第3章 专题一 第3课时 利用导数研究函数的零点问题（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第三课时　利用导数研究函数的零点问题 函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点个数或范围.高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现. [对应学生用书P72] 考点 函数零点个数的判断问题(讲练融通) 【例1】 (2025·安徽五校联盟第二次联考)已知函数f(x)＝ln x＋＋1. (1)若函数f(x)在[1，e]上单调递增，求实数a的取值范围； (2)讨论函数f(x)零点的个数. 思维 导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学抽象、数学运算等学科素养 思路点拨 (1)求出函数f(x)的定义域，由已知条件可得出f′(x)≥0对任意的x∈[1，e]恒成立，由参变量分离法得出a≤x对任意的x∈[1，e]恒成立，进而可求得实数a的取值范围； (2)由f(x)＝0可得出a＝－x ln x－x，设g(x)＝－x ln x－x，利用导数分析函数g(x)的单调性与极值，数形结合可得出实数a在不同取值下，函数f(x)的零点个数 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， ∵f(x)在[1，e]上单调递增， ∴f′(x)＝≥0在x∈[1，e]上恒成立， ∴a≤x对∀x∈[1，e]恒成立，∴a≤1. 因此，实数a的取值范围是(－∞，1]. (2)由f(x)＝ln x＋＋1＝0， 可得a＝－x ln x－x，令g(x)＝－x ln x－x， 其中x＞0，则g′(x)＝－ln x－2. 令g′(x)＝0，可得x＝，列表如下： x (0，) (，＋∞) g′(x) ＋ 0 － g(x) 单调递增 极大值 单调递减 作出函数g(x)与直线y＝a的图象如图所示， 当0＜x＜时，g(x)＝－x(ln x＋1)＞0； 当x＞时，g(x)＝－x(ln x＋1)＜0. 由图可知，当a≤0或a＝时，函数f(x)只有一个零点； 当0＜a＜时，函数f(x)有两个零点； 当a＞时，函数f(x)没有零点. 利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 (1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)图象的草图，数形结合求解函数零点的个数； (2)利用零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数. 【练1】 (2023·枣庄模拟)函数f(x)＝ln x＋，m∈R. (1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； (2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数. 解：(1)当m＝e时，f(x)＝ln x＋， f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－＝. 令f′(x)＝0，得x＝e. 当x∈(0，e)时，f′(x)<0； 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增， ∴当x＝e时，f(x)取得极小值，为2. (2)由题意知， g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)， 令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0). 设φ(x)＝－x3＋x(x>0)， 则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1). 当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减. ∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点， ∴x＝1也是φ(x)的最大值点， ∴φ(x)的最大值为φ(1)＝. 结合y＝φ(x)的图象(如图)可知， ①当m>时，函数g(x)无零点； ②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点； ③当0<m<时，函数g(x)有两个零点； ④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点. 综上所述，当m>时，函数g(x)无零点； 当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点； 当0<m<时，函数g(x)有两个零点. 考点 由函数零点个数求参数取值范围问题(讲练融通) 【例2】 已知a＞0且a≠1，函数f(x)＝(x＞0). (1)当a＝2时，求f(x)的单调区间； (2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围. 思维 导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学抽象、数学运算等学科素养 思路点拨 (1)将a＝2代入求导，对分子因式分解后求解； (2)将曲线与直线交点个数转化为方程解的个数，再构造函数，将问题进一步转化为求函数的最大值问题 解：(1)当a＝2时，f(x)＝， 则f′(x)＝＝. ∴当x∈(0，)时，f′(x)＞0； 当x∈(，＋∞)时，f′(x)＜0. 即f(x)的单调递减区间为(，＋∞)， 单调递增区间为(0，). (2)要使曲线y＝f(x)与直线y＝1有2个交点， 则＝1有2个解，即＝有2个解. 令g(x)＝(x＞0)，则g′(x)＝(x＞0). 令g′(x)＞0，解得0＜x＜e，此时g(x)单调递增； 令g′(x)＜0，解得x＞e，此时g(x)单调递减. 故g(x)max＝g(e)＝. 