同步微点进阶讲义6 空间向量与立体几何范围问题-2025-2026学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

专题一 空间向量与立体几何 微点6  空间向量与立体几何范围问题 立体几何中的最值范围问题，涉及到空间几何体的结构特征及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等方面，题目比较综合.一般有以下几种题型： 1、线段范围问题 2、角度范围问题 3、面积、体积范围问题 除了利用几何性质进行分析外，通常情况下，我们都是利用空间向量或坐标系建立目标函数，利用代数方法求目标函数的值域；或者构建不等式解不等式、亦或利用基本不等式来解决问题. 类型一　线段范围问题 【典例1】在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记，其中．则MN的长的最小值为（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】根据面面垂直性质可证得平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系；利用空间中两点间距离公式可表示出；将整理为，由二次函数最值可得结果. 【详细解析】平面平面，平面平面，，平面，平面， 则以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， ； 则， 当时，最小，最小值为. 故选：A. 【题后反思】设动点坐标，将动点距离问题转化为二次函数的值域问题是求解范围问题的重要方法. 【举一反三】 1．如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·云南玉溪·阶段练习）在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面距离的最大值为（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】连接交于点O，由题意得，接着建立空间直角坐标系求出向量和平面的法向量即可根据向量法的点到平面距离公式求解. 【详细解析】连接交于点O， 由题意，得，， ， 如图，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，设， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取， 则， 设顶点B到平面距离为d， 则， 当时， 当时，， 所以当即时点B到平面距离最大为. 故选：A. 【题后反思】根据点在体对角线上设向量表达式，含参求平面法向量，再根据点面距离公式将问题化为二次函数求最值. 【举一反三】 （24-25高二上·全国·课后作业） 2．如图，在直三棱柱中，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 类型二　角度范围问题 【典例3】设动点在棱长为的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是 ． 【思路引导】建立空间直角坐标系，求得，根据求得的取值范围. 【详细解析】由题设可知，以为坐标原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，，，， 则，得， 所以， ， 显然不是平角，所以为钝角等价于， 即，即， 解得，因此的取值范围是. 故答案为： 【题后反思】根据线段比例关系表示点坐标，再根据空间向量夹角的范围，利用数量积的坐标运算计算夹角即可. 【举一反三】 （24-25高二上·上海·课堂例题） 3．如图，在正方体中，点O为线段BD的中点.设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例4】如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为 ；二面角的正弦值的最小值为 . 【思路引导】第一空：根据已知条件，得出垂直于平面，三棱锥中为高， 为底面，根据三棱锥体积公式，确定， 进而将问题转化为求的最大值， 根据角的取值范围，确定最值即可求出三棱锥体积的最大值； 第二空 解法一：根据已知条件确定二面角的平面角为， 先根据已知条件确定的最小值，进而确定的最小值； 解法二：令二面角的平面角为，根据已知条件，建立空间直角坐标系， 利用空间向量求出，换元令， 结合 求出，由此确定取得最大值，进而确定取得最小值为. 【详细解析】第一空：取的中点，连接， 因为，所以； 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为，，，所以，， 所以三棱锥的体积为 因为，所以，， 当且仅当，即时，等号成立， 故三棱锥的体积的最大值为. 第二空：解法一： 由平面，又平面，所以，过作于， 连接，因为平面，，所以平面， 又平面，所以，所以为二面角的平面角， 在中，， 因为在以为圆心，为半径的圆上，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为2， 此时取得最小值，故二面角的正弦值的最小值为. 解法二： 由（1）可知平面， 以为坐标原点，向量，分别为轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，则， 设平面的法向量为，则， 取，则，又取平面的法向量为， 设二面角的大小为，，所以， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上，所以， 令，则，整理可得， 所以，解得， 所以当，即，时，取得最大值， 此时取得最小值，故二面角的正弦值的最小值为. 