直线方程讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

专题三 直线与圆的方程 微点8  花开五朵：直线方程 在平面直角坐标系中，直线方程是对直线的代数刻画，包括直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程五种形式.其中点斜式方程是其他所有方程的基础．两点式方程是点斜式方程的变式表达或推论，两者之间的桥梁是直线的斜率．而一般式方程揭示的是任意一个二元一次方程表示一条直线，任意一条直线都可以用一个二元一次方程表示．本专题着重直线方程中几何要素的求解，或依据确定直线位置的几何要素求直线方程，或依据直线方程判断直线的平行与垂直，并掌握其中的规律结论，或综合函数、基本不等式等知识求解与直线方程有关的最值问题，或用坐标法解决与直线有关的实际问题． 下面我们从以下三个角度一一探究： 1、求直线方程问题 2、求范围最值问题 3、过定点类问题 探究一　求直线方程问题 【典例1】已知的三个顶点分别为，，，试求： （1）边所在直线的方程； （2）边上的中线所在直线的方程； （3）边上的高所在直线的方程． 【思路引导】三个小题是三种不同条件下求直线方程，依据不同条件可以选择不同形式的直线方程求解．选择方程形式时需要理解不同方程形式的限定条件后再作出正确选择． 【详细解析】（1）因为，，故边所在直线的方程为，即． （2）边上的中点为，故边上的中线过点，，所在直线的方程为，即． （3）边的斜率，故边上的高的斜率，故边上的高所在直线的方程为，即． 【题后反思】已知不垂直于两坐标轴的直线上的两点，可以利用直线的两点式求其方程，也可以先求斜率，再用点斜式求其方程． 方程和方程形式不同，适用范围也不同．前者是直线方程的两点式，不能表示垂直于坐标轴的直线；后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程． 截距式方程是两点式方程的特殊情形，应用的前提是且，直线过原点或与坐标轴垂直时不能用截距式方程．由截距式方程可直接确定横截距和纵截距，在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，常常使用截距式．特别地，截距是坐标值，不是距离，截距可正、可负、可为0． 【举一反三】 1．已知的顶点，，顶点C在第一象限，.求： (1)边AB所在直线的方程； (2)边AC所在直线的方程； (3)边AB的中垂线的方程． 【答案】(1) (2)或， (3)． 【分析】（1）根据轴，及点即可写出直线方程； （2）应用，轴，得出直线AC的倾斜角为或，进而求出斜率，利用点斜式写出直线方程即可； （3）因为轴，得出中垂线斜率不存在，又AB的中点为，即可写出直线方程. 【详解】（1）由题意知轴，且，所以边AB所在直线的方程为； （2）因为，轴， 所以直线AC的倾斜角为或，斜率为或， 所以边AC所在直线的方程为或, 所以边AC所在直线的方程为或； （3）因为轴， 所以边AB的中垂线垂直于x轴，它的斜率不存在，又AB的中点为， 所以AB的中垂线的方程为. 【典例2】已知直线l：，点.求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线m：关于直线l的对称直线m′的方程； (3)直线l关于点A对称的直线l′的方程. 【思路引导】（1）利用两对称点的连线与对称直线垂直及两对称点的中点落在对称直线上，列出方程，解之可得答案； （2）在直线m上任取一点，利用（1）的做法求得对称点，再求出m与l的交点N，由m′经过，N两点，利用点斜式即可求得直线m′的方程； （3）法一：在l上任取两点，由中点坐标公式得到它们的对称点，再由点斜式即可求得直线l′的方程； 法二：任取l′上一点，求得其对称点，代入直线l的方程即可求得直线l′的方程. 【详细解析】（1）设，由l：得， 则，解得，故. （2）在直线m上取一点，如，则关于直线l的对称点必在m′上， 设对称点为，则，解得，即， 设m与l的交点为N，则由，解得， 又m′经过点，故， 所以直线m′的方程为，即. （3）法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上. 由中点坐标公式可得，故 所以l′的方程为，即. 法二：设为l′上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为Q′在直线l上，所以， 即直线l′的方程为. 【题后反思】（一）、点关于直线的对称问题：1、轴（直线）是对称点连线段的中垂线； 2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点， 则 （2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为 （二）、直线关于直线的对称问题：1、当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点 第三步：利用两点式写出方程 2、当与l平行时：对称直线与已知直线平行. 两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得. 【举一反三】 2．