精品解析：江苏省南京市宁海中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年高二下学期南京宁海中学期中考试数学试卷 一．单选题 1. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 10 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二项展开式的通项，即可求解. 【详解】的通项公式， 令，得的项的系数是. 故选：C 2. 设随机变量的概率分布列如表所示，则（ ） 2 3 4 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分布列概率之和为1，再根据的取值可求得答案. 【详解】因为，所以或， 所以或． 故选:D． 3. 抛掷一枚骰子，当出现6点时，就说试验成功，则在30次试验中成功的次数X的均值为（ ） A. 8 B. 10 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式即可求解. 【详解】一枚骰子，出现6点的概率为， 则在30次试验中成功的次数X服从, 故均值为, 故选：C 4. 在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作图，然后根据空间向量基本定理求解即可. 【详解】根据题意，． 故选：B． 5. 由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行.现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至多派两名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（ ） A. 60种 B. 90种 C. 150种 D. 180种 【答案】B 【解析】 【分析】由排列组合及简单计数问题求解即可. 【详解】要求每个会场至多派两名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有 种. 故选：B. 6. 已知点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到直线的距离的向量法求解公式计算即可. 【详解】设， 可求得， 所以． 故选：B 7. 某校高二数学期末考试成绩近似服从正态分布，且，已知该校高二数学期末考试成绩超过80分的人数有420人，则（ ） A. 估计该校高二学生人数为520. B. 估计该校高二学生中成绩不超过95分的人数为280. C. 估计该校高二学生中成绩介于80到95分之间的人数为170. D. 在该校高二学生中任取1人，其成绩低于70分的概率大于超过120分的概率. 【答案】C 【解析】 【分析】根据近似服从正态分布，且，得到，进而得到高二学生人数，然后逐项判断. 【详解】因为近似服从正态分布，所以， 又因为，则， A.估计该校高二学生人数为，故错误； B.估计该校高二学生中成绩不超过95分的人数为，故错误； C. 由，则成绩介于80到95分之间的人数为，故正确； D.因为，所以，故错误； 故选：C 8. 如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：…，记此数列的前n项之和为，则的值为（ ）． A. 452 B. 848 C. 984 D. 1003 【答案】C 【解析】 【分析】观察杨辉三角结合其中数的来源，可得到这个数列的奇数项的通项公式和偶数项的通项公式，分别求奇数项和与偶数项和，从而得到前n项和. 【详解】设数列为，前32项里面有偶数项16项，奇数项16项，当为偶数时，易知，且，所以，所以偶数项之和为， 当为奇数时，，，，，…， 所以，则， 所以前32项里面奇数项和为： ， 又由组合数性质，所以， 所以. 故选：C. 二．多选题 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则是锐角 C. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理即可判断A；根据，得到，即可判断B；根据题意得到不共面，即可判断C；根据即可判断D. 【详解】对A，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确； 对B，若，则，故B错误. 对C，假设共面，则， 因为向量组是空间的一个基底， 所以不存在实数，使得成立，故不共面， 即也是空间的一个基底，故C正确. 对D，因为，且， 所以四点共面，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ）． A. B. 与平面所成角为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 二面角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】连接，由已知结合余弦定理与勾股定理逆定理可得，于是可建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算逐项判断即可. 【详解】连接，因为，设， 由余弦定理得， 所以，则， 则，即，又底面，底面， 所以， 如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则 对于A，所以，，则， 所以，故A正确； 对于B，又，因为底面，所以是平面的一个法向量，所以， 则与平面所成角的正弦值为，即与平面所成角为，故B正确； 对于C，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，设平面的法向量为，则，令，则， 设平面的法向量为，则，令，则， 所以， 令二面角所成角为，则 则平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 以石墨烯电池、量子计算、AI等颠覆性技术为引领的前沿趋势，正在或将重塑世界工业的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大，我国某公司为了抢抓机遇，成立了A、B、C三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克技术难题的小组会受到奖励．