第3章 第1节 导数的概念与运算（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第三章　导数及其应用 第1节　导数的概念与运算 课标解读 1.理解导数的概念及几何意义. 2.掌握导数的运算. 3.会使用导数公式求解导数. [对应学生用书P52] 1.导数的概念 (1)函数y＝f(x)在点x0处的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝ ＝ . (2)函数y＝f(x)的导函数 f′(x)＝ . 2.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，函数y＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义. 3.基本初等函数的导数公式 函数 导数 y＝c(c是常数) y′＝0 y＝xα(α是实数) y′＝αxα-1 y＝ax(a>0，a≠1) y′＝ax ln a 特别地(ex)′＝ex y＝logax(a>0，a≠1) y′＝ 特别地(ln x)′＝ y＝sin x y′＝cos x y＝cos x y′＝－sin x y＝tan x y′＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； []′＝(g(x)≠0)； [kf(x)]′＝kf′(x)，k∈R. 5.复合函数的导数 复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)，其中u＝φ(x). 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同.(　　×　　) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0).(　　×　　) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(　　√　　) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(　　×　　) (5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x.(　　×　　) 2.(多选)下列导数的运算中正确的是(　　) A.(3x)′＝3x ln 3 B.(x2ln x)′＝2x ln x＋x C.()′＝ D.(sin x cos x)′＝cos 2x ABD　解析：因为′＝，所以C项错误，其余都正确. 3.如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　) 答案：D 4.曲线y＝x2＋在点(1，4)处的切线方程为 . 答案：x＋y－5＝0 5.已知函数f(x)满足f(x)＝f′()sin x－cos x，则f′()＝ . 答案：＋1 6.已知函数f(x)＝(bx－1)ex＋a(a，b∈R).若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x，则a，b的值分别为a＝ ，b＝ . 答案：1　2　解析：由f(x)＝(bx－1)ex＋a得f′(x)＝ex(bx＋b－1)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x. f′(0)＝1，f(0)＝0，即b－1＝1，－1＋a＝0， 解得a＝1，b＝2. [对应学生用书P53] 考点 导数的计算(自主练通) 1.已知f(x)＝cos 2x＋e2x，则f′(x)＝(　　) A.－2sin 2x＋2e2x B.sin 2x＋e2x C.2sin 2x＋2e2x D.－sin 2x＋e2x A　解析：f′(x)＝－2sin 2x＋2e2x，故选A. 2.设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝ . 答案：1　解析：f′(x)＝，则f′(1)＝＝，解得a＝1. 3.已知f(x)＝sin (1－2cos2)，则f′(x)＝ . 答案：－cosx　解析：因为 f(x)＝sin (－cos )＝－sin x， 所以f′(x)＝(－sin x)′＝－(sin x)′＝－cos x. (1)求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导. (2)导数计算的常见形式及求导方法 连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导 三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式，再 导 对数形式 先化为和、差形式，再求导 复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 考点 导数的几何意义(多维贯通) 考向1　求曲线的切线方程 【例1】 曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为 . 答案：5x－y＋2＝0　解析：因为y＝， 所以y′＝＝. 当x＝－1时，y＝－3，y′＝5， 所以所求切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0. 求曲线过点P的切线方程的方法 (1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0). (2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))； 第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)·(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程. 