第4章 第1节 任意角、弧度制与任意角的三角函数（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第四章　三角函数与解三角形 第1节　任意角、弧度制与任意角的三角函数 课标解读 1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. [对应学生用书P76] 1.角的概念的推广 (1)定义：平面内一条射线OA绕着它的端点O一定的(顺时针，或逆时针，或不动)方向旋转到终止位置OB形成∠AOB. (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位用符号rad表示. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝rad；1 rad＝ 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 (1)正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. (2)在一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用. 3.任意角的三角函数 (1)定义 前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u，v) 定 义 正弦 把点P的纵坐标v定义为角α的正弦值，记作v＝sin α 余弦 把点P的横坐标u定义为角α的余弦值，记作u＝cos α 正切 叫作α的正切值，记作tan α，即tan α＝(u≠0) 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 (2)定义的推广 任意角的终边上任一点的三角函数的定义 设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α＝，cos α＝(其中r＝)，tan α＝(x≠0). 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.(　　√　　) (2)1弧度的角的大小和所在圆的半径大小有关.(　　×　　) (3)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.(　　×　　) (4)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.(　　×　　) 2.(多选)在下列四个角中，属于第二象限角的是(　　) A.160° B.480° C.－960° D.1 530° 答案：ABC 3.已知α是第一象限角，那么是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第二象限角 D.第一或第三象限角 答案：D 4.已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，则该弧所对的圆心角(正角)的弧度数为 ，该弧所在的扇形的面积为 mm2. 答案：1.2　8 640 5.已知角θ的终边过点P(－12，－5)，则sin θ＝ ，cos θ＝ . 答案：－　－ 6.在0到2π范围内，与角－终边相同的角是 . 答案：　解析：与角－终边相同的角是2kπ＋(k∈Z)， 令k＝1，可得与角－终边相同角是. [对应学生用书P77] 考点 象限角与终边相同的角(自主练通) 1.(多选)下列四个命题中，正确的是(　　) A.－是第二象限角 B.是第三象限角 C.－400°是第四象限角 D.－315°是第一象限角 BCD　解析：－是第三象限角，故A错误；＝π＋，从而是第三象限角，故B正确；－400°＝－360°－40°，是第四象限角，故C正确；－315°＝－360°＋45°，是第一象限角，故D正确. 2.(2024·漳州二模)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(cos 100°，sin 200°)，则(　　) A.sin α>0 B.cos α>0 C.0<tan α<1 D.tan α>1 D　解析：因为cos 100°＝cos (180°－80°)＝－cos 80°<0，sin 200°＝sin (180°＋20°)＝－sin 20°<0，故点P在第三象限，故sin α<0，cos α<0，A，B错误； tan α＝＝＝＝＝2cos 10°，因为y＝cos x在(0，π)上单调递减， 所以cos 10°>cos 60°＝，故cos 10°∈，2cos 10°∈(1，2)，所以tan α>1，C错误，D正确.故选D. 3.集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) C　解析：当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和≤α≤的终边相同；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边和π＋≤α≤π＋的终边相同. 4.已知角α的终边与300°角的终边重合，则的终边不可能在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 A　解析：因为角α的终边与300°角的终边重合，所以α＝300°＋k·360°，k∈Z，所以＝100°＋k·120°，k∈Z， 令k＝0，＝100°，终边位于第二象限， 令k＝1，＝220°，终边位于第三象限， 令k＝2，＝340°，终边位于第四象限， 令k＝3，＝100°＋360°，终边位于第二象限，依次类推，可知的终边不可能在第一象限. (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角. (2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法：先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置. 考点 弧度制及其应用(讲练融通) 【例1】 一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.已知α＝，R＝10 cm，求扇形的面积. 解：由已知得α＝，R＝10 cm， ∴S扇形＝α·R2＝··102＝(cm2). 【变式1】 若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. 解：l＝α·R＝×10＝(cm)， S弓形＝S扇形－S三角形＝·l·R－·R2·sin ＝ ··10－·102·＝(cm2). 【变式2】 若本例已知条件改为“扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解：由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R(0<R<10)， 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad. 