已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. (1)求直线的方程和点C的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2). 【分析】（1）设点的坐标是，由的中点在直线上，求得点的坐标，再求出点关于直线的对称点即可求得直线的方程，联立方程组求出点坐标. （2）利用两点间距离公式及点到直线距离公式求出三角形面积. 【详解】（1）由点在上，设点的坐标是，则的中点在直线上， 于是，解得，即点， 设关于直线的对称点为，则有，解得，即， 显然点在直线上，直线的斜率为， 因此直线的方程为，即， 由，解得，则点， 所以直线的方程为，点C的坐标为.    （2）由（1）得，点到直线的距离， 所以的面积. 探究二　求范围最值问题 【典例3】设直线的方程为． （1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若不经过第一象限，求实数的取值范围； （3）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为，求的最小值，并求此时直线的方程． 【思路引导】依据直线方程的一般式，可以确定直线的斜率、横截距、纵截距等相关几何量，再根据各几何量的条件或关系求解相应问题，如截距相等问题、截距之和问题、与坐标轴围成的三角周长或面积问题，等等． 【详细解析】（1）①当直线过原点时满足条件，此时，解得，化为．②当直线不过原点时，有，则直线方程为，所以，即，解得，可得直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或． （2）原方程可化为，因为直线不经过第一象限，所以解得．故实数的取值范围是． （3）令，得，解得；令，得，解得或．综上可得． 则的面积为，当且仅当时取等号．故面积的最小值是6，此时，直线的方程为，即． 【题后反思】本题考查了将直线的一般式方程化为截距式、斜截式方程的方法，数形结合得出直线不经过某个象限的条件．结合基本不等式知识求解直线与坐标轴围成的直角三角形面积的最小值时，需要注意参数范围及横、纵截距的正负． 直线的一般式方程可以表示任何直线，因此利用直线的一般式方程可以判断两直线的平行与垂直． 已知直线，直线，则． 另一方面，与直线平行的直线方程可设为；与直线垂直的直线方程可设为． 【举一反三】 3．已知直线，互相垂直，且相交于点．若的斜率为2，与轴的交点为，点在线段上运动，求的取值范围． 【答案】． 【分析】根据题意求出直线的方程，然后求出点，易知表示点与连线的斜率，数形结合求解即可. 【详解】由于的斜率为2，则的斜率为， 则的方程为，令，得， 表示点与连线的斜率， 如图，直线被夹在直线与直线之间， 由于，， 所以的取值范围是． 【典例4】有一块直角三角形的板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形内一点，现在由于三角板中阴影部分受到损坏，为把损坏部分锯掉，可用经过点的一条直线，将三角板铝成，问：应该如何锯法，即直线斜率为多少时，可使三角板的面积最大？ 【思路引导】由已知及直线的斜截式方程求、坐标，再由三角形面积公式写出△的面积S，并指出k的取值范围 由面积S的解析式构造函数，并研究函数的单调性，进而求S的最值． 【详细解析】依题意，直线MN过点且斜率存在，则MN的方程为， ，， 直线OA的方程为，直线AB的方程为， 由知：且，可得或， 由知：且，可得， ，故，， ， ∴，且. 设，， 当时，， ∵， ，，，则，即， 在是增函数， 当时，，即时，． 【题后反思】应用直线的斜截式方程及三角形面积公式写出面积S及k的范围，利用函数的单调性求S的最值. 【举一反三】 4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B． (1)求面积的最小值及此时直线l的方程； (2)求当取得最小值时直线l的方程． 【答案】(1)6， (2) 【分析】（1）设直线方程为，，求出两点坐标，从而求得面积，由基本不等式得最小值，从而得此时直线方程； （2）设，，由A，P，B三点共线得，计算，用基本不等式求得最小值，并求得值得直线方程． 【详解】（1）∵点在第一象限，且直线l分别与x轴正半轴 、y轴正半轴相交， ∴直线l的斜率， 则设直线l的方程为，， 令，得；令，得． ∴． ∵，∴， ∴，当且仅当，即时等号成立． ∴面积的最小值为6． 此时直线l的方程为，即． （2）设，，，． ∵A，P，B三点共线，∴，整理得， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴当取得最小值时，直线l的方程为，即． 探究三　直线过定点问题 【典例5】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】先由两直线方程求出的坐标，由于两直线垂直，所以，若设，则，，然后表示出变形后，利用三角函数的性质可求得其范围. 【详细解析】由题意可知，动直线经过定点， 动直线，即，经过点定点， 动直线和动直线的斜率之积为，始终垂直， 又是两条直线的交点， ，． 设，则，， 由且，可得， ， ，， ，， ，， ，， 故选：B． 【题后反思】此题考查直线过定点问题，考查两直线的位置关系，考查三角函数的应用，解题的关键是由已知得到，通过三角换元转化为利用三角函数的性质求的取值范围，考查数学转化思想. 