已知A、B、C三个小组攻克该技术难题的概率分别为，，，且三个小组各自独立进行科研攻关．下列说法正确的（ ） A. 三个小组都受到奖励的概率是 B. 只有A小组受到奖励的概率是 C. 只有C小组受到奖励的概率是 D. 受到奖励的小组数的期望值是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据独立事件概率计算后判断选项ABC，求出受到奖励的小组数对应的概率，计算出期望值后判断D． 【详解】设三个小组攻克该技术难题分别为事件，即，相互独立， ，A正确； ，B错； 只有丙小组受到奖励的概率是，C错； 设受到奖励的小组数为，则的值为， ， ， ， ． 所以．D正确． 故选：AD． 三．填空题 12. 已知向量，，若，，三点共线，则________ 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，共线，结合向量共线关系列方程求，，由此可得结论. 【详解】因为，，三点共线， 所以，共线，即，又， 故存在实数t使得，又，， 所以，，， 所以，， 所以， 故答案为：. 13. 某批麦种中，一等麦种占90%，二等麦种占10%，一、二等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为_________． 【答案】0.56## 【解析】 【分析】根据已知设出事件，由已知得出事件的概率以及条件概率，然后根据全概率公式，即可得出答案. 【详解】分别记取到一等麦种和二等麦种分别为事件，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件. 由已知可得，，，，， 由全概率公式可得，. 故答案为：0.56. 14. 定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件条件下期望为，其中为X的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率．某日小张掷一枚质地均匀的骰子，若掷出1点向上两次时即停止．设A表示第一次掷出1点向上时的投掷次数，B表示第二次掷出1点向上时的投掷次数，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】由可得共有三种情况，然后根据所给的期望公式进行计算即可 【详解】由可得或或， 由题意可得 故答案为：2 四．解答题 15. 已知． （1）求； （2）求． 【答案】（1）； （2）129. 【解析】 【分析】（1）根据给定的二项展开式，利用赋值法计算作答. （2）利用赋值法求出，再求出展开式的最高次项的系数即可计算作答. 【小问1详解】 令x=2，得． 【小问2详解】 令x＝1，得， 的系数， 所以＝129． 16. 袋中有大小相同的小球10个，其中黑球3个，红球个，白球个，.从中任取2个球，至少有1个红球的概率为. （1）任取3球，求取出的球中恰有2球同色的概率； （2）任取2球，取到1个红球得2分，取到1个白球得0分，取到1个黑球得分，求总得分的概率分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式可得，即可利用超几何分布的概率公式求解， （2）利用超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，进而由期望公式求解期望即可. 【小问1详解】 ，得, 故黑球3个，红球5个，白球2个， 事件：取出的3球中恰有2球同色，则 【小问2详解】 的概率分布列 -2 -1 0 1 2 4 . 17. 如图，四面体中，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）设，，，点在上，若与平面所成的角的正弦值为，求此时点的位置． 【答案】（1）证明见解析 （2）为的四等分点且靠近点位置 【解析】 【分析】（1）根据已知关系有得到，结合等腰三角形性质得到垂直关系，结合线面垂直的判定即可证明； （2）根据已知求证、、两两垂直，从而建立空间直角坐标系，结合线面角运算法则进行计算即可. 【小问1详解】 因为，为的中点，所以， 在和中， 所以，所以，又为的中点， 所以，又平面，， 所以平面. 【小问2详解】 因为，则，， 由且，所以是等边三角形， 由且，为的中点， 所以，在等腰直角中，则， 故，又且， 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以，， 设面的一个法向量为，则，取，则， 又，， 设，， 所以， 设与平面所成的角的正弦值为， 因为， 所以， 所以，解得， 所以为的四等分点且靠近点位置. 18. 为丰富校园文化生活，学校举办了乒乓球比赛．决赛采用三局二胜制的比赛规则（先赢得2局的队伍获胜并结束比赛）.已知甲、乙两队进入决赛，且根据以往比赛统计得知，在每局比赛中甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响． （1）若 ，求乙队以2：0获胜的概率； （2）若 ，比赛结束时甲队获胜的局数记为X，求X的期望； （3）若比赛打满3局的概率记为，请直接写出的最大值及此时p的值，并解释此时的实际意义. 【答案】（1） （2） （3）最大值为 ，此时 ，意义见解析 【解析】 【分析】（1）根据三局二胜制规则，乙队以2:0获胜意味着乙队在前两局中均获胜，因此概率为 代入 即可. （2） 的期望通过加权平均的方式计算，需分别计算 、 和 的概率，并结合 的取值进行加权求和. （3）打满3局的概率 是一个关于 的二次函数，其最大值出现在对称轴 处，最大值为 .这表明当两队实力相当时，比赛最有可能打满3局. 小问1详解】 乙队以2:0获胜意味着乙队在前两局中均获胜.乙队每局获胜的概率为 ，因此乙队以2:0获胜的概率为： 代入 ，得： 【小问2详解】 比赛结束时甲队获胜的局数 的可能取值为0、1或2.计算各情况的概率如下： ：甲队一局未胜，即乙队以2:0获胜，概率为 . ：甲队仅胜1局，乙队胜2局，可能的情况有两种（甲胜第1局或第2局），概率为： ：甲队胜2局，可能的情况有两种（甲胜前2局或前2局胜1局），概率为： 因此， 的期望为： 代入 ，得： 化简后得 . 【小问3详解】 比赛打满3局的概率 表示比赛进行到第3局才分出胜负. 这种情况发生当且仅当前两局双方各胜1局，因此： 将 视为关于 的函数，其最大值出现在 处，最大值为： 实际意义是当甲、乙两队实力相当时，比赛打满3局的概率最大. 19. 