空间向量基本定理讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

专题一 空间向量与立体几何 微点2  空间向量基本定理 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得．我们在解题时，面对各种空间几何体，可以将从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量作为基向量，那么所有空间向量都可以用这三个基向量表示出来，进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算．利用空间向量基本定理主要可以解决以下问题： 1、表示未知向量问题 2、等和线与等和面问题 3、证明位置关系问题 对于问题1，根据图形特征选取或用已知的三个不共面的向量通过线性运算来表示空间中的未知向量即可；对于问题2，利用空间向量基本定理，仿照等和线定理可推出共面的结论来处理参数求值或范围；对于问题3，由于空间任意向量都可以选取合适的基底来表示，那么可以结合空间向量数量积的运算来证明空间中的平行与垂直关系. 向量是处理立体几何问题的一个非常有效的工具．用向量法解决立体几何问题的关键是找到基底，该基底既要能反映条件的特征，又要能方便地与结论联系．解题时注意将平面图形分析到位，并将已知条件转化到立体图形中去． 类型一　表示未知向量问题 【典例1】如图，OABC是四面体，是的重心，是OG上一点，且，则（ ） A．           B． C．        D． 【思路引导】要求，得先求，可以根据空间向量的加、减法，结合空间向量基本定理来求． 【详细解析】如图，连接AG，并延长交BC于点，连接ON． 因为是的重心，所以， 又因为，所以， 所以． 故选B． 【题后反思】用已知向量表示某一向量的三个关键点：①用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键；②正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量；③在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 【举一反三】 1．空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知矩形，为平面外一点，且平面，，分别为，上的点，，为的中点，求满足的实数，，的值． 【思路引导】以为基底表示，根据待定系数法即可. 【详细解析】如图，取的中点为，连结，则． 由题意易知， ， 连结，则， 所以， 所以． 【题后反思】求参数的值仍可以利用空间向量基本定理，结合图形通过线性表示结合回路法或待定系数法计算参数值. 【举一反三】 （23-24高二下·四川成都·期末） 2．已知在四面体中， 为的中点，若 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 类型二　等和线与等和面问题 补充知识：等和线定理；平面内一组基底及任一间量， 若点在直线AB上或在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立．我们把直线AB及与直线AB平行的直线称为等和线．等和线具有以下特征： ①当等和线为直线AB时，； ②当等和线在点与直线AB之间时，； ③当直线AB在点与等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤当等和线与直线AB在点两侧时，； ⑥定值的变化与等和线到点的距离成正比． 等和面定理：空间内一组基底及任一向量， 若点在平面ABC上或平行于平面ABC的平面上，则（定值），反之也成立，我们把平面ABC以及平行于平面ABC称为等和面．等和面具有以下特征： ①当等和面即平面ABC时，； ②当等和面在点与平面ABC之间时，； ③当平面ABC在点与等和面之间时，； ④当等和面过点时，； ⑤当等和面与平面ABC在点两侧时，； ⑥定值的变化与等和面到点的距离成正比，即如图，，其中分别为点到平面ABC、平面的距离． 等和面定理本质上是共面向量基本定理的应用．依据此定理，可以判断四点是否共面等问题． 【典例3】如图，点是正四面体底面ABC的中心，过点的直线分别交AC，BC于点M，N．S是棱PC上的点，平面SMN与棱PA的延长线相交于点，与棱PB的延长线相交于点，求证：是一定值． 【思路引导】当点是正四面体底面ABC的中心时，就可以想到，再根据点O，S，Q，R共面得出结论． 【详细解析】因为点是正三角形ABC的中心，所以在正四面体中，． 设，，则， 又因为点O，S，Q，R共面，所以， 即， 所以，为一定值． 【题后反思】首先，由等和面定理知，当是平面ABC内的一点时，且，再结合是正四面体底面ABC的中心，便可以知道，这是解决问题的关键． 【举一反三】 3．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形状体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，，动点在线段MN上运动，若，则 ．    【典例4】给定一个正四面体，动点在以顶点为球心、棱OA为半径的球面上运动，若，求的最大值和最小值． 【思路引导】记，过点作平面ABC的平行面，由等和面定理结合平面与球的位置关系分类讨论计算即可. 【详细解析】如图，设球半径为，记，过点作平面ABC的平行面，由等和面定理可知，当平行面与球相切，且与平面ABC位于球心同侧时，取得最大值，设此时切点为；当平行面与球相切，且与平面ABC位于球心两侧时，取得最小值，设此时切点为．