【举一反三】 5．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 【答案】9 【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可； 【详解】由题意，动直线过定点， 直线可化为， 令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为P， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号． 【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点. 【典例6】已知直线，且与坐标轴形成的三角形面积为.求： （1）求证：不论为何实数，直线过定点P； （2）分别求和时，所对应的直线条数； （3）针对的不同取值，讨论集合直线经过P，且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素个数. 【思路引导】（1）直线方程化为，令求得直线所过的定点； （2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设出直线方程，求出直线与轴的交点，计算对应三角形的面积，由此求得直线条数； （3）由题意得，讨论和时方程对应的实数根，从而求出对应直线的条数，即可得出集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中元素的个数． 【详细解析】（1）直线可化为， 令，解得， ∴不论为何实数，直线过定点. （2）由题意知，直线的斜率存在，且， 设直线方程为，则直线与轴的交点为，与轴的交点为； ∴的面积为； 令，得，时，方程化为， 解得，有两个正根，即有两条直线； 时，方程化为，，方程无实数根，即无直线； 综上知，时有两条直线； 令，得，时，方程化为， 解得，有两个正根，即有两条直线； 时，方程化为，解得，有两个负根，即有两条直线； 综上知，时有四条直线； （3）由题意得，，时，方程化为， 解得，有两个正根，即有两条直线； 时，方程化为，， 时， ，方程无实数根，此时无直线； 时，，方程有一负根，此时有一条直线； 时，，解得，方程有两负根，即有两条直线； 综上知，时有两条直线；时有三条直线，时有4条直线； 所以时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有2个； 时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有3个； 时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有4个． 【题后反思】本题考查直线恒过定点、集合元素个数的判断，考查函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力． 【举一反三】 6．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法错误的是（    ） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 【答案】D 【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解. 【详解】因为可以转化为， 故直线恒过定点A，故A选项正确； 又因为：即恒过定点B， 由 和 , 满足 ， 所以 , 可得 , 故B选项正确； 所以 , 故C选项正确; 因为 , 设为锐角, 则, 所以, 所以当 时, 取最大值 , 故选项D错误. 故选：D. 7．已知直线：与：平行，则的值是（   ）. A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】当k-3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k-3≠0时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k的值． 解：由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为 y=-1 和 y=3/2，显然两直线平行．当k-3≠0时，由，可得 k=5．综上，k的值是 3或5， 故选 C． 8．已知两条直线和互相垂直，则等于 （ ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】D 【详解】解：因为两条直线和互相垂直，则斜率之积为-1，可知参数a的值为-1,选D 9．三条直线，，构成三角形，则的值不能为（    ） A． B． C． D．－2 【答案】AC 【分析】由三条直线可构成三角形可知，直线不经过两条直线的交点，且与两条直线任意一条不平行. 【详解】直线与都经过原点，而无论为何值，直线总不经过原点， 因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行， 所以． 故选：AC. 10．在平面直角坐标系中，下列四个结论中正确的是（    ） A．每一条直线都有点斜式方程 B．