故答案为：；. 【题后反思】本题第二空的第二种方法利用空间向量设出点的坐标，求出二面角余弦值的表达式并对表达式进行变形，最后利用换元法将问题转化. 【举一反三】 （23-24高二下·河南开封·期末） 4．在棱长为1的正四面体ABCD中，M是BC的中点，且，，则直线AM与CN夹角的余弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 类型三　面积、体积范围问题 【典例5】（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，正方体的棱长为1，动点在对角线上，过作垂直于的平面，记平面与正方体的截面多边形（含三角形）的周长为，面积为，，下面关于函数和的描述正确的是（ ） A．最大值为； B．在时取得极大值； C．在上单调递增，在上单调递减； D．在上单调递增，在上单调递减 【思路引导】分情况作出截面，求截面的周长和面积，进行判断. 【详细解析】当时，截面为等边三角形，如图： 因为，所以， 所以：，，. 此时，在上单调递增，且，. 当时截面为六边形，如图： 设，则 所以六边形的周长为：为定值； 做平面于，平面于. 设平面与平面所成的角为，则易求. 所以， 所以， 在上递增，在上递减， 所以截面面积的最大值为，此时，即. 所以在上递增，在上递减. 时，最大，为. 当时，易得： ， 此时，在上单调递减， ，. 综上可知：AD是正确的，BC错误. 故选：AD 【题后反思】当时，如果坚持用表示截面的周长和面积，感觉比较麻烦，设，用表示截面的周长和面积就省劲多了. 【举一反三】 （2024·四川宜宾·三模） 5．已知E，F分别是棱长为2的正四面体的对棱的中点.过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则下列说法正确的是（    ） A．截面多边形不可能是平行四边形 B．截面多边形的周长是定值 C．截面多边形的周长的最小值是 D．截面多边形的面积的取值范围是 【典例6】（24-25高三上·上海·开学考试）如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】利用向量线性运算可得，令可得，利用四点共面和基本不等式可求得的最小值，结合棱锥体积公式可求得结果. 【详细解析】连接， 由题意知：； 令，则，， 四点共面，（当且仅当时取等号）， ； 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， 又，， ，即的最小值为. 故选：C. 【题后反思】本题考查三棱锥体积相关问题的求解，解题关键是能够结合空间向量的知识，利用四点共面得到的最小值，进而代入体积公式求解. 【举一反三】 （24-25高二上·全国·课后作业） 6．如图，在棱长为1的正方体中，分别为平面的中心，在线段上，记，则当为何值时，三棱锥的体积最大？ （24-25高二上·江西南昌·阶段练习） 7．是被长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （24-25高二上·全国·课后作业） 8．如图①，在中，分别为上的点，.如图②，将沿折起，当四棱锥的体积最大时，点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 9．如图，已知正方体棱长为1，点在棱上，且，在侧面内作边长为的正方形是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的最小值是（    ）    A． B． C． D． 10．已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱都相切，点P为球面上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．球O的半径 B．球O在正方体外部分的体积大于 C．若点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，则 D．若点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，则 （24-25高二上·吉林·阶段练习） 11．已知正四面体的棱切球（正四面体的中心与球心重合，六条棱与球面相切）的半径为1，则该正四面体的内切球的半径为 ；若动点分别在与的球面上运动，且满足，则的最大值为 ． （2025届福建省高中毕业班适应性练习卷（二）数学试题） 12．如图，在圆锥中，高，底面圆的直径，是的中点，点在圆上，平面平面． (1)证明：； (2)若点是圆上动点，求平面与平面夹角余弦值的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题一 空间向量与立体几何 微点6  空间向量与立体几何范围问题 立体几何中的最值范围问题，涉及到空间几何体的结构特征及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等方面，题目比较综合.一般有以下几种题型： 1、线段范围问题 2、角度范围问题 3、面积、体积范围问题 除了利用几何性质进行分析外，通常情况下，我们都是利用空间向量或坐标系建立目标函数，利用代数方法求目标函数的值域；或者构建不等式解不等式、亦或利用基本不等式来解决问题. 类型一　线段范围问题 【典例1】在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记，其中．则MN的长的最小值为（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】根据面面垂直性质可证得平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系；利用空间中两点间距离公式可表示出；将整理为，由二次函数最值可得结果. 