“有始有终”的向量回路讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

专题一 空间向量与立体几何 微点1“有始有终”的向量回路 所谓向量回路，就是向量从一点出发，通过一条封闭的路径又回到原点的那条通路．向量回路法：在平面向量中，；在空间中，首尾顺次相接的若干个空间向量相加，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.因此，若首尾顺次相接的若干个空间向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.它可以处理以下几种常见问题： 1、共面问题 2、距离（模长）问题 3、夹角问题 关于共面问题，可以通过回路法表示相关向量，结合共面定理来处理问题；距离问题，可以利用数量积的平方结合回路法计算；夹角问题，利用回路法表示向量结合数量积求夹角的公式计算来处理问题. 探究一　共面问题 【典例1】如图，、分别是空间四边形的边、的中点，则向量与、___．（填“共面”或“不共面”） 【思路引导】利用回路法用、的线性关系表达出，从而得到共面关系. 【详细解析】由图可知 . 则向量与、共面. 故答案为：共面 【题后反思】题目要判定向量与、是否共面，可用回路法表示，注意利用相关向量来表示. 【举一反三】 1．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足． (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 【典例2】如图所示的多面体是以长方形ABCD为底面的长方体的一部分，其中．求证：A，E，F，G四点共面． 【思路引导】空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对，使，因此，要证明A，E，F，G四点共面，需要找到实数x，y，使得． 【详细解析】因为 ，即， 所以，E，F，G四点共面． 【题后反思】 利用向量回路法证明A，E，F，G四点共面的关键是把用和的线性组合来表示（也可以选择E，F，G为向量的起点）． 【举一反三】 2．已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面． (1)； (2)． 类型二　距离（模长）问题 【典例3】在中，，将它沿对角线AC折起，使AB和CD所在直线成60°角，如图，求BD的长． 【思路引导】此题由平面四边形翻折成空间四边形后，我们注意到，而且翻折前后，的模长没有变化，边与边的夹角也已知，因此，可以运用向量回路法来解决． 【详细解析】因为，所以． 当时，；当时，．综上，或． 【题后反思】题目要求BD之长，利用向量回路法先把写成一个闭合回路的形式，再转化为求的模，用解决．特别要注意，向量的夹角与异面直线所成的角有相等或互补两种情况． 【举一反三】 3．如图在一个的二面角的棱上有两点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，若，，，则的长为（    ）. A．2 B．3 C． D．4 【典例4】（2024·四川成都·二模）如图，在平行四边形中，，，且EF交AC于点G，现沿折痕AC将折起，直至满足条件，此时EF的长度为 ． 【思路引导】根据题意，证得平面，得到平面平面，分别过点作的垂线，证得，，再由构建向量回路，结合向量的运算法则，即可求解. 【详细解析】由题意可知，所以，折起后，如图所示， 因为，，且，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 分别过点作的垂线，垂足分别为点， 又平面平面，所以平面，平面， 因为平面，平面，所以，， 又由，所以， 所以． 故答案为：. 【题后反思】回路的确定关键是找出夹角关系与线段长度，本题先判定线面垂直得出面面垂直并过点作的垂线，巧妙利用垂直关系简化向量回路的计算. 【举一反三】 （23-24高二上·上海崇明·期中） 4．正方形的边长为12，其内有两点、，点到边、的距离分别为3，2，点到边、的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 类型三　夹角问题 【典例5】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）在棱长均为1的平行六面体中，，，则（ ） A．30°    B．45°    C．60°    D．90° 【思路引导】直接由公式即可建立方程求解. 【详细解析】 设，注意到 ， 所以，所以. 故选：D. 【题后反思】建立回路需要利用已知夹角的向量，这样方便计算. 【举一反三】 （23-24高二下·江苏连云港·阶段练习） 5．有一长方形的纸片，的长度为，的长度为，现沿它的一条对角线把它折成直二面角，则折叠后（    ） A． B． C． D． 【典例6】如图在直角梯形ABCD中，，，把沿对角线AC折起后如图1－6（点D记为点P），点P在平面ABC上的投影E落在线段AB上，连接PB． （1）求异面直线PA与BC所成的角； （2）求二面角P－AC－B的余弦值． 【思路引导】要求异面直线PA与BC所成的角，可以通过构造与的数量积来处理．由异面直线PA与BC，选择闭合回路PACBP，有向量回路：． 【详细解析】（1）在中，因为，所以． 又因为平面ABC，所以，又，所以平面PAB（本小题在此步即可直接得解，为学习向量回路法，故进行以下推导），则． 在中，得．因为，所以， 即， 得，即PA与BC所成的角为． 取AC的中点，连接PG，则，作于点， 则夹角的大小就是二面角的大小． 在中，得．又，在中，． 由异面直线PG与BH，选择闭合回路PBHGP，有向量回路：， 即，得，即， 设二面角的平面角为，则． 【题后反思】下面我们来总结一下用向量回路法求二面角的一般方法． 如图作，则就是二面角的平面角． 在内作，在内作，则向量夹角的大小就是该二面角的平面角的大小． 连接HB，得闭合回路BHGAB，则有向量回路：， 两边平方得， 而正好就是平面角的补角． 用向量回路法求二面角的平面角的本质就是只需知道闭合回路BHGAB中的四条边长，可求余弦值，继而得平面角的余弦值． 用向量回路法求二面角的适用范围：①当用坐标向量法难以解决，即有关的空间直角坐标系难以建立或相关点的坐标难以确定，而闭合回路中的四条边长相对来说又较易求出时，可考虑用向量回路法；②当用传统几何法处理，二面角的平面角不易找到，或即使找到，但对相关点的空间位置不好把握及三角形的边长不易求出，而闭合回路中的四条边长相对来说又较易求出时，可考虑用向量回路法． 【举一反三】 （23-24高二上·广东东莞·阶段练习） 6．如图，二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，，则该二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 7．