方程与方程可表示同一条直线 C．直线l过点，倾斜角为，则其方程为 D．直线恒过点 【答案】CD 【分析】根据直线方程各种形式的意义求解即可. 【详解】直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以A错误； 点不在方程所表示的直线上，所以B错误； 倾斜角为的直线，过，直线方程为，C正确； 由直线的点斜式方程知，不论k为何值，直线恒过点，故D正确. 故选：CD 11．已知直线：与直线：平行，则的值为 . 【答案】-1 【分析】根据两直线平行的条件列式求解即可. 【详解】由题意可知，的斜率，的斜率， ∵，∴解得. 故当时，直线：与直线：平行. 故答案为：-1. 12．已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为 ． 【答案】或． 【分析】首先求出已知直线的倾斜角，从而得到直线的倾斜角，即可求出直线方程. 【详解】因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，且过点． 又直线与直线的夹角为，且过点， 如图所示，直线的倾斜角为或． 故直线的方程为：或． 故答案为：或 13．在平面直角坐标系中，已知射线，.过点作直线分别交射线于点A，B. （1）当的中点在直线上时，求直线的方程； （2）当的面积取最小值时，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）设，，求出线段的中点坐标，根据题意列方程组求出、，即可求得直线的方程； （2）根据题意求出面积的最小值时对应的点、的坐标，即可求出直线的方程． 【详解】解：（1）设，，则线段的中点为，； 所以，且， 分别化为：，． 解得，； 所以直线的方程为：，化为：． （2）设，，． 时，，，． ，时，， 又，化为， 所以，解得． 所以， 当且仅当时取等号． 综上可得：当的面积取最小值时，直线的方程为：，化为． 14．过点作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点． (1)求面积的最小值及此时直线l的方程； (2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程； (3)求的最小值及此时直线l的方程． 【答案】(1)4； (2)， (3)最小值为4，线l的方程为， 【分析】（1）方法一：设直线l的方程为，可得，，利用基本不等式运算求解；方法二：设，可得，利用基本不等式运算求解； （2）方法一：由（1）可知，，利用基本不等式运算求解；方法二：由（1）可知，利用基本不等式运算求解； （3）由（1）可知，，可得，利用基本不等式运算求解. 【详解】（1）方法一：由题意可知：直线l的斜率存在，且为负数， 设直线l的方程为，可得，， 则， 当且仅当，即时，面积有最小值为4， 此时直线l的方程为，即； 方法二：设， 则所求直线l的方程为，可得． 则，可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以面积有最小值为4， 此时直线l的方程是，即. （2）方法一：因为，（）， 则截距之和为． 当且仅当，即时，等号成立， 所以截距之和的最小值为， 此时l的方程为，即； 方法二：因为， 则截距之和， 当且仅当，时，等号成立． 此时，直线l的方程为，即． （3）因为，（）， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4，此时，直线l的方程为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题三 直线与圆的方程 微点8  花开五朵：直线方程 在平面直角坐标系中，直线方程是对直线的代数刻画，包括直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程五种形式.其中点斜式方程是其他所有方程的基础．两点式方程是点斜式方程的变式表达或推论，两者之间的桥梁是直线的斜率．而一般式方程揭示的是任意一个二元一次方程表示一条直线，任意一条直线都可以用一个二元一次方程表示．本专题着重直线方程中几何要素的求解，或依据确定直线位置的几何要素求直线方程，或依据直线方程判断直线的平行与垂直，并掌握其中的规律结论，或综合函数、基本不等式等知识求解与直线方程有关的最值问题，或用坐标法解决与直线有关的实际问题． 下面我们从以下三个角度一一探究： 1、求直线方程问题 2、求范围最值问题 3、过定点类问题 探究一　求直线方程问题 【典例1】已知的三个顶点分别为，，，试求： （1）边所在直线的方程； （2）边上的中线所在直线的方程； （3）边上的高所在直线的方程． 【思路引导】三个小题是三种不同条件下求直线方程，依据不同条件可以选择不同形式的直线方程求解．选择方程形式时需要理解不同方程形式的限定条件后再作出正确选择． 【详细解析】（1）因为，，故边所在直线的方程为，即． （2）边上的中点为，故边上的中线过点，，所在直线的方程为，即． （3）边的斜率，故边上的高的斜率，故边上的高所在直线的方程为，即． 【题后反思】已知不垂直于两坐标轴的直线上的两点，可以利用直线的两点式求其方程，也可以先求斜率，再用点斜式求其方程． 方程和方程形式不同，适用范围也不同．