第3章 第3节 导数与函数的极值、最值（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第3节　导数与函数的极值、最值 课标解读 1.掌握函数极值、最值的概念. 2.掌握求解函数的极值、最值的解题步骤. 3.能够求解关于函数极值、最值的综合问题. [对应学生用书P62] 1.函数的极值 (1)函数的极大值 若函数y＝f(x)在区间(a，x0)内单调递增，在区间(x0，b)内单调递减，则x0是极大值点，f(x0)是极大值. (2)函数的极小值 若函数y＝f(x)在区间(a，x0)内单调递减，在区间(x0，b)内单调递增，则x0是极小值点，f(x0)是极小值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. (1)函数的极大值和极小值都可能有多个，极大值和极小值的大小关系不确定. (2)对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件. 2.函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的极大值不一定比极小值大.(　　√　　) (2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件.(　　×　　) (3)函数的极大值一定是函数的最大值.(　　×　　) (4)开区间上的单调连续函数无最值.(　　√　　) 2.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 A　解析：由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正.观察图象可知，其他点不存在极小值. 3.函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是 . 答案：(－∞，－)∪(，＋∞)　解析：f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点， ∴Δ＝(2a)2－4×3×2＞0， 解得a＞或a＜－. 4.若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，m的值为 . 答案：4 [对应学生用书P63] 考点 利用导数求函数的极值问题(多维贯通) 考向1　根据函数的图象判断极值 【例1】 (多选)(2025·重庆检测)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则(　　) A.－3是函数y＝f(x)的极值点 B.－1是函数y＝f(x)的极小值点 C.y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增 D.－2是函数y＝f(x)的极大值点 AC　解析：根据导函数的图象可知，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)<0，当x∈(－3，－1)时，f′(x)>0，所以函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，－1)上单调递增，可知－3是函数y＝f(x)的极值点，所以A正确. 因为函数y＝f(x)在(－3，1)上单调递增，可知－1不是函数y＝f(x)的极小值点，－2也不是函数y＝f(x)的极大值点，所以B错误，C正确，D错误. 根据函数的图象判断极值的方法 根据已知条件，分情况确定导数为0的点，及在导数为0点处左右两侧导数的正负，从而确定极值类型. 【练1】 (2025·江苏苏州新草桥中学月考)已知函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，导函数y＝f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数y＝f(x)在(a，b)内的极小值有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A　解析：因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，由题图得，导函数值先负后正的点有1个.所以函数f(x)在区间(a，b)内极小值点的个数是1. 【练2】 (多选)(2025·无锡模拟)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是(　　) A.f(a)＞f(e)＞f(d) B.函数f(x)在[a，b]上单调递增，在[b，d]上单调递减 C.函数f(x)的极值点为c，e D.函数f(x)的极大值为f(b) ABD　解析：由题图可知，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0， 当x∈(c，e)时，f′(x)<0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，c)上单调递增，在(c，e)上单调递减，在(e，＋∞)上递增， 对A，f(d)＞f(e)，故A错误； 对B，函数f(x)在[a，b]上单调递增，在[b，c]上单调递增，在[c，d]上单调递减，故B错误； 对C，函数f(x)的极值点为c，e，故C正确； 对D，函数f(x)的极大值为f(c)，故D错误. 考向2　求已知函数的极值 【例2】 (2024·淮北模拟)已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数). (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； (2)求函数f(x)的极值. 解：(1)因为f(x)＝x－1＋， 所以f′(x)＝1－， 又因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝0， 即1－＝0，所以a＝e. (2)由(1)知f′(x)＝1－， 当a≤0时，f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增， 因此f(x)无极大值与极小值； 当a>0时，令f′(x)>0，得x>ln a， 令f′(x)<0，得x<ln a， 所以f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln a)上单调递减， 故f(x)在x＝ln a处取得极小值， 且f(ln a)＝ln a，无极大值， 综上，当a≤0时，f(x)无极大值与极小值； 当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值. 求函数f(x)极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号. 【练3】 已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). (1)当a＝时，求f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 解：(1)当a＝时，f(x)＝ln x－x， 定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝－＝. 令f′(x)＝0，解得x＝2. 