第2章 第5节 指数与指数函数（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第5节　指数与指数函数 课标解读 1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 3.能画具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. [对应学生用书P31] 1.分数指数幂 (1)正分数指数幂 给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作b＝a.这就是正分数指数幂. (2)负分数指数幂 给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义a－＝＝，这就是负分数指数幂. 2.无理数指数幂 一般地，给定正数a，对于任意的正无理数α，可以定义一个实数aα，自然地，规定a－α＝. 3.指数幂的运算性质 aα·aβ＝aα＋β；(aα)β＝aαβ；(ab)α＝aαbα(a>0，b>0，α，β∈R). (1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算. (2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂. 4.指数函数及其性质 (1)定义：给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有唯一确定的正数y＝ax与之对应，因此y＝ax是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：R 值域：(0，＋∞) 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在R上是增函数， 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0 在R上是减函数， 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大 形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫作指数型函数，不是指数函数. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)＝()n＝a(n∈N*).(　　×　　) (2)分数指数幂a可以理解为个a相乘.(　　×　　) (3)函数y＝3·2x与y＝2x+1都不是指数函数.(　　√　　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　×　　) (5)函数y＝2－x在R上为减函数.(　　√　　) 2.化简[]的结果为(　　) A.5 B. C.－ D.－5 B　解析：原式＝＝＝5×＝5＝. 3.如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝6x，y＝()x的一个是(　　) A.① B.② C.③ D.④ 答案：B 4.若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值的差为，则a的值为(　　) A. B. C.或2 D.或 答案：D 5.函数f(x)＝ax-1＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点 . 答案：(1，3) [对应学生用书P32] 考点 指数幂的运算(自主练通) 1.若实数a>0，则下列等式成立的是(　　) A.(－2)-2＝4 B.2a-3＝ C.(－2)0＝－1 D.(a－)4＝ D　解析：(－2)-2＝，故A错误；2a-3＝，故B错误；(－2)0＝1，故C错误；(a－)4＝，故D正确. 2.(2024·南平二模)对任意非零实数a，当|x|充分小时，(1＋x)a≈1＋a·x.如：＝＝2×≈2×＝2.25，用这个方法计算的近似值为(　　) A.1.906 B.1.908 C.1.917 D.1.919 C　解析：＝＝＝2×＝2×＝2×≈2×≈1.917. 故选C. 3.若x＋x－＝3(x>0)，则＝ . 答案：　解析：由x＋x－＝3， 两边平方得x＋x-1＝7， 再平方得x2＋x-2＝47， 指数幂运算 考点 指数函数的图象及应用(讲练融通) 【例1】 (1)已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是(　　) (2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为 . (1)B　(2)(0，1)　解析：(1)y＝|f(x)|＝|2x－2|＝易知函数y＝|f(x)|的图象的分段点是x＝1，且过点(1，0)，(0，1)，|f(x)|≥0.又y＝|f(x)|在(－∞，1)上单调递减，所以B符合. (2)作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示.由图象可得b的取值范围是(0，1). 【变式】 将本例(2)改为直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，求实数a的取值范围. 解：y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的. 当a＞1时，如图①，两图象只有一个交点，不合题意； 当0＜a＜1时，如图②，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，得到0＜a＜. 综上可知，a的取值范围是(0，). 指数函数图象的应用问题的求解方法 (1)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解. (2)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断. 【练1】 (多选)(2025·广东省实验中学月考)已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是(　　) A.a＝b＝0 B.a<b<0 C.0<a<b D.0<b<a ABD　解析：如图，观察易知，a<b<0或0<b<a或a＝b＝0时满足等式，故选AB D. 【练2】 (2025·黑龙江哈尔滨模拟)若存在正数x使ex(x＋a)<1成立，则a的取值范围是(　　) A.(－∞，＋∞) B.(－∞，1) C.(－∞，－1) D.(－∞，－1) B　解析：由题设知，∃x>0使x＋a<e－x成立， 令y＝x＋a，y1＝e－x， ∴x>0时有y1＝e－x∈(0，1)， 而y＝x＋a∈(a，＋∞)， ∴当a<1时，∃x>0，使得ex(x＋a)<1成立. 