前者是直线方程的两点式，不能表示垂直于坐标轴的直线；后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程． 截距式方程是两点式方程的特殊情形，应用的前提是且，直线过原点或与坐标轴垂直时不能用截距式方程．由截距式方程可直接确定横截距和纵截距，在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，常常使用截距式．特别地，截距是坐标值，不是距离，截距可正、可负、可为0． 【举一反三】 1．已知的顶点，，顶点C在第一象限，.求： (1)边AB所在直线的方程； (2)边AC所在直线的方程； (3)边AB的中垂线的方程． 【典例2】已知直线l：，点.求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线m：关于直线l的对称直线m′的方程； (3)直线l关于点A对称的直线l′的方程. 【思路引导】（1）利用两对称点的连线与对称直线垂直及两对称点的中点落在对称直线上，列出方程，解之可得答案； （2）在直线m上任取一点，利用（1）的做法求得对称点，再求出m与l的交点N，由m′经过，N两点，利用点斜式即可求得直线m′的方程； （3）法一：在l上任取两点，由中点坐标公式得到它们的对称点，再由点斜式即可求得直线l′的方程； 法二：任取l′上一点，求得其对称点，代入直线l的方程即可求得直线l′的方程. 【详细解析】（1）设，由l：得， 则，解得，故. （2）在直线m上取一点，如，则关于直线l的对称点必在m′上， 设对称点为，则，解得，即， 设m与l的交点为N，则由，解得， 又m′经过点，故， 所以直线m′的方程为，即. （3）法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上. 由中点坐标公式可得，故 所以l′的方程为，即. 法二：设为l′上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为Q′在直线l上，所以， 即直线l′的方程为. 【题后反思】（一）、点关于直线的对称问题：1、轴（直线）是对称点连线段的中垂线； 2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点， 则 （2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为 （二）、直线关于直线的对称问题：1、当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点 第三步：利用两点式写出方程 2、当与l平行时：对称直线与已知直线平行. 两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得. 【举一反三】 2．已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. (1)求直线的方程和点C的坐标； (2)求的面积． 探究二　求范围最值问题 【典例3】设直线的方程为． （1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若不经过第一象限，求实数的取值范围； （3）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为，求的最小值，并求此时直线的方程． 【思路引导】依据直线方程的一般式，可以确定直线的斜率、横截距、纵截距等相关几何量，再根据各几何量的条件或关系求解相应问题，如截距相等问题、截距之和问题、与坐标轴围成的三角周长或面积问题，等等． 【详细解析】（1）①当直线过原点时满足条件，此时，解得，化为．②当直线不过原点时，有，则直线方程为，所以，即，解得，可得直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或． （2）原方程可化为，因为直线不经过第一象限，所以解得．故实数的取值范围是． （3）令，得，解得；令，得，解得或．综上可得． 则的面积为，当且仅当时取等号．故面积的最小值是6，此时，直线的方程为，即． 【题后反思】本题考查了将直线的一般式方程化为截距式、斜截式方程的方法，数形结合得出直线不经过某个象限的条件．结合基本不等式知识求解直线与坐标轴围成的直角三角形面积的最小值时，需要注意参数范围及横、纵截距的正负． 直线的一般式方程可以表示任何直线，因此利用直线的一般式方程可以判断两直线的平行与垂直． 已知直线，直线，则． 另一方面，与直线平行的直线方程可设为；与直线垂直的直线方程可设为． 【举一反三】 3．已知直线，互相垂直，且相交于点．若的斜率为2，与轴的交点为，点在线段上运动，求的取值范围． 【典例4】有一块直角三角形的板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形内一点，现在由于三角板中阴影部分受到损坏，为把损坏部分锯掉，可用经过点的一条直线，将三角板铝成，问：应该如何锯法，即直线斜率为多少时，可使三角板的面积最大？ 【思路引导】由已知及直线的斜截式方程求、坐标，再由三角形面积公式写出△的面积S，并指出k的取值范围 由面积S的解析式构造函数，并研究函数的单调性，进而求S的最值． 