第2章 第6节 对数与对数函数（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第6节　对数与对数函数 课标解读 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.了解对数函数的概念及其单调性与特殊点. 3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1). [对应学生用书P35] 1.对数的概念 一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数. 2.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质：①＝N； ②logaab＝b(a>0，且a≠1)； ③负数和零没有对数； ④loga1＝0(a>0，且a≠1)； ⑤logaa＝1(a>0，且a≠1). (2)对数的运算性质 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，b∈R，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMb＝blogaM. (3)换底公式：logab＝(a>0，b>0，c>0，且a≠1，c≠1). 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)称为对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在定义域(0，＋∞)上是增函数， 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 在定义域(0，＋∞)上是减函数， 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大 对称性：函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　×　　) (2)logax·logay＝loga(x＋y).(　　×　　) (3)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数.(　　×　　) (4)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数.(　　×　　) (5)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同.(　　√　　) 2.使式子log(2x－1)(2－x)有意义的x的取值范围是(　　) A.x>2 B.x<2 C.<x<2 D.<x<2，且x≠1 答案：D 3.已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　) A.c<b<a B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c C　解析：a＝log52<log5＝＝log82<log83＝b，即a<c<b. 4.(多选)函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　) A.a>1 B.0<c<1 C.0<a<1 D.c>1 答案：BC 5.计算：(log29)·(log34)＝ . 答案：4　解析：(log29)·(log34)＝×＝×＝4. 6.若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是 . 答案：(0，)∪(1，＋∞) [对应学生用书P36] 考点 对数运算(自主练通) 1.(log29)(log32)＋loga＋loga(a)(a>0，且a≠1)的值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 B　解析：原式＝(2log23)(log32)＋loga(×a)＝2×1＋logaa＝3. 2.(2025·兰州质检)设2a＝5b＝m，且＋＝1，则m＝(　　) A. B.10 C.20 D.100 B　解析：因为2a＝5b＝m，所以a＝log2m，b＝log5m， 所以＋＝logm2＋logm5＝logm10＝1， 又∵m＞0，∴m＝10. 3.航天之父、俄国科学家齐奥科夫斯基(K.E.Tsiolkovsky)于1903年给出火箭最大速度的计算公式v＝V0ln (1＋).其中V0是燃料相对于火箭的喷射速度，M是燃料的质量，m0是火箭(除去燃料)的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知V0＝2 km/s，则当火箭的最大速度v可达到10 km/s时，火箭的总质量(含燃料)与火箭(除去燃料)的质量的比值为(　　) A.e5 B.e5－1 C.e6 D.e6－1 A　解析：由题意可知，2ln (1＋)＝10，则1＋＝＝e5，即火箭的总质量(含燃料)至少是火箭(除去燃料)的质量的e5倍，故选A. 4.(2024·全国甲卷)已知a>1且－＝－，则a＝ . 答案：64　解析：根据题意有－＝－，即3loga2－＝－，设t＝loga2(a>1)，则t>0，故3t－＝－，得t＝(t＝－1舍去)，所以loga2＝，所以a＝2，所以a＝64. 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行运算. (2)将同底对数的和、差、积合并. (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. (4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1. 考点 对数函数的图象及应用(讲练融通) 【例1】 (1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A.0<a-1<b<1 B.0<b<a-1<1 C.0<b-1<a<1 D.0<a-1<b-1<1 (2)当0＜x≤时，4x＜logax，则实数a的取值范围是(　　) A.(0，) B.(，1) C.(1，) D.(，2) (1)A　(2)B　解析：(1)由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1<logab<0， 解得<b<1.综上有0<<b<1. (2)易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图. 由题意可知只需满足loga＞4， 解得a＞，所以＜a＜1. 【变式】 若将本例(2)中的条件“4x＜logax”变为“4x＝logax有解”，则实数a的取值范围为 . 答案：(　解析：若方程4x＝logax在(上有解，则函数y＝4x与函数y＝logax的图象在(上有交点.由图象可知解得0＜a≤，即a的取值范围为(. (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合法求解. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【练1】 已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是 . 答案：(1，＋∞)　 解析：如图，在同一平面坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线y＝－x＋a在y轴上的截距.由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点. 