【练1】 已知函数f(x)是偶函数，当x＜0时，f(x)＝－x ln (－x)＋1，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为(　　) A.y＝－x B.y＝－x＋2 C.y＝x D.y＝x－2 C　解析：令－x＜0，则f(－x)＝x ln x＋1， 由f(x)是偶函数可知f(－x)＝f(x)， 所以，当x＞0时，f(x)＝x ln x＋1，f(1)＝1. f′(x)＝ln x＋1，f′(1)＝1， 利用直线的点斜式方程，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－1＝x－1，即y＝x. 【练2】 (2024·长沙三模)斜率为1的直线l与曲线y＝ln (x＋a)和圆x2＋y2＝都相切，则实数a的值为(　　) A.0或2 B.－2或2 C.－1或0 D.0或1 A　解析：依题意得，设直线l的方程为y＝x＋b，即x－y＋b＝0. 由直线和圆x2＋y2＝相切可得，＝，解得b＝±1， 当b＝1时，y＝x＋1和y＝ln (x＋a)相切，y′＝，设切点为(m，n)，根据导数的几何意义，可得＝1， 又切点同时在直线和曲线上，即解得即b＝1时，a＝2； 当b＝－1时，y＝x－1和y＝ln (x＋a)相切，y′＝，设切点为(s，t)，根据导数的几何意义，可得＝1， 又切点同时在直线和曲线上，即解得即b＝－1时，a＝0. 综上所述，a＝2或a＝0.故选A. 考向2　求切点坐标 【例2】 过坐标原点作曲线y＝ln x的切线，则切点的纵坐标为(　　) A.e B.1 C. D. B　解析：设切点P(x0，ln x0)(x0＞0)， 由y＝ln x，得y′＝，所以y′|x＝x0＝， ∴曲线在点P处的切线l方程为y－ln x0＝(x－x0)， 又l过点(0，0)，∴－ln x0＝(－x0)，解得x0＝e， ∴切点P(e，1)，纵坐标为1. 求切点坐标的思路 已知切线方程(或斜率)求切点坐标的一般思路是，先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标.将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标. 【练3】 (2024·朝阳一模)已知函数f(x)＝sin 2x.若曲线y＝f(x)在点A(x1，f(x1))处的切线与其在点B(x2，f(x2))处的切线相互垂直，则x1－x2的一个取值为 . 答案：－(答案不唯一)　解析：f(x)＝sin 2x，则f′(x)＝cos 2x， 曲线y＝f(x)在点A(x1，f(x1))处的切线的斜率k1＝cos 2x1， 曲线y＝f(x)在点B(x2，f(x2))处的切线的斜率k2＝cos 2x2. 由题意可知，k1·k2＝－1，则cos 2x1·cos 2x2＝－1，不妨取x1＝0，x2＝，满足上式， 故x1－x2的一个取值为－(答案不唯一). 考向3　求参数问题 【例3】 (1)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，－2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞) D.(0，＋∞) (2)(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝ . (1)B　(2)ln 2　解析：(1)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解，所以f′(x)＝＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－.因为x>0，所以2－<2，所以a的取值范围是(－∞，2). (2)由题，令f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，所以f′(0)＝2，所以曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.令g(x)＝ln (x＋1)＋a，则g′(x)＝，设直线y＝2x＋1与曲线y＝g(x)相切于点(x0，y0)，则＝2，得x0＝－，则y0＝2x0＋1＝0，所以0＝ln (－＋1)＋a，所以a＝ln 2. 1.利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围. 2.求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上. 【练4】 已知k<0，直线y＝k(x－2)与曲线y＝x－2ln x相切，则k＝(　　) A.－ B.－1 C.－2 D.－e B　解析：因为直线y＝k与曲线y＝x－2ln x相切，所以设切点为，又y′＝1－，则k＝＝1－，因为k<0，所以0<x0<2，则切线方程为y－x0＋2ln x0＝，因为过点，代入可得2x0－2－x0ln x0＝0. 令f(x)＝2x－2－x ln x，则f′(x)＝1－ln x>0在上恒成立，所以f(x)在上单调递增，且f(1)＝0，所以切点为(1，1)，则k＝1－＝－1.故选 B. 考向4　两条曲线的公切线问题 【例4】 已知曲线f(x)＝x3＋ax＋在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为 . 答案：－e－　解析：由f(x)＝x3＋ax＋，得f′(x)＝3x2＋a. ∵f′(0)＝a，f(0)＝， ∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－＝ax. 设直线y－＝ax与曲线g(x)＝－ln x相切于点(x0，－ln x0)，g′(x)＝－， ∴ 将②代入①得ln x0＝， ∴x0＝e，∴a＝－＝－e－. 解决两条曲线公切线问题的两种方法 (1)是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解； (2)是设公切线l在y＝f(x)上的切点为P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点为P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝. 【练5】 已知函数f(x)＝x ln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，若经过点A(0，－1) 存在一条直线l与f(x)图象和g(x)图象都相切，则a＝(　　) A.0 B.