第2章 第8节 函数与方程（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第8节　函数与方程 课标解读 1.了解函数零点与方程解的关系. 2.了解函数零点存在定理. [对应学生用书P43] 1.函数的零点 (1)概念：使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点.f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标. (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 函数的零点的本质是方程f(x)＝0有实数解，因此，函数的零点不是点，而是一个实数.例如函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时，仅有一个实数解x＝－1，所以函数f(x)＝x＋1仅有一个零点－1. 2.函数零点存在定理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)<0，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解. 函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件. 3.二分法 对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续曲线，f(a)·f(b)＜0，则每次取区间中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法. 4.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点个数的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴 的交点 (x1，0)， (x2，0) (x1，0)(或 (x2，0)) 无交点 零点个数 2 1 0 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.(　　×　　) (2)用二分法可求所有函数的零点.(　　×　　) (3)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用.(　　√　　) 2.(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) －4 －2 1 4 2 －1 －3 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　) A.(1，2) B.(2，3) C.(5，6) D.(5，7) BCD　解析：由所给的函数值表知，f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0， f(5)f(7)<0，∴f(x)在区间(2，3)，(5，6)，(5，7)内各至少有一个零点. 3.设f(x)在区间[a，b]上是连续的单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内(　　) A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根 D.必有唯一实根 答案：D 4.函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 B　解析：由2sin x－sin 2x＝0， 得sin x＝0或cos x＝1. 又x∈[0，2π]，由sin x＝0，得x＝0，π，2π. 由cos x＝1，得x＝0，2π. ∴f(x)＝0有三个实根0，π，2π，即f(x)在[0，2π]上有三个零点. 5.若函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1，1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是 . 答案：∪(－，)　 6.函数f(x)＝x·2x－kx－2在区间(1，2)内有零点，则实数k的取值范围是 . 答案：(0，3)　解析：令f(x)＝0，∴x·2x－kx－2＝0，即k＝2x－， 即y＝k与φ(x)＝2x－，x∈(1，2)的图象有交点. 又φ(x)＝2x－在(1，2)上单调递增， 且φ(1)＝0，φ(2)＝3. 所以0＜k＜3. [对应学生用书P44] 考点 函数零点所在区间的判定(自主练通) 1.(多选)函数f(x)＝ex－x－2必有零点的区间为(　　) A.(－2，－1) B.(－1，0) C.(0，1) D.(1，2) AD　解析：f(－2)＝>0，f(－1)＝－1<0， f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0， f(2)＝e2－4>0， 因为f(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0， 所以f(x)在(－2，－1)和(1，2)内存在零点. 2.设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　　) A.在区间(，1)，(1，e)内均有零点 B.在区间(，1)，(1，e)内均无零点 C.在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点 D.在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点 D　解析：当x∈(，e)时，函数图象连续不断， 且f′(x)＝－＝<0， 所以函数f(x)在(，e)上单调递减. 又f()＝＋1>0，f(1)＝>0， f(e)＝e－1<0，所以函数f(x)有唯一的零点在区间(1，e)内. 3.(2025·湖北武昌实验中学月考)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A.(a，b)和(b，c)内 B.(－∞，a)和(a，b)内 C.(b，c)和(c，＋∞)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)内 A　解析：∵a<b<c， ∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0， f(b)＝(b－c)(b－a)<0， f(c)＝(c－a)(c－b)>0， 又曲线y＝f(x)是连续不断的，∴由函数零点存在定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在一个零点；又函数f(x)是二次函数，∴最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内. 