【详细解析】依题意，直线MN过点且斜率存在，则MN的方程为， ，， 直线OA的方程为，直线AB的方程为， 由知：且，可得或， 由知：且，可得， ，故，， ， ∴，且. 设，， 当时，， ∵， ，，，则，即， 在是增函数， 当时，，即时，． 【题后反思】应用直线的斜截式方程及三角形面积公式写出面积S及k的范围，利用函数的单调性求S的最值. 【举一反三】 4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B． (1)求面积的最小值及此时直线l的方程； (2)求当取得最小值时直线l的方程． 探究三　直线过定点问题 【典例5】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】先由两直线方程求出的坐标，由于两直线垂直，所以，若设，则，，然后表示出变形后，利用三角函数的性质可求得其范围. 【详细解析】由题意可知，动直线经过定点， 动直线，即，经过点定点， 动直线和动直线的斜率之积为，始终垂直， 又是两条直线的交点， ，． 设，则，， 由且，可得， ， ，， ，， ，， ，， 故选：B． 【题后反思】此题考查直线过定点问题，考查两直线的位置关系，考查三角函数的应用，解题的关键是由已知得到，通过三角换元转化为利用三角函数的性质求的取值范围，考查数学转化思想. 【举一反三】 5．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 【典例6】已知直线，且与坐标轴形成的三角形面积为.求： （1）求证：不论为何实数，直线过定点P； （2）分别求和时，所对应的直线条数； （3）针对的不同取值，讨论集合直线经过P，且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素个数. 【思路引导】（1）直线方程化为，令求得直线所过的定点； （2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设出直线方程，求出直线与轴的交点，计算对应三角形的面积，由此求得直线条数； （3）由题意得，讨论和时方程对应的实数根，从而求出对应直线的条数，即可得出集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中元素的个数． 【详细解析】（1）直线可化为， 令，解得， ∴不论为何实数，直线过定点. （2）由题意知，直线的斜率存在，且， 设直线方程为，则直线与轴的交点为，与轴的交点为； ∴的面积为； 令，得，时，方程化为， 解得，有两个正根，即有两条直线； 时，方程化为，，方程无实数根，即无直线； 综上知，时有两条直线； 令，得，时，方程化为， 解得，有两个正根，即有两条直线； 时，方程化为，解得，有两个负根，即有两条直线； 综上知，时有四条直线； （3）由题意得，，时，方程化为， 解得，有两个正根，即有两条直线； 时，方程化为，， 时， ，方程无实数根，此时无直线； 时，，方程有一负根，此时有一条直线； 时，，解得，方程有两负根，即有两条直线； 综上知，时有两条直线；时有三条直线，时有4条直线； 所以时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有2个； 时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有3个； 时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有4个． 【题后反思】本题考查直线恒过定点、集合元素个数的判断，考查函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力． 【举一反三】 6．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法错误的是（    ） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 7．已知直线：与：平行，则的值是（   ）. A．或 B．或 C．或 D．或 8．已知两条直线和互相垂直，则等于 （ ） A．2 B．1 C．0 D．-1 9．三条直线，，构成三角形，则的值不能为（    ） A． B． C． D．－2 10．在平面直角坐标系中，下列四个结论中正确的是（    ） A．每一条直线都有点斜式方程 B．方程与方程可表示同一条直线 C．直线l过点，倾斜角为，则其方程为 D．直线恒过点 11．已知直线：与直线：平行，则的值为 . 12．已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为 ． 13．在平面直角坐标系中，已知射线，.过点作直线分别交射线于点A，B. （1）当的中点在直线上时，求直线的方程； （2）当的面积取最小值时，求直线的方程. 14．过点作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点． (1)求面积的最小值及此时直线l的方程； (2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程； (3)求的最小值及此时直线l的方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$