第2章 第9节 函数模型及其应用（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第9节　函数模型及其应用 课标解读 1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义. 2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用. [对应学生用书P46] 1.指数、对数、幂函数模型性质比较 性质 函数 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.(　　×　　) (2)某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每件还能获利.(　　×　　) (3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)和y＝logax(a>1)的增长速度.(　　√　　) (4)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.(　　×　　) 2.在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 －0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A.y＝2x B.y＝x2－1 C.y＝2x－2 D.y＝log2x D　解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意. 3.设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　) 答案：D 4.(多选)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2022年1月至2024年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图. 根据该折线图，下列结论正确的是(　　) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 BCD　解析：由题图可知，2022年8月到9月的月接待游客量在减少，则A错误.其余选项全部正确. 5.某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为(　　) A.3.75元/瓶 B.7.5元/瓶 C.12元/瓶 D.6元/瓶 D　解析：设每瓶销售价定为x元，利润为y元，则y＝(x－3)·＝80(x－3)·(9－x)＝－80(x－6)2＋720(x≥3)，所以当x＝6时，y取得最大值. 6.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少要经过 个“半衰期”. 答案：10　解析：设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为， 由<，得n≥10. 所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”. [对应学生用书P47] 考点 用函数图象刻画变化过程(自主练通) 1.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一个排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　) B　解析：水匀速流出，所以鱼缸水深h先降低快，中间降低缓慢，最后降低速度又越来越快. 2.(2024·连云港模拟)某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整理了2024年1月至2024年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：千米)的数据.绘制了下面的折线图. 根据折线图，下列结论正确的是(　　) A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程数 B.月跑步平均里程逐月增加 C.月跑步平均里程高峰期大致在8月和9月 D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 D　解析：由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的平均里程数，A错误；月跑步平均里程不是逐月增加的，B错误；月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月，C错误，故选D. 3.为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t(单位：年)与树高y(单位：米)之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝t＋a；④y＝＋a中(其中a为正的常数)，生长年数与树高的关系拟合最好的是 (填写序号)，估计该树生长8年后的树高为 米. 答案：②　　解析：由散点图的走势，知模型①不合适. 由曲线过点，易得后三个模型的解析式分别为②y＝＋log2t；③y＝t＋；④y＝＋，当t＝1时，代入②，③，④中，易知拟合最好的是②.将t＝8代入②式，得y＝＋log28＝(米). 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象. (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况. 考点 已知函数模型的实际问题(讲练融能) 【例1】 随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)＝ 由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润W(x)万元关于年产量x台的函数解析式(利润＝销售收入－成本)； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)由题意可得，当0<x≤40时， W(x)＝200x－(2x2＋80x)－300＝－2x2＋120x－300； 当40<x≤100时，W(x)＝200x－(201x＋－2 100)－300＝－＋1 800， 所以W(x)＝ (2)若0<x≤40，W(x)＝－2(x－30)2＋1 500， 所以当x＝30时，W(x)max＝1 500(万元). 若40<x≤100， W(x)＝－＋1 800≤－2＋1 800＝－120＋1 800＝1 680(万元)， 当且仅当x＝，即x＝60时，W(x)max＝1 680万元. 因为1 680>1 500，所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1 680万元. 1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数； (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. 2.利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验. 【练1】 我们检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是小数记录与五分记录，如图所示(已隐去数据)，其部分数据如下表： 小数 记录x 0.1 0.12 0.15 0.2 … ？ … 1.0 1.2 1.5 2.0 五分 记录y 4.0 4.1 4.2 4.3 … 4.7 … 5.0 5.1 5.2 5.3 现有如下函数模型：①y＝5＋lg x，②y＝5＋lg ，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他视力为4.7，则小明同学的小数记录数据约为(参考数据：10-0.3≈0.5，5-0.22≈0.7，10-0.1≈0.8)(　　) A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.8 B　解析：由题中数据可知，当x＝1时，y＝5，两个函数模型都符合； 当x＝0.1时，由y＝5＋lg x，得y＝5＋lg 0.1＝4，与表中的数据符合，而y＝5＋lg ＝5.1，与表中的数据不符，所以选择模型y＝5＋lg x更合适， 此时令y＝4.7，则lg x＝－0.3，所以x＝10-0.3≈0.5. 