连接，易得平面ABC，设垂足为，则． 【题后反思】过点作平面ABC的平行面，根据等和面定理结合平面与球的位置关系数形结合是关键. 【举一反三】 4．如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值. 类型三　证明位置关系问题 【典例5】如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，且．若E，F分别为PC，BD的中点，求证（用向量方法证明）： （1）平面PAD； （2）平面PDC． 【思路引导】用向量方法证明线面平行或垂直，理论依据是线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理． 【详细解析】（1）因为E，F分别为PC，BD的中点， 所以， 所以向量共面，又平面平面PAD，所以平面PAD． 依题意，计算可得，由此证得向量共面，从而证得平面PAD． （2）因为侧面底面ABCD，侧面底面，底面ABCD是正方形， 所以平面． 设，则，即， 所以，所以， 所以，，由平面，可得平面PCD． 依题意，计算可得，由此证得，从而证得平面PDC． 【题后反思】要通过向量法来证线线平行时，只需要证直线的方向向量平行；要证线面平行时，可以通过证该直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面，从而证三个向量共面，进而说明该直线与此平面是平行的；要证线线垂直，只需要证这两条直线的方向向量的数量积为0；要证线面垂直，就依据线面垂直的判定定理，证该直线的方向向量与平面内两不共线的向量的数量积为0． 【举一反三】 5．如图，在棱长均为2的三棱柱中，，求证：． 【典例6】（24-25高二上·上海·课后作业）如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点． (1)用向量，，表示向量； (2)判定平面ABC与平面的位置关系． 【思路引导】（1）根据题意结合空间向量的线性运算分析求解；（2）根据题意结合空间向量可得，，结合线面垂直、面面垂直的判定定理分析证明. 【详细解析】（1）由题意可知：点O是的中点，则， 所以 ． （2）取的中点，连接， 则． 因为，为的中点，则． 又，即． 且，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． 【题后反思】利用基底法表示有关向量，再根据数量积来判定垂直关系，其实证明面面垂直还是需要利用其判定定理，只不过减少了图形上的思考. 【举一反三】 6．已知空间四边形中，，且分别是的中点，是的中点，用向量方法证明． 7．已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形．若，且，则的长为（    ） A． B． C． D．2 9．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C．的长为 D． （23-24高二上·山东泰安·期末） 10．已知空间向量的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为，点为的重心，则 ． 11．如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明： （1）当时，； （2）点在平面内． （23-24高二上·陕西咸阳·期末） 12．如图，在平行六面体中，，．设，，． (1)用基底表示向量，，； (2)证明：平面． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题一 空间向量与立体几何 微点2  空间向量基本定理 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得．我们在解题时，面对各种空间几何体，可以将从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量作为基向量，那么所有空间向量都可以用这三个基向量表示出来，进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算．利用空间向量基本定理主要可以解决以下问题： 1、表示未知向量问题 2、等和线与等和面问题 3、证明位置关系问题 对于问题1，根据图形特征选取或用已知的三个不共面的向量通过线性运算来表示空间中的未知向量即可；对于问题2，利用空间向量基本定理，仿照等和线定理可推出共面的结论来处理参数求值或范围；对于问题3，由于空间任意向量都可以选取合适的基底来表示，那么可以结合空间向量数量积的运算来证明空间中的平行与垂直关系. 向量是处理立体几何问题的一个非常有效的工具．用向量法解决立体几何问题的关键是找到基底，该基底既要能反映条件的特征，又要能方便地与结论联系．解题时注意将平面图形分析到位，并将已知条件转化到立体图形中去． 类型一　表示未知向量问题 【典例1】如图，OABC是四面体，是的重心，是OG上一点，且，则（ ） A．           B． C．        D． 【思路引导】要求，得先求，可以根据空间向量的加、减法，结合空间向量基本定理来求． 【详细解析】如图，连接AG，并延长交BC于点，连接ON． 因为是的重心，所以， 又因为，所以， 所以． 故选B． 【题后反思】用已知向量表示某一向量的三个关键点：①用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键；②正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量；③在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 【举一反三】 1．