对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 （23-24高二上·江西九江·期末） 8．对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 9．如图，在四面体ABCD中，，，若，，，，则平面ABD与平面CBD的夹角为（    ） A． B． C． D． 10．空间四边形边长为，对角线的长为，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，到，，，的距离都等于2.以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． （23-24高二下·上海·期中） 12．如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则 . （23-24高二上·山西吕梁·期末） 13．如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； (2)求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题一 空间向量与立体几何 微点1“有始有终”的向量回路 所谓向量回路，就是向量从一点出发，通过一条封闭的路径又回到原点的那条通路．向量回路法：在平面向量中，；在空间中，首尾顺次相接的若干个空间向量相加，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.因此，若首尾顺次相接的若干个空间向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.它可以处理以下几种常见问题： 1、共面问题 2、距离（模长）问题 3、夹角问题 关于共面问题，可以通过回路法表示相关向量，结合共面定理来处理问题；距离问题，可以利用数量积的平方结合回路法计算；夹角问题，利用回路法表示向量结合数量积求夹角的公式计算来处理问题. 探究一　共面问题 【典例1】如图，、分别是空间四边形的边、的中点，则向量与、___．（填“共面”或“不共面”） 【思路引导】利用回路法用、的线性关系表达出，从而得到共面关系. 【详细解析】由图可知 . 则向量与、共面. 故答案为：共面 【题后反思】题目要判定向量与、是否共面，可用回路法表示，注意利用相关向量来表示. 【举一反三】 1．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足． (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 【答案】(1)，，共面 (2)点M在平面ABC内 【分析】（1）根据空间向量的线性运算，结合平面向量基本定理证明即可； （2）根据（1）结合平面向量的基本定理判断即可． 【详解】（1）由题知， 则， 即， 所以，，共面． （2）由（1）知，，共面且基线过同一点M， 所以M，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内． 【典例2】如图所示的多面体是以长方形ABCD为底面的长方体的一部分，其中．求证：A，E，F，G四点共面． 【思路引导】空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对，使，因此，要证明A，E，F，G四点共面，需要找到实数x，y，使得． 【详细解析】因为 ，即， 所以，E，F，G四点共面． 【题后反思】 利用向量回路法证明A，E，F，G四点共面的关键是把用和的线性组合来表示（也可以选择E，F，G为向量的起点）． 【举一反三】 2．已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面． (1)； (2)． 【答案】(1)共面 (2)不共面 【分析】（1）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解； （2）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解； 【详解】（1）解：因为三点不共线，可得三点共面， 对于平面外的任意一点，若， 即， 又因为，根据空间向量的共面定理，可得点与共面. （2）解：因为三点不共线，可得三点共面， 对于平面外的任意一点，若，此时， 根据空间向量的共面定理，可得点与不共面． 类型二　距离（模长）问题 【典例3】在中，，将它沿对角线AC折起，使AB和CD所在直线成60°角，如图，求BD的长． 【思路引导】此题由平面四边形翻折成空间四边形后，我们注意到，而且翻折前后，的模长没有变化，边与边的夹角也已知，因此，可以运用向量回路法来解决． 【详细解析】因为，所以． 当时，；当时，．综上，或． 【题后反思】题目要求BD之长，利用向量回路法先把写成一个闭合回路的形式，再转化为求的模，用解决．特别要注意，向量的夹角与异面直线所成的角有相等或互补两种情况． 【举一反三】 3．如图在一个的二面角的棱上有两点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，若，，，则的长为（    ）. A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】由，两边平方后展开整理，即可求得，则的长可求． 【详解】解：， ， ，， ，， ． ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【典例4】（2024·四川成都·二模）如图，在平行四边形中，，，且EF交AC于点G，现沿折痕AC将折起，直至满足条件，此时EF的长度为 ． 【思路引导】根据题意，证得平面，得到平面平面，分别过点作的垂线，证得，，再由构建向量回路，结合向量的运算法则，即可求解. 【详细解析】由题意可知，所以，折起后，如图所示， 因为，，且，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 分别过点作的垂线，垂足分别为点， 又平面平面，所以平面，平面， 因为平面，平面，所以，， 又由，所以， 所以． 故答案为：. 【题后反思】回路的确定关键是找出夹角关系与线段长度，本题先判定线面垂直得出面面垂直并过点作的垂线，巧妙利用垂直关系简化向量回路的计算. 【举一反三】 （23-24高二上·上海崇明·期中） 4．正方形的边长为12，其内有两点、，点到边、的距离分别为3，2，点到边、的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点分别作底面的平行圆，利用空间向量数量积的运算律求解即得. 