考点 构造函数模型的实际问题(讲练融通) 【例2】 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为(30－R)万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是(　　) A.[4，8] B.[6，10] C.[4%，8%] D.[6%，10%] A　解析：根据题意，要使附加税不少于128万元，需×160×R%≥128， 整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8]. (1)在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤： ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型. ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. ③解模：求解函数模型，得出数学结论. ④还原：将数学结论还原为实际意义的问题. (2)通过对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识和方法构建函数模型解决问题，提升数学建模核心素养. 【练2】 (多选)已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lg nA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数.现有以下几种说法，其中正确的是(参考数据：lg 2≈0.3)(　　) A.PA≥1 B.PA≤10 C.若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10 D.假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5<PA<5.5 BD　解析：当nA＝1时，PA＝0，故A错误； 又nA·nB＝1010且nA，nB∈N*， ∴nA≤1010，∴PA≤lg 1010＝10，故B正确； 若PA＝1，则nA＝10；若PA＝2， 则nA＝100，故C错误； 设B菌的个数为nB＝5×104， ∴nA＝＝2×105， 则PA＝lg nA＝5＋lg 2. 又lg 2≈0.3，∴5<PA<5.5，D正确. 【练3】 (2024·滨州模拟)某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160 cm及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190 cm及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法、合理的成年男子高个子系数k关于身高x(单位：cm)的函数关系式为 . 答案：k＝(只要写出的函数满足在区间[160，190]上单调递增，且过点(160，0)和(190，1)即可.答案不唯一) 解析：由题意知函数k(x)在[160，190]上单调递增， 设k(x)＝ax＋b(a>0)，x∈[160，190]， 由解得 所以k(x)＝x－， 所以k＝ 微专题系列之数学探究——嵌套函数的零点问题 [对应学生用书P50] 对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解. 类型1　嵌套函数零点个数的判断 【例1】 已知f(x)＝则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是 . [思维过程] 明确目标→求嵌套函数零点的个数. 提取信息→所给函数f(x)为分段函数且函数y为嵌套函数. 建立联系→令y＝0直接解方程求出f(x)的值，并作出其图象以及函数y＝1和y＝的图象，分析图象求解. 思路导引→由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1.作出函数y＝f(x)的图象如图所示. 由图象知直线y＝与y＝f(x)的图象有2个交点， 直线y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点. 因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个. 答案：5 　　将条件分拆几个函数并准确画出相关函数的图象，数形结合是解决嵌套函数零点的常用方法. 【练1】 已知函数f(x)＝求函数F(x)＝f[f(x)]－2f(x)－的零点个数. 解：令f(x)＝t，则函数F(x)可化为y＝f(t)－2t－，则函数F(x)的零点问题可转化为方程f(t)－2t－＝0的根的问题.令f(t)－2t－＝0，则f(t)＝2t＋.分别作出y＝f(t)和y＝2t＋的图象，如图①，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2(不妨设t1<t2)，则t1＝0，1<t2<2； 图① 图② 由图②，结合图象，当f(x)＝0时，有一解，即x＝2； 当f(x)＝t2时，结合图象，有3个解. 所以F(x)＝f[f(x)]－2f(x)－共有4个零点. 类型2　求嵌套函数零点中的参数 【例2】 已知函数f(x)＝－x2－2x， g(x)＝ (1)则g(f(1))＝ ； (2)若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是 . [思维过程] 明确目标→求复合函数值和已知方程解的个数求参数取值范围. 提取信息→二次函数f(x)和分段函数g(x). 建立联系→(1)直接代入求值； (2)换元令f(x)＝t，将问题转化为函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象交点个数问题求解. 思路导引→(1)利用解析式直接求解得g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2. (2)令f(x)＝t， 则原方程化为g(t)＝a， 易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2个不同的解， 则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同的交点， 作出函数y＝g(t)(t＜1)的图象如图， 由图象可知， 当1≤a＜时， 函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a有2个不同的交点， 即所求a的取值范围是[1，). 答案：(1)－2　(2)[1，) 　　破解与复合函数零点个数有关的问题的关键：一是注意观察图象，即认真观察两个函数的图象特征；二是将外层函数的定义域和内层函数的值域准确对接. 【练2】 (2024·葫芦岛二模)已知函数f(x)＝|ex－1|，g(x)＝f2(x)－tf(x)(t∈R)，若关于x的方程g(x)＝3－t2有三个不同实数根，则实数t的取值范围是(　　) A.(－2，2) B.(，2) C.(－2，－) D.(2，＋∞) B　解析：如图，作出函数f(x)的图象， 令m＝f(x)，由图可知，当m∈(0，1)时，关于x的方程m＝f(x)有2个不同的实数根. 当m＝0或m∈[1，＋∞)时，关于x的方程t＝f(x)只有1个实数根，因为关于x的方程g(x)＝3－t2有三个不同实数根，所以关于m的方程m2－tm＋t2－3＝0的一个根在(0，1)上，另一个根在[1，＋∞)上， 或方程的两个根一个为m＝0，另一个在(0，1)上. 若m＝0为方程m2－tm＋t2－3＝0的根，则t＝±； 当t＝时，方程的另一个根为m＝，不符合题意，当t＝－时，方程的另一个根为m＝－，不符合题意. 若m＝1为方程m2－tm＋t2－3＝0的根，则t＝－1或t＝2， 当t＝－1时，方程的另一个根为m＝－2，不符合题意，当t＝2时，方程只有一个根为m＝1，不符合题意. 若关于m的方程m2－tm＋t2－3＝0的一个根在(0，1)上，另一个在[1，＋∞)上时， 令h(m)＝m2－tm＋t2－3，则 即，解得<t<2， 综上所述，实数t的取值范围是(，2). 故选B. 【练3】 已知函数f(x)＝|4x－3|＋2，若函数g(x)＝[f(x)]2－2mf(x)＋m2－1有4个零点，求m的取值范围. 解：令g(x)＝[f(x)]2－2mf(x)＋m2－1＝0， 即[f(x)－(m＋1)][f(x)－(m－1)]＝0， 解得f(x)＝m－1或f(x)＝m＋1. f(x)的图象如图所示， 要使g(x)＝[f(x)]2－2mf(x)＋m2－1有4个零点，只需解得3＜m＜4. 即m的取值范围是(3，4). [课时作业(十三)见P331] 学科网（北京）股份有限公司 $$