空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形和题设条件，利用向量的加减数乘运算即得. 【详解】 如图，连结，因，点为的中点，则， 于是，. 故选：B. 【典例2】已知矩形，为平面外一点，且平面，，分别为，上的点，，为的中点，求满足的实数，，的值． 【思路引导】以为基底表示，根据待定系数法即可. 【详细解析】如图，取的中点为，连结，则． 由题意易知， ， 连结，则， 所以， 所以． 【题后反思】求参数的值仍可以利用空间向量基本定理，结合图形通过线性表示结合回路法或待定系数法计算参数值. 【举一反三】 （23-24高二下·四川成都·期末） 2．已知在四面体中， 为的中点，若 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的基本定理与应用即可求解. 【详解】， 又，所以， 所以. 故选：B 类型二　等和线与等和面问题 补充知识：等和线定理；平面内一组基底及任一间量， 若点在直线AB上或在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立．我们把直线AB及与直线AB平行的直线称为等和线．等和线具有以下特征： ①当等和线为直线AB时，； ②当等和线在点与直线AB之间时，； ③当直线AB在点与等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤当等和线与直线AB在点两侧时，； ⑥定值的变化与等和线到点的距离成正比． 等和面定理：空间内一组基底及任一向量， 若点在平面ABC上或平行于平面ABC的平面上，则（定值），反之也成立，我们把平面ABC以及平行于平面ABC称为等和面．等和面具有以下特征： ①当等和面即平面ABC时，； ②当等和面在点与平面ABC之间时，； ③当平面ABC在点与等和面之间时，； ④当等和面过点时，； ⑤当等和面与平面ABC在点两侧时，； ⑥定值的变化与等和面到点的距离成正比，即如图，，其中分别为点到平面ABC、平面的距离． 等和面定理本质上是共面向量基本定理的应用．依据此定理，可以判断四点是否共面等问题． 【典例3】如图，点是正四面体底面ABC的中心，过点的直线分别交AC，BC于点M，N．S是棱PC上的点，平面SMN与棱PA的延长线相交于点，与棱PB的延长线相交于点，求证：是一定值． 【思路引导】当点是正四面体底面ABC的中心时，就可以想到，再根据点O，S，Q，R共面得出结论． 【详细解析】因为点是正三角形ABC的中心，所以在正四面体中，． 设，，则， 又因为点O，S，Q，R共面，所以， 即， 所以，为一定值． 【题后反思】首先，由等和面定理知，当是平面ABC内的一点时，且，再结合是正四面体底面ABC的中心，便可以知道，这是解决问题的关键． 【举一反三】 3．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形状体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，，动点在线段MN上运动，若，则 ．    【答案】 【分析】利用等和面定理求解即可. 【详解】如图，取的中点，连接AE交于点．    因为M，N分别是的中点，所以． 因为平面，所以平面． 因为平面EMN，所以平面平面， 点在平面EMN内，所以由等和面定理可知，． 故答案为： 【典例4】给定一个正四面体，动点在以顶点为球心、棱OA为半径的球面上运动，若，求的最大值和最小值． 【思路引导】记，过点作平面ABC的平行面，由等和面定理结合平面与球的位置关系分类讨论计算即可. 【详细解析】如图，设球半径为，记，过点作平面ABC的平行面，由等和面定理可知，当平行面与球相切，且与平面ABC位于球心同侧时，取得最大值，设此时切点为；当平行面与球相切，且与平面ABC位于球心两侧时，取得最小值，设此时切点为．连接，易得平面ABC，设垂足为，则． 【题后反思】过点作平面ABC的平行面，根据等和面定理结合平面与球的位置关系数形结合是关键. 【举一反三】 4．如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值. 【答案】为定值4；证明见解析； 【分析】联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，表示出. 然后根据点，，，M共面，故存在实数，满足，再表示出一组的表达式，因此其系数相同，从而证得结论. 【详解】联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底， 则 . 联结DM，点，，，M共面，故存在实数， 满足，即， 因此， 由空间向量基本定理知， ， 故，为定值. 类型三　证明位置关系问题 【典例5】如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，且．若E，F分别为PC，BD的中点，求证（用向量方法证明）： （1）平面PAD； （2）平面PDC． 【思路引导】用向量方法证明线面平行或垂直，理论依据是线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理． 【详细解析】（1）因为E，F分别为PC，BD的中点， 所以， 所以向量共面，又平面平面PAD，所以平面PAD． 依题意，计算可得，由此证得向量共面，从而证得平面PAD． （2）因为侧面底面ABCD，侧面底面，底面ABCD是正方形， 所以平面． 