考点 指数函数性质的应用(多维贯通) 考向1　比较大小问题 【例2】 已知f(x)＝2x－2－x，a＝()－，b＝()，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　) A.f(b)<f(a)<f(c) B.f(c)<f(b)<f(a) C.f(c)<f(a)<f(b) D.f(b)<f(c)<f(a) B　解析：易知f(x)＝2x－2－x在R上为增函数，又a＝()－＝()>()＝b>0，c＝log2<0，则a>b>c，所以f(c)<f(b)<f(a). 比较幂值大小的方法 先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“0”“1”等中间量比较大小. 【练3】 若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.a>c>b B　解析：∵函数y＝0.3x在R上是减函数， ∴0<0.30.7<0.30.3. 又∵幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增， 0.3<0.7，∴0<0.30.3<0.70.3<1.20.3，∴a<b<c. 考向2　解简单的指数方程或不等式 【例3】 已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为 . 思维 导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学抽象、数学运算等核心素养 思路点拨 分类讨论→代入函数f(x)对应的解析式→得到关于a的方程或不等式→求a的值或取值范围 答案：　解析：当a<1时，41-a＝2，解得a＝； 当a>1时，代入不成立.故a的值为. 　　利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解. 【练4】 (2024·延庆一模)已知函数f(x)＝3x－2x－1，则不等式f(x)<0的解集是(　　) A.(0，1) B.(0，＋∞) C.(－∞，0) D.(－∞，0)∪(1，＋∞) A　解析：由f(x)＝3x－2x－1＝0可得2x＋1＝3x，令g(x)＝2x＋1，h(x)＝3x， 由f(x)<0可得，g(x)>h(x)，因为g(0)＝h(0)＝1，g(1)＝h(1)＝3. 结合一次函数及指数函数的增长速度可知，y＝g(x)与y＝h(x)只有两个交点. 结合函数图象可知，当0<x<1时，g(x)>h(x)，即f(x)<0.故选A. 考向3　指数函数性质的综合问题 【例4】 (1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是 . (2)若函数f(x)＝有最大值3，则a＝ . 思维 导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学抽象、数学运算等核心素养 思路点拨 (1)复合函数单调性→判断f(x)的单调区间→集合的包含关系求参数； (2)由f(x)＝3→ax2－4x＋3≥－1→求a 答案：(1)(－∞，4]　(2)1　解析：(1)令t＝|2x－m|， 则t＝|2x－m|在区间[，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，]上单调递减.而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]. (2)令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝()h(x).因为f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1. 　　求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 【练5】 (2024·房山一模)若对任意m，n∈R，函数f(x)满足f(m)f(n)＝f(m＋n)，且当m>n时，都有f(m)<f(n)，则函数f(x)的一个解析式是 . 答案：f(x)＝()x(答案不唯一)　解析：因为f(x)满足f(m)f(n)＝f(m＋n)，满足指数幂的运算性质. 因为当m>n时，都有f(m)<f(n)，则f(x)单调递减，故满足题意的一个函数解析式为f(x)＝x. 【练6】 已知函数f(x)＝ex－，若f(a－2)＋f(a2)≤0，则实数a的取值范围是 . 答案：[－2，1]　解析：因为f(x)＝ex－，定义域为R， f(－x)＝e－x－＝－ex＝－f(x)， 所以f(x)＝ex－为奇函数. 又因为f(x)＝ex－在R上为增函数， 所以f(a－2)＋f(a2)≤0⇒f(a－2)≤－f(a2)⇒f(a－2)≤f(－a2)， 即a－2≤－a2，a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1. 微专题系列之数学探究——与指数函数有关的同构式问题 [对应学生用书P34] 【例】 若2x－2y＜3－x－3－y，则(　　) A.ln (y－x＋1)＞0 B.ln (y－x＋1)＜0 C.ln |x－y|＞0 D.ln |x－y|＜0 [思维过程] 明确目标→判断结论正误. 提取信息→关于x，y的指数型不等式. 建立联系→已知不等式两边为同构式，可考虑构造指数型函数，利用其单调性比较大小. 思路导引→(方法一)由2x－2y＜3－x－3－y，可得2x－3－x＜2y－3－y， 令f(x)＝2x－3－x，则f(x)在R上单调递增， 且f(x)＜f(y)，所以x＜y，即y－x＞0， 所以y－x＋1＞1，所以ln (y－x＋1)＞ln 1＝0. (方法二)取x＝－1，y＝0， 满足2x－2y＜3－x－3－y，此时ln (y－x＋1)＝ln 2＞0，ln |x－y|＝ln 1＝0，可排除B，C，D. 答案：A 　　此类问题将不等式或等式两边“同构”(即结构相同)，构造函数，通过函数的单调性实现比较大小或求参数取值范围.常见的同构方法有x＝eln x，xex＝eln x＋x，x2ex＝e2ln x＋x，ln x＋ln a＝ln ax，ln x－1＝ln ，有时也需要对两边同时加、乘某式等. 【练】 若ea＋πb≥e－b＋π－a，则a与b的关系式为 . 答案：a＋b≥0　解析：因为ea＋πb≥e－b＋π－a， 所以ea－π－a≥e－b－πb， 令f(x)＝ex－π－x， 则f(x)在R上单调递增， f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0. [课时作业(九)见P320] 学科网（北京）股份有限公司 $$