只需要求出点的坐标，再利用向量的模长公式求出BD的长度． 【详细解析】设点，则， 因为垂足满足条件所以 即所以，所以． 【题后反思】要求某线段的长度时，应在空间直角坐标系中写出这两点的坐标，从而写出向量的坐标表示，再用模长公式求出这两点间的距离． 【举一反三】 3．在四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点．若点在棱上，，，求的长．    【典例4】（2024·浙江·模拟预测）边长为1的正方体中，，分别是，中点，是靠近的四等分点，在正方体内部或表面，，则的最大值是（ ） A．1    B．    C．    D． 【思路引导】建立空间直角坐标系，设，从而求得，再根据向量模长公式结合即可求解. 【详细解析】如图，建立空间直角坐标系，设， 则， 所以，则， 因为，又， 所以，即， 所以， 又，所以，当且仅当， 此时时，等号成立，所以的最大值是. 故选：D. 【题后反思】求模长的范围或最值，可以利用条件得出坐标各量的关系结合函数值域计算即可. 【举一反三】 （23-24高二上·浙江杭州·期中） 4．如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（    ）    A． B． C． D． 类型三　求线线夹角 【典例5】在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【思路引导】要求异面直线与所成的角，可以先写出和的坐标，用坐标法求两向量夹角的余弦值，进而求两直线夹角的余弦值． 【详细解析】如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，，则， 所以．故选C． 【题后反思】 要用坐标法求两直线夹角，关键在于建立空间直角坐标系，写出两直线的方向向量的坐标表示，从而利用坐标的运算求两向量夹角的余弦值，进而求两直线夹角的余弦值．特别要注意的是两异面直线夹角的余弦值一定是非负数，而两向量夹角的余弦值是可正可负的，若记两异面直线的夹角为，两异面直线的方向向量的夹角为，则有． 【举一反三】 5．已知是空间的一个单位正交基底，且，，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【典例6】在正三棱台中，，是的中点，设与所成角分别为，则（ ） A．    B． C．    D． 【思路引导】设的中心分别为，所以垂直于上下底面， 是的中点，所以，取的中点，则，分别以为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，利用夹角公式可得答案. 【详细解析】如图正三棱台中， 均为正三角形，设的中心分别为，所以垂直于上下底面， 是的中点，所以，取的中点，则，分别以为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，因为，所以 ，，取中点，则，因为为正三角形的中心，所以，所以，，作交于，则，， 所以， 所以， 所以，，， ， 所以， ， ， 综上所述，，. 故选：D. 【题后反思】本题考查了线线角的求法，关键点是建立空间直角坐标系，利用向量数量积公式求得答案，考查了学生的空间想象力和运算能力. 【举一反三】 6．如图，已知矩形与矩形全等，二面角为直二面角，为中点，与所成角为，且，则. A．1 B． C． D． （安徽省部分学校2023-2024学年高二上学期阶段性测试（一）数学试题） 7．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱，的中点，若直线与平面交于点，则线段的长度为（    ）    A． B．2 C． D． 8．如图，正方体的棱长为1，P为的中点，M在侧面上，若，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． （21-22高三下·全国·阶段练习） 9．如图，，是圆柱底面的圆心，，，均为圆柱的母线，是底面直径，E为的中点．已知，． (1)证明：； (2)若，求该圆柱的体积． 10．如图，直三棱柱，底面中，，，，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求的值； (3)求证：． 11．在棱长为2的正方体中，Q是棱的中点，点P在侧面（包含边界）上. (1)若点P与点Q重合，求点P到平面的距离； (2)若，求线段CP长度的取值范围. （23-24高二上·山西运城·阶段练习） 12．如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面，.    (1)若 与 相似，三棱锥 的外接球的球心恰为 中点，求 与平面 所成角的正弦值； (2)求四棱锥 体积的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$