当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，且g(1)＝0， ∴要使条件成立，只需0＜＜，易得a∈(1，e)∪(e，＋∞). 解决由函数零点个数求参数取值范围问题的思路 (1)根据区间上零点的个数情况估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件. (2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调性情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解. 【练2】 (2024·全国甲卷改编)当x>0时，曲线y＝x3－3x与曲线y＝－(x－1)2＋a有两个交点，求a的取值范围. 解：方法一　曲线y＝x3－3x是三次函数的图象，其性质和特点完全确定.函数y＝x3－3x有三个零点，分别是x＝－，x＝0，x＝.有两个极值点，分别是极大值点x＝－1，极大值为2；极小值点x＝1，极小值为－2. 函数的表达式y＝－(x－1)2＋a中含有参数a，所以函数图象的位置是不确定的.但其图象以直线x＝1为对称轴，在x＝1处取得最大值a.所以其最大值点与函数y＝x3－3x的极小值点重合，都为x＝1. 题设条件为当x>0时，曲线y＝x3－3x与曲线y＝－(x－1)2＋a有两个交点，即两条曲线在y轴的右边有两个交点.首先考虑在x＝0的情况，函数y＝x3－3x在x＝0时，函数值为0，为使两条曲线有两个交点，函数y＝－(x－1)2＋a在x＝0时的函数值应该小于0，即－1＋a<0，所以a<1.再来考虑两个函数在极值点x＝1的情况，当x＝1时，函数y＝x3－3x取得极小值－2，函数y＝－(x－1)2＋a取得最大值a，只有a>－2时，两条曲线才有交点.综上，a的取值范围是(－2，1). 方法二　将两条曲线的函数表达式作差得f(x)＝x3＋x2－5x＋1－a，则当x>0时，两条曲线有两个交点，等价条件是当x>0时，函数f(x)有两个零点.f′(x)＝3x2＋2x－5，令f′(x)＝0得x＝－或x＝1，x＝1是函数f(x)的极小值点.当x>0时函数f(x)有两个零点的充要条件是f(0)>0且f(1)<0.据此得1－a>0且－2－a<0.所以a的取值范围是(－2，1). 微专题系列之数学探究——“隐零点”问题的探究 [对应学生用书P74] 对于函数的零点个数及所在区间问题，最重要的是寻找合理且有效的点a与点b，使得f(a)f(b)<0. 【例】 求函数g(x)＝a ln x＋－a－2的零点个数. [思维过程] 明确目标→求函数的零点个数. 提取信息→已知函数的解析式 g(x)＝a ln x＋－a－2. 建立联系→根据函数解析式，利用零点存在定理判断零点个数. 思路导引→对g(x)求导， 可得g′(x)＝－＝(x＞0). (1)当a≤0时，g′(x)＜0， 函数y＝g(x)在(0，＋∞)上单调递减， y＝g(x)至多只有一个零点. 猜测函数只有一个零点. 因为g(1)＝a ln 1＋－a－2＝－a≥0. g(e)＝a ln e＋－a－2＝－2<0， g(1)·g(e)≤0， 所以g(x)在[1，e)内有零点， 所以g(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点. (2)当a＞0时， 由g′(x)＝0可得x＝， 所以当x∈(0，)时， g′(x)＜0， 当x∈(，＋∞)时， g′(x)＞0， 即g(x)在(0，)上单调递减， 在(，＋∞)上单调递增. 所以g(x)min＝g()＝a ln ＋－a－2＝ a ln －2＝a(ln －)， 由ln x≤x－1＜x，可得g()＜0. 猜测函数有两个零点，只需找到m和n，使得0＜m＜＜n， 且g(m)＞0，g(n)＞0. 由g(x)＝a ln x＋－a－2， 令a ln x－a－2＝0， 则x＝e， 由ex≥x＋1，可得e≥＋1＞， 故取n＝e，则g(n)＝>0. 令x＝， 则g()＝a ln ＋a2＝ a(a－ln ). 下面证明a－ln ＞0. 令h(x)＝x－ln (x＞0)， 对h(x)求导，可得 h′(x)＝1－＝＞0， 故h(x)在区间(0，＋∞)上单调递增. 所以h(x)＞h(0)＝0，结论成立. 由<， 故取m＝，则g(m)>0. 所以g(x)在(0，＋∞)上有两个零点. 综上可知，当a≤0时，函数g(x)有且仅有一个零点； 当a>0时，函数g(x)有两个零点. 判断零点所在区间的方法 (1)直接取点：在处理一些相对简单的问题时，考虑采取特殊值，如1，0，e，等来进行判断，也可以尝试取一些与参数相关的特殊值来进行判断. (2)放缩取点：通过对给定的函数表达式进行放缩，再取特殊点来进行判断.放缩的手段常有：利用常见的不等式；对表达式的一部分进行放大或缩小；在某种限制条件下放缩等. (3)调整取点：先取一个值进行判断，如果可行则万事皆休；如果不可行，则可在这个值上作出一些调整再去判断，如此下去，总能找到一个可行的值. 【练】 已知函数f(x)＝ln x－x2＋ax，a∈R. (1)证明：ln x≤x－1； (2)若a≥1，讨论函数f(x)的零点个数. (1)证明：令g(x)＝ln x－x＋1(x>0)，则g′(x)＝－1＝， 当x∈(0，1)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减. ∴当x＝1时，函数g(x)取得极大值即最大值， ∴g(x)≤g(1)＝0，即ln x≤x－1. (2)解：根据题意，f′(x)＝－2x＋a＝，x>0. 令－2x2＋ax＋1＝0，解得x＝(负值舍去). 设x0＝， 在(0，x0)上，f′(x)>0，函数f(x)单调递增； 在(x0，＋∞)上，f′(x)<0，函数f(x)单调递减， ∴f(x)max＝f(x0). 当a＝1时，x0＝1，f(x)max＝f(1)＝0， 此时函数f(x)只有一个零点1. 当a>1时，x0＝>1，f(1)＝a－1>0， f()＝ln －＋<－1－＋＝ －(－1)2－<0， f(2a)＝ln 2a－2a2<2a－1－2a2＝－2(a－)2－<0. ∴函数f(x)在区间(，1)和区间(1，2a)上各有一个零点. 综上可得，当a＝1时，函数f(x)只有一个零点；当a>1时，函数f(x)有两个零点. [课时作业(十九)见P349] 学科网（北京）股份有限公司 $$