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点. (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 4.(2024·温州三模)已知函数f(x)＝则关于x的方程f(x)＝ax＋2的根的个数不可能是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 C　解析：作出函数y＝f(x)的图象，如图所示， 将原问题转化为直线y＝ax＋2(过定点(0，2))与函数y＝f(x)的图象交点的个数问题， 由图可知，当a＝0时，直线y＝2与函数y＝f(x)的图象只有一个交点； 当a<0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象没有交点； 当a>0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象有三个交点； 所以直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象不可能有两个交点. 故选C. 5.(2024·保定三模)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)为偶函数，f(x－1)为奇函数，且当x∈(－1，1]时，f(x)＝|x|.当x∈[0，8]时，函数g(x)＝x与f(x)图象的交点个数为 . 答案：4　解析：因为函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)为偶函数，f(x－1)为奇函数，所以f(1－x)＝f(1＋x)，f(－x－1)＝－f(x－1)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，也关于点(－1，0)对称，所以f(－x)＝f(x＋2)，f(－x)＝－f(x－2)，故有f(x＋2)＝－f(x－2)，则f(x＋4)＝－f(x)，从而f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是周期为8的函数.根据函数的对称性和周期性，可以画出函数f(x)和g(x)＝x在[0，8]上的图象(如图). 由图可知g(x)＝x与f(x)的图象在[0，8]上有4个交点. 函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点.令f(x)＝0，有几个解就有几个零点； (2)零点存在定理.要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数； (3)利用图象交点个数.作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数. 考点 函数零点的应用(多维贯通) 考向1　由函数零点个数求参数问题 【例1】 (2024·衡水模拟预测)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝ax－1有5个不同的实数根，则a的取值范围是(　　) A.(1，＋∞) B.(2，＋∞) C.(1，e) D.(2，2e) A　解析：由题意得ax＝f(x)＋1， 则直线y＝ax与函数h(x)＝f(x)＋1＝的图象有5个交点. 显然，直线y＝ax与h(x)的图象交于点(0，0). 又当x>0时，－x<0，h(－x)＝－x ln x－1＝－h(x)； 当x<0时，－x>0，h(－x)＝－x ln (－x)＋1＝－h(x)； 当x＝0时，h(x)＝0，所以h(x)是奇函数， 则必须且只需令直线y＝ax与曲线y＝x ln x＋1(x>0)有2个交点即可， 所以方程a＝ln x＋有2个实数根. 令t(x)＝ln x＋，则t′(x)＝， 当0<x<1时，t′(x)<0，t(x)单调递减； 当x>1时，t′(x)>0，t(x)单调递增， 所以t(x)≥t(1)＝1. t(x)＝ln x＋＝－ln ，令u＝，则t(u)＝u－ln u， 当x趋近于0时，u＝→＋∞时，t(x)→＋∞； 当x趋近于＋∞时，ln x→＋∞，→0⇒t(x)＝ln x＋→＋∞， 所以a的取值范围为(1，＋∞). 利用函数零点个数求参数的方法 由函数零点个数求参数问题，先对解析式变形，变为关于两个初等函数的方程再在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图象，然后数形结合求解. 【练1】 (2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax.当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点.则a＝(　　) A.－1 B. C.1 D.2 D　解析：由题意可知f(x)＝g(x)，则a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax，即cos x＝a(x2＋1)－1.令h(x)＝cos x－a(x2＋1)＋1.可得h(x)为偶函数，由题意知h(x)在(－1，1)上有唯一零点，所以h(0)＝0，即cos 0－a(0＋1)＋1＝0，得a＝2，故选 D. 考向2　由函数零点所在区间求参数问题 【例2】 已知函数f(x)满足f(x)＝f(3x)，当x∈[1，3)，f(x)＝ln x，若在区间[1，9)内，函数g(x)＝f(x)－ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是(　　) A.(，) B.(，) C.(，) D.(，) 思维 导引 学科素养 本题主要考查直观想象、逻辑推理等核心素养 思路点拨 首先求出函数f(x)在区间[1，9)内的解析式并画出其图象，再画出函数y＝ax的图象，通过图象分析满足在[1，9)内有零点的条件从而求出a的取值范围 B　解析：函数f(x)满足f(x)＝f(3x)， 当x∈[1，3)，f(x)＝ln x， 故f(x)＝ 令g(x)＝f(x)－ax＝0， ∴f(x)＝ax， 画出函数图象，如图所示， 当直线y＝ax与f(x)＝ln (3≤x＜9)相切时，f′(x)＝， 设切点为(x0，y0)，则＝， ∴y0＝1，∴ln ＝1，∴x0＝3e， 此时a＝k＝，当直线经过点(9，ln 3)时，a＝k＝. 综上所述，a∈(，). 根据函数零点所在区间求参数的步骤 【练2】 (2024·朝阳一模)已知函数f(x)＝若实数a，b，c(a<b<c)满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＝ ；a＋b＋c的取值范围是 . 答案：2　[6，7)　解析：画出f(x)的图象，如图所示. 由图可知，a与b关于直线x＝1对称，所以a＋b＝2.令5－x＝1，得x＝4，所以4≤c<5， 所以6≤a＋b＋c<7，即a＋b＋c的取值范围是[6，7). [课时作业(十二)见P328] 学科网（北京）股份有限公司 $$