－1 C.3 D.－1或3 D　解析：设直线l与f(x)＝x ln x相切的切点为(m，m ln m)， 由f(x)＝x ln x的导数为f′(x)＝1＋ln x， 可得切线的斜率为1＋ln m， 则切线的方程为y－m ln m＝(1＋ln m)(x－m)， 将A(0，－1)代入切线的方程可得， －1－m ln m＝(1＋ln m)(0－m)， 解得m＝1，则切线l的方程为y＝x－1， 联立可得x2＋(a－1)x＋1＝0， 由Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3. 微专题系列之数学探究——导数运算的创新题型 [对应学生用书P55] 导数及其运算与新定义运算法则、新定义周期性相交汇形成各类考试的亮点，下面结合例题进行说明. 类型1　新定义问题 【例1】 对于函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，定义：设f′(x)是f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”.经过探究发现，任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是对称中心.设函数g(x)＝x3－x2＋3x－，则g()＋g()＋…＋g()的值为(　　) A.2 023 B.2 024 C.2 025 D.2 026 [思维过程] 明确目标→求函数值的和. 提取信息→函数“拐点”的定义及探究发现的结论. 建立联系→根据条件任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是对称中心， 得到结论g(1－x)＋g(x)＝2， 根据此结论求解函数值的和. 思路导引→依题意得g′(x)＝x2－x＋3，g″(x)＝2x－1， 令g″(x)＝2x－1＝0，可得x＝，而g()＝1， 所以函数g(x)的图象关于点(，1)对称，即g(1－x)＋g(x)＝2. 故g()＋g()＋…＋g()＝[g()＋g()]＋[g()＋g()]＋…＋g()＝2×＋1＝2 025. 答案：C 　　此类题侧重考查对新定义信息的理解能力，需要读懂定义，明确函数的性质，进而利用其解题. 【练1】 (多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是(　　) A.f(x)＝x2 B.f(x)＝e－x C.f(x)＝ln x D.f(x)＝tan x AC　解析：若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，令ln x＝，在同一平面直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝的图象(图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝tan x，则f′(x)＝，令tanx＝，化简得sinx cos x＝1，变形可得sin 2x＝2，此方程无解，故D不符合要求.故选AC. 类型2　新定义周期性交汇问题 【例2】 设函数fn′(x)是fn(x)的导函数，f0(x)＝ex(cos x＋sin x)，f1(x)＝，f2(x)＝，…，fn＋1(x)＝(n∈N*)，则f2 028(x)等于(　　) A.ex(cos x＋sin x) B.ex(cos x－sin x) C.－ex(cos x＋sin x) D.－ex(cos x－sin x) [思维过程] 明确目标→求f2 020(x)的值. 提取信息→已知f0(x)，f1(x)，f2(x)，…，fn＋1(x)的表达形式. 建立联系→通过计算f1(x)，f2(x)，…，f8(x)的值， 归纳总结出函数fn(x)取值的周期性， 利用周期性求f2 028(x)的值. 思路导引→根据题意f0(x)＝ex(cos x＋sin x)， f0′(x)＝ex(cos x＋sin x)＋ex(－sin x＋cos x)＝2ex cos x， 则f1(x)＝＝ex cos x， f1′(x)＝ex(cos x－sin x)， f2(x)＝＝ex(cos x－sin x)， f2′(x)＝－2ex sin x， f3(x)＝＝－ex sin x， f3′(x)＝－ex(cos x＋sin x)， f4(x)＝＝－ex(cos x＋sin x)， f4′(x)＝－2ex cos x， f5(x)＝＝－ex cos x， f5′(x)＝－ex(cos x－sin x)， f6(x)＝＝－ex(cos x－sin x)， f6′(x)＝2ex sin x， f7(x)＝＝ex sin x， f7′(x)＝ex(cos x＋sin x)， f8(x)＝＝ex(cos x＋sin x)， f8′(x)＝2ex cos x， f9(x)＝＝ex cos x＝f1(x)，…， 所以fn(x)的解析式以8为周期，呈周期性变化， 所以f2 028(x)＝f4(x)＝－ex(cos x＋sin x). 答案：C 　　在探究过程中归纳推理，对前几项进行研究，归纳出规律——周期，从而解决问题. 【练2】 已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，则f2 026(x)＝(　　) A.－sin x－cos x B.sin x－cos x C.－sin x＋cos x D.sin x＋cos x C　解析：∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f′1(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝f′2(x)＝－sin x－cos x，f4(x)＝f′3(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝f′4(x)＝sin x＋cos x＝f1(x)，∴fn(x)是以4为周期的函数.∵2 026＝4×506＋2，∴f2 026(x)＝f2(x)＝cos x－sin x.故选C. [课时作业(十四)见P334] 学科网（北京）股份有限公司 $$