【详细解析】平面平面，平面平面，，平面，平面， 则以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， ； 则， 当时，最小，最小值为. 故选：A. 【题后反思】设动点坐标，将动点距离问题转化为二次函数的值域问题是求解范围问题的重要方法. 【举一反三】 1．如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到直线距离建立函数，再求出函数最小值作答. 【详解】在正三棱柱中，在平面内过A作，显然射线两两垂直， 以点A为原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 因正三棱柱的所有棱长均为1，则， ，因动点P在线段上，则令， 即有点，，，， 因此点P到直线的距离 ，当且仅当时取等号， 所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为. 故选：C 【典例2】（24-25高三上·云南玉溪·阶段练习）在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面距离的最大值为（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】连接交于点O，由题意得，接着建立空间直角坐标系求出向量和平面的法向量即可根据向量法的点到平面距离公式求解. 【详细解析】连接交于点O， 由题意，得，， ， 如图，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，设， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取， 则， 设顶点B到平面距离为d， 则， 当时， 当时，， 所以当即时点B到平面距离最大为. 故选：A. 【题后反思】根据点在体对角线上设向量表达式，含参求平面法向量，再根据点面距离公式将问题化为二次函数求最值. 【举一反三】 （24-25高二上·全国·课后作业） 2．如图，在直三棱柱中，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意建立空间直角坐标系，设A关于平面的对称点为，求出、和平面的法向量，进而利用A与到平面的距离相等得①，再由得②从而求出，接着由 结合两点间距离公式即可得解. 【详解】由题意可以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以， 设A关于平面的对称点为，则，， 设平面的法向量，则，， 令，则，所以， 所以A与到平面的距离即①， 又，所以②，所以由①②得， 所以由可得，所以， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】思路点睛：建立空间直角坐标系，利用向量法解决，设A关于平面的对称点为，利用A与到平面的距离相等和求出，接着由 结合两点间距离公式求出即可得解. 类型二　角度范围问题 【典例3】设动点在棱长为的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是 ． 【思路引导】建立空间直角坐标系，求得，根据求得的取值范围. 【详细解析】由题设可知，以为坐标原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，，，， 则，得， 所以， ， 显然不是平角，所以为钝角等价于， 即，即， 解得，因此的取值范围是. 故答案为： 【题后反思】根据线段比例关系表示点坐标，再根据空间向量夹角的范围，利用数量积的坐标运算计算夹角即可. 【举一反三】 （24-25高二上·上海·课堂例题） 3．如图，在正方体中，点O为线段BD的中点.设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可. 【详解】如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 所以， 设，则， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为直线OP与平面所成的角为， 所以 ， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以， 因为，所以， 所以的最小值为，最大值为， 即的取值范围是. 故选：B 【典例4】如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为 ；二面角的正弦值的最小值为 . 【思路引导】第一空：根据已知条件，得出垂直于平面，三棱锥中为高， 为底面，根据三棱锥体积公式，确定， 进而将问题转化为求的最大值， 根据角的取值范围，确定最值即可求出三棱锥体积的最大值； 第二空 解法一：根据已知条件确定二面角的平面角为， 先根据已知条件确定的最小值，进而确定的最小值； 解法二：令二面角的平面角为，根据已知条件，建立空间直角坐标系， 利用空间向量求出，换元令， 结合 求出，由此确定取得最大值，进而确定取得最小值为. 【详细解析】第一空：取的中点，连接， 因为，所以； 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为，，，所以，， 所以三棱锥的体积为 因为，所以，， 当且仅当，即时，等号成立， 故三棱锥的体积的最大值为. 