考点 对数函数性质的应用(多维贯通) 考向1　比较大小问题 【例2】 已知a＝log315，b＝log420，2c＝1.9，则(　　) A.a＞c＞b B.c＞a＞b C.b＞a＞c D.a＞b＞c 思维 导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学抽象等核心素养 思路点拨 利用对数运算法则转化为比较log35与log45的大小，可用作商比较法求解 D　解析：a＝log315＝log3(3×5)＝1＋log35＞1，b＝log420＝log4(4×5)＝1＋log45＞1，c＝log21.9＜1，因为log35＝＞＝log45，所以a＞b＞c. 比较对数值大小的常见类型及解题方法 常见类型 解题方法 底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较 【练2】 (2024·重庆三模)已知实数a，b满足log2a＋logb>0，则(　　) A.a>b B.loga2>logb2 C.< D.2a－2b<3－a－3－b C　解析：因为log2a＋logb>0，所以log2a>log2b，又y＝log2x为增函数，故a>b>0. 对于A，因为y＝x为减函数，所以a<b，故A错误； 对于B，当a＝4，b＝2时，loga2＝<logb2＝1，故B错误； 对于C，0<<1<，故C正确； 对于D，当a＝4，b＝2时，因为y＝2x与y＝3x均为增函数，所以2a－2b＝24－22>0，3-4－3-2<0，此时2a－2b>3－a－3－b，故D错误. 故选C. 考向2　解简单的对数方程或不等式 【例3】 设f(x)＝则方程f(a)＝f(－a)的解集为 . 答案：{－1，1}　解析：当a>0时，由f(a)＝log2a＝log()＝f(－a)＝loga，得a＝1；当a<0时，由f(a)＝log(－a)＝log2(－)＝f(－a)＝log2(－a)，得a＝－1，∴方程f(a)＝f(－a)的解集为{1，－1}. 【变式】 若本例条件不变，则f(a)>f(－a)的解集为 . 答案：(－1，0)∪(1，＋∞)　解析：由题意得， 或 解得a＞1或－1＜a＜0. 简单对数不等式问题的求解策略 (1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解. (2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论. (3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【练3】 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式f(log(2x－5))＞f(log38)的解集为 . 答案：∪　解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减， 所以可将f(log(2x－5))＞f(log38)化为|log(2x－5)|＞|log38|， 即log(2x－5)＞log38＝log或log(2x－5)＜－log38＝log8， 即0＜2x－5＜或2x－5＞8，解得＜x＜或x＞. 考向3　对数函数性质的综合问题 【例4】 (多选)已知函数f(x)＝ln ，下列说法正确的是(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)在(，＋∞)上单调递减 D.f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞) ACD　解析：f(x)＝ln ，令＞0， 解得x＞或x＜－， ∴f(x)的定义域为∪， 又f(－x)＝ln ＝ln ＝ln ＝－ln ＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数，故A正确，B错误. 又f(x)＝ln ＝ln ， 令t＝1＋，t＞0且t≠1，∴y＝ln t， 又t＝1＋在上单调递减， 且y＝ln t为增函数， ∴f(x)在上单调递减，故C正确； ∴y＝ln t的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确. 解决对数函数性质综合问题的三个注意点 (1)要分清函数的底数是a∈(0，1)，还是a∈(1，＋∞)； (2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行； (3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性. 【练4】 已知f(x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝f2(x)＋f(x2)，则g(x)max－g(x)min＝ . 答案：5　解析：由题意得 ∴1≤x≤3，∴g(x)的定义域为[1，3]， g(x)＝f2(x)＋f(x2)＝(1＋log3x)2＋1＋log3x2＝(log3x)2＋4log3x＋2， 设t＝log3x，则0≤t≤1， 则y＝t2＋4t＋2＝(t＋2)2－2在[0，1]上单调递增， ∴当t＝0，即x＝1时，g(x)min＝2， 当t＝1，即x＝3时，g(x)max＝7， ∴g(x)max－g(x)min＝5. 微专题系列之数学探究——指数式与对数式大小的比较 [对应学生用书P38] 【例】 (多选)已知实数x，y满足log3x－log3y＜()x－()y，则下列结论正确的是(　　) A.＞ B.x3＜y3 C.2x－y＜1 D.ln (y－x)>0 [思维过程] 明确目标→根据已知不等式判断选项正确与否. 提取信息→所给不等式左边含对数式，右边含指数式. 建立联系→构造函数f(x)＝log3x－()x，判断其在(0，＋∞)上单调递增， 可得0<x<y，再利用单调性逐一分析选项中的不等式是否成立即可. 思路导引→因为log3x－log3y＜()x－()y成立，所以x，y∈R＋， 由log3x－log3y＜()x－()y变形得log3x－()x＜log3y－()y， 令函数f(x)＝log3x－()x， 因为y＝log3x，y＝－()x都在(0，＋∞)上单调递增， 所以函数f(x)＝log3x－()x在(0，＋∞)上单调递增，log3x－()x＜log3y－()y即f(x)＜f(y)，所以0<x<y，因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以＞，A正确；因为函数y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，所以x3＜y3，B正确； 因为x－y＜0，函数y＝2x在(－∞，＋∞)上单调递增，所以2x－y＜20＝1，C正确；y－x＞0，ln (y－x)的符号可正可负，D错. 答案：ABC 　　解答此类问题应充分考虑已知条件的结构特征，通过构造函数，利用函数的单调性解决问题. 【练1】 若loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是(　　) A.0＜a＜1 B.＜a＜1 C.0＜a＜ D.a＞1 B　解析：由题意得a>0且a≠1， 所以a2＋1－2a＝(a－1)2＞0即a2＋1＞2a， 因为loga(a2＋1)＜loga2a＜0＝loga1， 所以解得＜a＜1. 【练2】 (2024·北京卷)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上不同的两个点，则下列正确的是(　　) A.log2< B.log2> C.log2<x1＋x2 D.log2>x1＋x2 B　解析：因为(x1，y1)，(x2，y2)为函数y＝2x的图象上两个不同的点，所以y1＝，y2＝，且x1≠x2，则，所以y1＋y2＝ > ，所以>>0，所以log2> ＝，故选B. [课时作业(十)见P323] 学科网（北京）股份有限公司 $$