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度； (2)求扇形面积最大值的问题，常转化为二次函数的最值问题； (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 【练1】 (多选)已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的有(　　) A.扇形的半径为2 B.扇形的半径为1 C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2 ABC　解析：设扇形的半径为r，圆心角弧度数为α， 则由题意得解得或 可得扇形半径为1或2，圆心角的弧度数是4或1. 【练2】 中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为(　　) A. B. C.3－ D.－2 B　解析：设∠AOB＝θ，半圆的半径为r，扇形OCD的半径为r1，依题意，有＝，即＝，所以＝＝＝，从而得＝. 考点 三角函数的定义及应用(多维贯通) 考向1　三角函数符号的判断 【例2】 若α为第四象限角，则(　　) A.cos 2α>0 B.cos 2α<0 C.sin 2α>0 D.sin 2α<0 D　解析：由题意，知－＋2kπ<α<2kπ(k∈Z)， 所以－π＋4kπ<2α<4kπ(k∈Z)， 所以cos 2α≤0或cos 2α>0，sin 2α<0. 三角函数值符号及角所在象限的判断 三角函数值在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关.sin θ在一、二象限为正，cos θ 在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正. 【练3】 若sin αtan α＜0，且＜0，则角α是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 C　解析：由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角.由＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角. 考向2　三角函数的定义 【例3】 (1)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　) A. B.－ C.± D.± (2)若点P(cos θ，sin θ)与点Q(cos (θ＋)，sin (θ＋))关于y轴对称，则θ的值可以为 . 思维 导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、直观想象等学科素养 思路点拨 (1)由三角函数的定义得到关于m的方程，解方程得m的值； (2)根据三角函数定义写出角θ终边上满足|OM|＝2的点M′的坐标，再根据对称性写出M点的坐标 (1)A　(2) 解析：(1)因为角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)＝(－8m，－3)，cos α＝－<0，所以角α的终边在第三象限，则m>0，|OP|＝.由cos α＝＝－，解得m＝(m>0). (2)∵P(cos θ，sin θ)与Q(cos ，sin)关于y轴对称，∴θ，θ＋关于y轴对称， 即θ＋＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，则θ＝kπ＋，k∈Z， 当k＝0时，可取θ的一个值为. 用定义法求三角函数值的两种类型及解题方法 (1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解. (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解. 【练4】 (2024·黄冈二模)已知角α，角β的顶点均为坐标原点，始边均与x轴的非负半轴重合，终边分别过点A(1，3)，B(－3，1)，则tan ＝(　　) A.－2或 B.2或－ C. D.－2 D　解析：记O为坐标原点， 因为A(1，3)，B(－3，1)， 所以|OA|＝|OB|＝， 所以点A(1，3)，B(－3，1)，均在以原点O为圆心，为半径的圆上. 连接AB，取AB的中点M，连接OM，则OM⊥AB，不妨设α，β∈(0，2π)，则∠xOM＝α＋＝，所以tan ＝kOM＝－＝－2.故选D. 【练5】 已知α的终边在直线y＝2x上，则sin α＝ . 答案：±　解析：由题意可知，α终边落在第一象限或第三象限，且tan α＝2，若在第一象限，可在α终边上任取一点(1，2)，则sin α＝＝；若在第三象限，可在α终边上任取一点(－1，－2)，则sin α＝＝－. 综上可得sin α＝±. 微专题系列之数学建模——方案最优问题 [对应学生用书P79] 【例】 在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中用电焊切割出扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？ 　 [思维过程] 明确目标→选择方案最优问题. 提取信息→等腰三角形钢板废料的顶角及腰长，两种可供选择的方案. 建立联系→利用扇形弧长和面积公式分别计算两种方案中的弧长和扇形面积后比较选择方案. 思路导引→因为△AOB是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形， 所以A＝B＝30°＝， OM＝ON＝1，AD＝2， 所以方案一中扇形的弧长 l1＝2·＝， 方案二中扇形的弧长 l2＝1×＝； 方案一中扇形的面积S1＝×2×2×＝， 方案二中扇形的面积S2＝×1×1×＝. 由此可见，两种方案利用废料面积相等，但方案一切割时间短.因此方案一最优. 　　解决此类问题可运用所学知识分别算出扇形的面积和周长，再分析比较出最优方案，体现了实际问题中利用数学知识建立数学模型解决问题的核心素养. 【练】 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田(由圆弧和其所对弦所围成)面积的计算公式：弧田面积＝(弦×矢＋矢2).公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离.如图，弧田是由和其所对弦AB围成的图形，若弧田的长为，弧所在的圆的半径为4，则利用《九章算术》中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为 . 答案：8＋2－　解析：设所对圆心角的弧度为α， 由题意可知α×4＝，解得α＝. 故扇形AOB的面积为××4＝π， △AOB的面积为×sin ×42＝4，故弧田实际的面积为－4. 作OD⊥AB分别交AB，于点D，C， 则AB＝4，OD＝2，CD＝2， 所以利用《九章算术》中的弧田面积公式计算出来的面积为×(4×2＋22)＝4＋2， 则所求差值为(4＋2)－＝8＋2－. [课时作业(二十)见P351] 学科网（北京）股份有限公司 $$