数轴上的一个质点从原点出发，每次随机向右或向左移动1个单位长度，其中向右移动的概率为，向左移动的概率为，记质点移动次后所在的位置对应的实数为． （1）当，时，质点在哪一个位置的可能性最大，并说明理由； （2）求证：的数学期望． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合题意利用二项分布得到，再讨论的取值即可； （2）利用二项分布计算向右和向左移动的概率，再由期望公式计算期望，然后根据计算结果讨论可得. 【小问1详解】 当，时，不妨设质点向右移动次，向左移动次的概率为，此时，而， 所以． 当时，，则随着值的增大而增大； 当时，，则随着值的增大而减小． 当时，取得最大值，故质点所在的位置对应的实数应为4． 【小问2详解】 若质点移动次中一共向右移动次，则． 所以，． 若质点移动次中一共向左移动次，则． 所以，． 所以， 所以 ， 当时，； 当时，． 所以， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二下学期南京宁海中学期中考试数学试卷 一．单选题 1. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 10 B. 5 C. D. 2. 设随机变量的概率分布列如表所示，则（ ） 2 3 4 A. B. C. D. 3. 抛掷一枚骰子，当出现6点时，就说试验成功，则在30次试验中成功的次数X的均值为（ ） A. 8 B. 10 C. 5 D. 6 4. 在平行六面体中，为与交点．若，则下列向量中与相等的是（    ） A B. C D. 5. 由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行.现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至多派两名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（ ） A. 60种 B. 90种 C. 150种 D. 180种 6. 已知点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 5 7. 某校高二数学期末考试成绩近似服从正态分布，且，已知该校高二数学期末考试成绩超过80分人数有420人，则（ ） A. 估计该校高二学生人数为520. B. 估计该校高二学生中成绩不超过95分人数为280. C. 估计该校高二学生中成绩介于80到95分之间的人数为170. D. 在该校高二学生中任取1人，其成绩低于70分的概率大于超过120分的概率. 8. 如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：…，记此数列的前n项之和为，则的值为（ ）． A. 452 B. 848 C. 984 D. 1003 二．多选题 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则是锐角 C. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 10. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ）． A. B. 与平面所成角为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 二面角的正弦值为 11. 以石墨烯电池、量子计算、AI等颠覆性技术为引领的前沿趋势，正在或将重塑世界工业的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大，我国某公司为了抢抓机遇，成立了A、B、C三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克技术难题的小组会受到奖励．已知A、B、C三个小组攻克该技术难题的概率分别为，，，且三个小组各自独立进行科研攻关．下列说法正确的（ ） A. 三个小组都受到奖励的概率是 B. 只有A小组受到奖励的概率是 C. 只有C小组受到奖励的概率是 D. 受到奖励的小组数的期望值是 三．填空题 12. 已知向量，，若，，三点共线，则________ 13. 某批麦种中，一等麦种占90%，二等麦种占10%，一、二等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为_________． 14. 定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件条件下的期望为，其中为X的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率．某日小张掷一枚质地均匀的骰子，若掷出1点向上两次时即停止．设A表示第一次掷出1点向上时的投掷次数，B表示第二次掷出1点向上时的投掷次数，则______． 四．解答题 15. 已知． （1）求； （2）求． 16. 袋中有大小相同的小球10个，其中黑球3个，红球个，白球个，.从中任取2个球，至少有1个红球的概率为. （1）任取3球，求取出的球中恰有2球同色的概率； （2）任取2球，取到1个红球得2分，取到1个白球得0分，取到1个黑球得分，求总得分的概率分布列及数学期望. 17. 如图，四面体中，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）设，，，点在上，若与平面所成的角的正弦值为，求此时点的位置． 18. 为丰富校园文化生活，学校举办了乒乓球比赛．决赛采用三局二胜制的比赛规则（先赢得2局的队伍获胜并结束比赛）.已知甲、乙两队进入决赛，且根据以往比赛统计得知，在每局比赛中甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响． （1）若 ，求乙队以2：0获胜的概率； （2）若 ，比赛结束时甲队获胜的局数记为X，求X的期望； （3）若比赛打满3局的概率记为，请直接写出的最大值及此时p的值，并解释此时的实际意义. 19. 数轴上的一个质点从原点出发，每次随机向右或向左移动1个单位长度，其中向右移动的概率为，向左移动的概率为，记质点移动次后所在的位置对应的实数为． （1）当，时，质点在哪一个位置的可能性最大，并说明理由； （2）求证：的数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$