第二空：解法一： 由平面，又平面，所以，过作于， 连接，因为平面，，所以平面， 又平面，所以，所以为二面角的平面角， 在中，， 因为在以为圆心，为半径的圆上，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为2， 此时取得最小值，故二面角的正弦值的最小值为. 解法二： 由（1）可知平面， 以为坐标原点，向量，分别为轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，则， 设平面的法向量为，则， 取，则，又取平面的法向量为， 设二面角的大小为，，所以， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上，所以， 令，则，整理可得， 所以，解得， 所以当，即，时，取得最大值， 此时取得最小值，故二面角的正弦值的最小值为. 故答案为：；. 【题后反思】本题第二空的第二种方法利用空间向量设出点的坐标，求出二面角余弦值的表达式并对表达式进行变形，最后利用换元法将问题转化. 【举一反三】 （23-24高二下·河南开封·期末） 4．在棱长为1的正四面体ABCD中，M是BC的中点，且，，则直线AM与CN夹角的余弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】选取为基底，将进行分解，可表示出：，，，进一步结合向量夹角公式即可求解. 【详解】如图所示，延长，使得，由题意点在线段上（不包含端点）， 选取为基底，由题意， 而， 从而， ， ， 所以， 设，因为，所以，而， 因为 ， 设，则，， 当且仅当，即，即时，的最小值为， 所以当且仅当时，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是表示出：，，，进一步得出，由此即可通过换元法得解. 类型三　面积、体积范围问题 【典例5】（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，正方体的棱长为1，动点在对角线上，过作垂直于的平面，记平面与正方体的截面多边形（含三角形）的周长为，面积为，，下面关于函数和的描述正确的是（ ） A．最大值为； B．在时取得极大值； C．在上单调递增，在上单调递减； D．在上单调递增，在上单调递减 【思路引导】分情况作出截面，求截面的周长和面积，进行判断. 【详细解析】当时，截面为等边三角形，如图： 因为，所以， 所以：，，. 此时，在上单调递增，且，. 当时截面为六边形，如图： 设，则 所以六边形的周长为：为定值； 做平面于，平面于. 设平面与平面所成的角为，则易求. 所以， 所以， 在上递增，在上递减， 所以截面面积的最大值为，此时，即. 所以在上递增，在上递减. 时，最大，为. 当时，易得： ， 此时，在上单调递减， ，. 综上可知：AD是正确的，BC错误. 故选：AD 【题后反思】当时，如果坚持用表示截面的周长和面积，感觉比较麻烦，设，用表示截面的周长和面积就省劲多了. 【举一反三】 （2024·四川宜宾·三模） 5．已知E，F分别是棱长为2的正四面体的对棱的中点.过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则下列说法正确的是（    ） A．截面多边形不可能是平行四边形 B．截面多边形的周长是定值 C．截面多边形的周长的最小值是 D．截面多边形的面积的取值范围是 【答案】D 【分析】将平面从平面开始旋转，结合对称性可判断A；设，利用余弦定理表示出，利用几何意义求最小值，利用二次函数单调性求最大值可判断BC；先判断，然后利用向量方法求出，可得截面面积的范围，可判断D. 【详解】对于A，当平面过或时，截面为三角形. 易知正四面体关于平面对称，将平面从平面开始旋转与交于点时， 由对称性可知，此时平面与交于点，且， 此时截面为四边形，且注意到当分别为的中点时，此时满足， 且，即此时截面四边形是平行四边形，故A错误；    对于BC，设，由余弦定理得， ， 由两点间距离公式知，表示动点到定点和的距离之和， 当三点共线时取得最小值， 由二次函数单调性可知，当或时，取得最大值， 所以截面多边形周长的取值范围是，故BC错误； 对于D，记与的交点为，由对称性，， 所以，， 因为， 所以，所以， 记， 则， 因为， 所以 ， 由二次函数性质可知，，即， 所以，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是找到正四面体的对称性，根据对称性判断截面形状，利用余弦定理求周长，利用空间向量求距离，然后可得面积，题目综合性强，对学生的直观想象能力有较高的要求. 【典例6】（24-25高三上·上海·开学考试）如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】利用向量线性运算可得，令可得，利用四点共面和基本不等式可求得的最小值，结合棱锥体积公式可求得结果. 【详细解析】连接， 由题意知：； 令，则，， 四点共面，（当且仅当时取等号）， ； 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， 又，， ，即的最小值为. 故选：C. 【题后反思】本题考查三棱锥体积相关问题的求解，解题关键是能够结合空间向量的知识，利用四点共面得到的最小值，进而代入体积公式求解. 【举一反三】 （24-25高二上·全国·课后作业） 6．如图，在棱长为1的正方体中，分别为平面的中心，在线段上，记，则当为何值时，三棱锥的体积最大？ 【答案】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用空间向量模长判断出为正三角形，再利用空间向量求距离的方法，求出点到平面的距离，即为三棱锥的高，由此可知三棱锥的体积为，由此即可求出时三棱锥的体积最大. 