设，则，即， 所以，所以， 所以，，由平面，可得平面PCD． 依题意，计算可得，由此证得，从而证得平面PDC． 【题后反思】要通过向量法来证线线平行时，只需要证直线的方向向量平行；要证线面平行时，可以通过证该直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面，从而证三个向量共面，进而说明该直线与此平面是平行的；要证线线垂直，只需要证这两条直线的方向向量的数量积为0；要证线面垂直，就依据线面垂直的判定定理，证该直线的方向向量与平面内两不共线的向量的数量积为0． 【举一反三】 5．如图，在棱长均为2的三棱柱中，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用空间向量的数量积计算即可得证. 【详解】在三棱柱中，是等边三角形，， 则， 所以. 【典例6】（24-25高二上·上海·课后作业）如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点． (1)用向量，，表示向量； (2)判定平面ABC与平面的位置关系． 【思路引导】（1）根据题意结合空间向量的线性运算分析求解；（2）根据题意结合空间向量可得，，结合线面垂直、面面垂直的判定定理分析证明. 【详细解析】（1）由题意可知：点O是的中点，则， 所以 ． （2）取的中点，连接， 则． 因为，为的中点，则． 又，即． 且，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． 【题后反思】利用基底法表示有关向量，再根据数量积来判定垂直关系，其实证明面面垂直还是需要利用其判定定理，只不过减少了图形上的思考. 【举一反三】 6．已知空间四边形中，，且分别是的中点，是的中点，用向量方法证明． 【答案】证明见详解 【分析】选择合适的基底，利用空间向量数量积计算即可. 【详解】设， 由题意得，，， 因为，所以， 又， 所以， 所以. 7．已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合向量共线的判定定理逐项分析判断． 【详解】因为， 对于选项A：若三点共线，则存在，使得， 则，方程组无解， 即不存在任何，使得， 所以不共线，故A选项错误； 对于选项B：若三点共线，则存在，使得， 则，方程组无解， 即不存在任何，使得， 所以不共线，故B选项错误； 对于选项C：因为． 可知，且与有公共点，所以三点共线，故C选项正确； 对于选项D：因为， 若三点共线，则存在，使得， 则，方程组无解， 则不存在任何，使得， 所以不共线，D选项错误． 故选：C． 8．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形．若，且，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用基底向量可求的长. 【详解】， 故 ， 故， 故选：A 9．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C．的长为 D． 【答案】BD 【分析】AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出，从而求出；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A选项，，A错误， 对于B选项，，B正确： 对于C选项，，则， 则，C错误： 对于，则，D正确. 故选：BD. （23-24高二上·山东泰安·期末） 10．已知空间向量的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为，点为的重心，则 ． 【答案】 【分析】利用重心的几何性质结合空间向量的减法可得出，再利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】空间向量的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为，如图，    由为的重心，得， 于是，即， 所以 . 故答案为： 11．如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明： （1）当时，； （2）点在平面内． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据正方形性质得，根据长方体性质得,进而可证平面,即得结果； （2）只需证明即可，在上取点使得,再通过平行四边形性质进行证明即可. 【详解】 （1）因为长方体,所以平面, 因为长方体,所以四边形为正方形 因为平面,因此平面, 因为平面,所以； （2）在上取点使得,连, 因为,所以 所以四边形为平行四边形， 因为所以四点共面，所以四边形为平行四边形， ，所以四点共面， 因此在平面内 【点睛】本题考查线面垂直判定定理、线线平行判定，考查基本分析论证能力，属中档题. （23-24高二上·陕西咸阳·期末） 12．如图，在平行六面体中，，．设，，． (1)用基底表示向量，，； (2)证明：平面． 【答案】(1)，，． (2)证明见解析 【分析】（1）运用空间向量基本定理，用基底分别表示三个向量，，； （2）用基底表示的三个向量，，，分别计算、，证明了两组线线垂直、，证明结论即可. 【详解】（1）已知，，， 得：，， ． （2）证明：设， 又， 则，且， 则， 得， 即， 同理可得， 因为，，平面，平面，且， 所以平面． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$