【详解】过点作平行于底面的截面圆，过点作平行于底面的截面圆，， 设圆柱的底面圆半径为，则，解得 ，于是， 由，得 ， 所以、两点间的距离为. 故选：C    【点睛】关键点睛：求出空间两点的距离，借助空间向量表示及空间向量数量积是解决问题的关键. 类型三　夹角问题 【典例5】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）在棱长均为1的平行六面体中，，，则（ ） A．30°    B．45°    C．60°    D．90° 【思路引导】直接由公式即可建立方程求解. 【详细解析】 设，注意到 ， 所以，所以. 故选：D. 【题后反思】建立回路需要利用已知夹角的向量，这样方便计算. 【举一反三】 （23-24高二下·江苏连云港·阶段练习） 5．有一长方形的纸片，的长度为，的长度为，现沿它的一条对角线把它折成直二面角，则折叠后（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量数量积的运算律计算即可． 【详解】在中，，，， 所以， 所以， 故选：C． 【典例6】如图在直角梯形ABCD中，，，把沿对角线AC折起后如图1－6（点D记为点P），点P在平面ABC上的投影E落在线段AB上，连接PB． （1）求异面直线PA与BC所成的角； （2）求二面角P－AC－B的余弦值． 【思路引导】要求异面直线PA与BC所成的角，可以通过构造与的数量积来处理．由异面直线PA与BC，选择闭合回路PACBP，有向量回路：． 【详细解析】（1）在中，因为，所以． 又因为平面ABC，所以，又，所以平面PAB（本小题在此步即可直接得解，为学习向量回路法，故进行以下推导），则． 在中，得．因为，所以， 即， 得，即PA与BC所成的角为． 取AC的中点，连接PG，则，作于点， 则夹角的大小就是二面角的大小． 在中，得．又，在中，． 由异面直线PG与BH，选择闭合回路PBHGP，有向量回路：， 即，得，即， 设二面角的平面角为，则． 【题后反思】下面我们来总结一下用向量回路法求二面角的一般方法． 如图作，则就是二面角的平面角． 在内作，在内作，则向量夹角的大小就是该二面角的平面角的大小． 连接HB，得闭合回路BHGAB，则有向量回路：， 两边平方得， 而正好就是平面角的补角． 用向量回路法求二面角的平面角的本质就是只需知道闭合回路BHGAB中的四条边长，可求余弦值，继而得平面角的余弦值． 用向量回路法求二面角的适用范围：①当用坐标向量法难以解决，即有关的空间直角坐标系难以建立或相关点的坐标难以确定，而闭合回路中的四条边长相对来说又较易求出时，可考虑用向量回路法；②当用传统几何法处理，二面角的平面角不易找到，或即使找到，但对相关点的空间位置不好把握及三角形的边长不易求出，而闭合回路中的四条边长相对来说又较易求出时，可考虑用向量回路法． 【举一反三】 （23-24高二上·广东东莞·阶段练习） 6．如图，二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，，则该二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，平方后得到，从而求出二面角大小. 【详解】由条件，知，，. ∴ ， 故， ∴，又∵， ∴， ∴二面角的大小为. 故选：B. 7．对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，得到共面，进而得到四点共面，即可求解. 【详解】由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. （23-24高二上·江西九江·期末） 8．对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据共面向量定理判断点满足，且，向量，，共面，得到，，，四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案． 【详解】解：若，则，即， 由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面； 反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时， ，可取任意值，不一定有， 所以是，，，四点共面的充分不必要条件． 故选：B． 9．如图，在四面体ABCD中，，，若，，，，则平面ABD与平面CBD的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，结合空间向量的数量积的定义及运算律可求得，即可得结果. 【详解】设平面ABD与平面CBD的夹角为， 由题意可得：， ∵， 则， 即，解得， 由，可得， 故平面ABD与平面CBD的夹角为. 故选：C. 10．空间四边形边长为，对角线的长为，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知，，进而根据向量夹角求解即可. 【详解】解：因为空间四边形边长为，对角线的长为， 所以，， 所以， ， 因为为的中点， 所以，， 所以 因为 ，即， ，即， 所以，， 所以，异面直线与所成角的余弦值为 故选：Ｃ 11．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，到，，，的距离都等于2.以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用空间向量的线性运算对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】如图，分别取的中点，的中点 对于A，，故A错误； 对于B，，而不是，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，，又，所以，故D正确. 故选：CD （23-24高二下·上海·期中） 12．如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则 . 【答案】 【分析】由平方求解. 【详解】解：因为分别是圆柱的上下底面的中心， 所以, 又因为圆柱的底面半径为2，高为5，， 且， 所以， ， ， 所以， 故答案为：. （23-24高二上·山西吕梁·期末） 13．如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算，得到，结合向量的数量积的运算法则，即可求解； （2）由空间向量的运算法则，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】（1）解：根据空间向量的线性运算，可得， 可得 ， 所以. （2）解：由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$