【详解】 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，，， ，. 由，故为正三角形， 其面积． 设平面的法向量为，则，即， 令，则． 所以点到平面的距离为， 故，当时，有最大值． （24-25高二上·江西南昌·阶段练习） 7．是被长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点的坐标为，用坐标运算计算出，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范围． 【详解】如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，设，，，， ，， ， 当时， 取得最小值， 当或1，或1时，取得最大值0， 所以的取值范围是. 故选：B. （24-25高二上·全国·课后作业） 8．如图①，在中，分别为上的点，.如图②，将沿折起，当四棱锥的体积最大时，点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得四棱锥体积最大时，平面和，再建立如图所示坐标系，求出平面的法向量，最后利用向量法结合点到平面的距离公式计算即可. 【详解】当四棱锥的体积最大时， 平面，由题意得，. 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，    所以， 则， 设平面的法向量为， 则即 令，则， 则点到平面的距离为． 故选：B. 9．如图，已知正方体棱长为1，点在棱上，且，在侧面内作边长为的正方形是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，由点到平面距离等于线段的长得出，再由距离公式结合二次函数的性质求解. 【详解】根据题意，以为原点建立空间直角坐标系如图所示，    则设 点到平面距离等于线段的长 ， 化简得， 则，解不等式可得，综上可得. 所以当时，取最小值是. 故选：D 10．已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱都相切，点P为球面上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．球O的半径 B．球O在正方体外部分的体积大于 C．若点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，则 D．若点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，则 【答案】ABD 【分析】对于A，画出图形易知正方体的棱切球的直径，即可得半径；对于B，结合球的体积和正方体体积公式即可判断；对于CD，取中点，可知在球面上，根据空间向量的数量积运算即可判断. 【详解】对于A，正方体的棱切球与正方体的每条棱相切于棱中点，如图所示， 为球的一条直径，且， 故球半径，故A正确； 对于B，若球体、正方体的体积分别为， 球在正方体外部的体积，故B正确； 对于C、D，取中点，可知在球面上，可得， 所以， 点在球的正方体外部（含正方体表面）运动， 所以（当为直径时，）， 所以，故C错误，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用空间想象能力，得到球与正方体的相切形状，从而得解. （24-25高二上·吉林·阶段练习） 11．已知正四面体的棱切球（正四面体的中心与球心重合，六条棱与球面相切）的半径为1，则该正四面体的内切球的半径为 ；若动点分别在与的球面上运动，且满足，则的最大值为 ． 【答案】 ## 【分析】第一空：将正四面体放入正方体中，由等体积法可知，只需求出正四面体的表面积以及体积即可列式求解该正四面体的内切球的半径；第二空：由不等式可知，，只需求出、即可. 【详解】第一空： 连接，设交点为，则是中点， 如图所示，将正四面体放入正方体中， 由对称性可知正方体中心就是正四面体的中心， 设正方体棱长为，则棱切球球心到正四面体的六条棱的距离都等于， 设正四面体的棱切球的半径为， 所以，正方体棱长为2，， 而正四面体的体积为， 正四面体的表面积为， 设该正四面体的内切球的半径为， 则由等体积法可知，，解得； 第二空：取任意一点，使得， 所以点在面内（其中是中点）， 所以， 而点到平面的距离为， 所以， 等号成立当且仅当是正数且重合且， 综上所述，的最大值为. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：第二空的关键是得出，由此即可顺利得解. （2025届福建省高中毕业班适应性练习卷（二）数学试题） 12．如图，在圆锥中，高，底面圆的直径，是的中点，点在圆上，平面平面． (1)证明：； (2)若点是圆上动点，求平面与平面夹角余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）在平面内过作，以为原点，建立空间直角坐标系，借助面面垂直求出平面的法向量，再计算即可得证. （2）设出点的坐标，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法求出夹角余弦的函数关系即可求出范围. 【详解】（1）在平面内过作，而平面， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，设， 设平面的法向量，则，令，得， 而平面的法向量为，平面平面，则，解得， 于是，而，则，所以. （2）设点，显然，， 设平面的法向量，则，令，得， 由（1）知，平面的一个法向量，设平面与平面夹角为， 于是， 所以平面与平面夹角余弦值的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$