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表. x (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) ↗ ln 2－1 ↘ 故f(x)在定义域上的极大值为f(2)＝ln 2－1，无极小值. (2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－a＝. 若a≤0，则f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， 即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 此时函数f(x)在定义域上无极值点； 若a>0，当x∈(0，)时，f′(x)>0，当x∈(，＋∞)时，f′(x)<0， 故函数f(x)在x＝处有极大值. 综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点；当a>0时，函数f(x)有一个极大值点，为x＝. 考向3　由函数的极值求参数问题 【例3】 (2024·莆田期中)已知函数f(x)＝ex－x2－kx－1有两个极值点，则k的取值范围是 . 思维 导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学抽象等学科素养 思路点拨 求导，可知f′(x)＝ex－x－k＝0有两根，即k＝ex－x有两解，令函数g(x)＝ex－x，然后分析函数g(x)＝ex－x的单调性及最值，确定k的取值范围 答案：(1，＋∞)　解析：因为f(x)＝ex－x2－kx－1， 则f′(x)＝ex－x－k， 若函数f(x)＝ex－x2－kx－1有两个极值点， 则f′(x)＝0有两根，故只需满足k＝ex－x有两解， 令g(x)＝ex－x，则g′(x)＝ex－1， 当x∈(－∞，0)时，g′(x)＜0， 则g(x)在(－∞，0)上单调递减； 当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0， 则g(x)在(0，＋∞)上单调递增； 所以gmin(x)＝g(0)＝1，故只需k＞1. 已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 【练4】 (2025·南京模拟)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)在区间(0，＋∞)上有两个极值，则实数a的取值范围为(　　) A.(0，e) B.(0，) C.(0，) D.(0，) C　解析：易知f′(x)＝ln x－ax＋x＝ln x＋1－2ax. 由题意知ln x＋1－2ax＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实根，且2a＝， 设g(x)＝， 则g′(x)＝＝－. 当0<x<1时，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 所以g(x)的极大值为g(1)＝1， 又当x>1时，g(x)>0， 当x→＋∞时，g(x)→0， 当x→0时，g(x)→－∞， 所以0<2a<1，即0<a<. 考点 求函数的最值问题(讲练融通) 【例4】 已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数. (1)当a＝－1时，求f(x)的最大值； (2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值. 思维 导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算等学科素养 思路点拨 (1)求导，令导数为0，求出极值点，判断导数的正负确定函数的最大值； (2)求导，在讨论a与－的大小中求a的值 解：(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x， f′(x)＝－1＋＝，令f′(x)＝0，得x＝1. 当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0. ∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. ∴f(x)max＝f(1)＝－1. ∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈). ①若a≥－，则f′(x)≥0， 从而f(x)在(0，e]上单调递增， ∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不合题意. ②若a<－，令f′(x)>0，即a＋>0， 结合x∈(0，e]，解得0<x<－； 令f′(x)<0，即a＋<0， 结合x∈(0，e]，解得－<x≤e. 从而f(x)在(0，－)上单调递增， 在(上单调递减， ∴f(x)max＝f(－)＝－1＋ln (－). 令－1＋ln (－)＝－3，得ln (－)＝－2，即a＝－e2. ∵－e2<－，∴a＝－e2即为所求. 故实数a的值为－e2. 求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数在区间(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； (3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 【练5】 (2024·上海卷)已知定义在R上的函数f(x)，集合M＝{x0|对于任意x∈(－∞，x0)，f(x)<f(x0)}，在使得M＝[－1，1]的所有f(x)中，下列说法成立的是(　　) A.存在f(x)是偶函数 B.存在f(x)在x＝2处取到最大值 C.存在f(x)在R上单调递增 D.存在f(x)在x＝－1处取到极小值 B　解析：对于A，因为M＝[－1，1]，所以f(x)<f(1)在(－∞，1)上恒成立，此时f(－1)<f(1)与f(x)是偶函数矛盾，故A错误；对于B，不妨取f(x)＝，满足f(x)在x＝2处取到最大值，故B正确；对于C，若存在f(x)在R上单调递增，则对任意x0∈R，当x<x0时都有f(x)<f(x0)，则此时M＝R，与M＝[－1，1]矛盾，故C错误；对于D，若存在f(x)在x＝－1处取到极小值，则存在一个δ>0，对于任意x满足0<|x＋1|<δ，都有f(－1)<f(x)，－1－∈(－1－δ，－1)，而由－1∈M以及M的含义知f(－1－)<f(－1)，与f(－1)<f(x)对于任意x满足0<|x＋1|<δ矛盾，故D错误.故选B. 【练6】 (2024·朝阳一模)已知n个大于2的实数x1，x2，…，xn，对任意xi(i＝1，2，…，n)，存在yi≥2满足yi<xi，且，则使得x1＋x2＋…＋xn－1≤15xn成立的最大正整数n为(　　) A.14 B.16 C.21 D.23 D　解析：由，且yi≥2，xi>2，得yi ln xi＝xi ln yi，即＝， 令f(x)＝(x≥2)，f′(x)＝，故当x∈[2，e)时，f′(x)>0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0， 即f(x)在[2，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，由＝，即f(xi)＝f(yi)，得xi>e，2≤yi<e. 又f(2)＝＝＝f(4)，故xi≤4，即e＜xi≤4，若x1＋x2＋…＋xn－1≤15xn， 则有15≥≥，即n≤＋1，由e≈2.72，得＋1≈22.06＋1＝23.06， 故最大正整数n为23.故选D. [课时作业(十六)见P341] 学科网（北京）股份有限公司 $$