第2章 第4节 幂函数与二次函数（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第4节　幂函数与二次函数 课标解读 1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 2.运用函数建立模型，解决简单的实际问题. [对应学生用书P27] 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量，指数是常数的函数称为幂函数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数. 幂函数的特征：(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；(2)xα的系数为1；(3)解析式只有一项. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 [，＋∞) (－∞，] 对称轴 x＝－ 顶点坐标 (－，) 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在(－∞，－]上单调递减； 在[－，＋∞)上单调递增 在(－∞，－]上单调递增； 在[－，＋∞)上单调递减 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x－是幂函数.(　　√　　) (2)当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增.(　　√　　) (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.(　　√　　) (4)当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.(　　√　　) 2.(多选)下列两个值的大小关系正确的是(　　) A.1.5>1.4 B.(－1.5)2>(－1.4)2 C.(－1.5)3>(－1.4)3 D.－>－ 答案：ABD 3.幂函数f(x)＝ (a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：C 4.函数y＝x－的大致图象是(　　) B　解析：由幂函数的性质可知，函数y＝x－的图象在(0，＋∞)上单调递减，故A，C错误；函数y＝x－为偶函数，故D错误. 5.一枚炮弹被发射后，其升空高度h与时间t的函数关系为h＝130 t－5t2，则该函数的定义域是 . 答案：[0，26]　 6.已知函数f(x)＝x2－2ax＋b(a＞1)的定义域和值域都为[1，a]，则b＝ . 答案：5　解析：f(x)＝x2－2ax＋b的图象关于x＝a对称，所以f(x)在[1，a]上单调递减. 又f(x)的值域为[1，a]， 所以 ∴解得a＝2或a＝1(舍去)，b＝5. [对应学生用书P29] 考点 幂函数的图象与性质(自主练通) 1.(2025·山东临沂一中月考)若幂函数y＝x-1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A.－1<m<0<n<1 B.－1<n<0<m< C.－1<m<0<n< D.－1<n<0<m<1 D　解析：幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸， ∴0<m<1. 当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减. 不妨令x＝2，由图象得2-1<2n，则－1<n<0. 综上可知，－1<n<0<m<1. 2.若幂函数f(x)＝(3m2－2m)x3m的图象不经过坐标原点，则实数m的取值为(　　) A. B.－ C.－1 D.1 B　解析：由题意，得3m2－2m＝1，解得m＝1或m＝－，当m＝1时，f(x)＝x3，函数图象过原点，不合题意；当m＝－时，f(x)＝x-1，函数图象不过原点，符合题意.故m＝－. 3.已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　) A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b A　解析：由题意得b＝3<4＝2＝a， a＝2＝4<4<5＝25＝c，所以b<a<c. 4.(2024·延庆一模)已知函数f(x)＝xα(0<α<1)在区间(－1，0)上单调递减，则α的一个取值为 . 答案：(答案不唯一)　解析：根据题意，函数f(x)＝xα是幂函数，由于0<α<1，则f(x)在(0，＋∞)上为增函数. 若函数f(x)＝xα在区间(－1，0)上单调递减，则f(x)为偶函数，则α＝(p为偶数，q为奇数，且p<q)，如α＝. 应用幂函数图象的注意点 (1)对于幂函数图象，要抓住直线x＝1，y＝1，y＝x将第一象限分成的六个区域.根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由幂函数的奇偶性决定. (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 考点 二次函数的图象及性质(多维贯通) 考向1　二次函数的图象 【例1】 (多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论正确的为(　　) A.b2＞4ac B.2a－b＝1 C.a－b＋c＝0 D.5a＜b AD　解析：因为图象与x轴交于两点， 所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确. 对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，则2a－b＝0，B错误. 结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误. 由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下， 知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确. (1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指二次函数的开口方向. (2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件. 【练1】 设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) D　解析：因为abc>0， 由二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，可知， A中，a<0，b<0，c<0，不符合题意； B中，a<0，b>0，c>0，不符合题意； C中，a>0，c<0，b>0，不符合题意，故选D. 考向2　二次函数的单调性与最值 【例2】 已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. (1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域； (2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值. 解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]， 函数图象的对称轴为直线x＝－∈[－2，3]且开口向上， ∴f(x)min＝f＝－－3＝－， f(x)max＝f(3)＝15， ∴f(x)的值域为. (2)函数图象的对称轴为直线x＝－且开口向上. ①当－≤1，即a≥－时， f(x)max＝f(3)＝6a＋3， ∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意； ②当－＞1，即a＜－时， f(x)max＝f(－1)＝－2a－1， ∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意. 综上可知，a＝－或－1. 　　闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 【练2】 设函数f(x)＝(x＋a)ln (x＋b).若f(x)≥0，则a2＋b2的最小值为(　　) A. B. C. D.1 C　解析：由f(x)≥0及y＝x＋a，y＝ln (x＋b)是单调递增的，可得x＋a与ln (x＋b)同正、同负或同为零，所以当ln (x＋b)＝0时，x＋a＝0，即，所以b＝a＋1，则a2＋b2＝a2＋(a＋1)2＝2(a＋)2＋≥，故选C. 【例3】 (1)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围是 . (2)若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0，1]恒成立，则m的最大值为 . 答案：(1)　(2)－3　解析：(1)由题意知2ax2＋2x－3＜0在[－1，1]上恒成立. 当x＝0时，－3＜0，符合题意，a∈R； 当x≠0时，a＜－， 因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 所以当x＝1时，不等号右边式子取最小值，所以a＜. 综上，实数a的取值范围是. (2)可得m≤x2－4x对任意x∈(0，1]恒成立， 又f(x)＝x2－4x在(0，1]上单调递减， ∴f(x)min＝f(1)＝－3，∴m≤－3. 　　不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题. 【练3】 已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是 . 答案：(－∞，－1)　解析：f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0， 令g(x)＝x2－3x＋1－m， 要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立， 只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可. ∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减， ∴g(x)min＝g(1)＝－m－1. 由－m－1>0，得m<－1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1). 考点 二次函数的实际应用(讲练融通) 【例4】 某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①所示；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②所示(注：利润和投资的单位：万元). (1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并求出解析式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并全部投入到A，B两种产品的生产中. (ⅰ)若平均投入生产两种产品，则可获得多少利润？ (ⅱ)如果你是决策者，怎样分配这18万元资金，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？ 解：(1)设生产A，B两种产品所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元. 由题意可设f(x)＝k1x(k1≠0)，g(x)＝k2(k2≠0). 根据题图可解得f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2(x≥0). (2)(ⅰ)由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2＝6. ∴总利润为2.25＋6＝8.25(万元). (ⅱ)设B产品投入x万元，则A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元， 由(1)得y＝(18－x)＋2，0≤x≤18. 令＝t，t∈[0，3]， 则y＝(－t2＋8t＋18)＝－(t－4)2＋. ∴当t＝4时，ymax＝＝8.5，此时x＝16，18－x＝2. ∴当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，为8.5万元. 【练4】 牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0). (1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值； (3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围. 解：(1)根据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量为x只，则蓄养率为，故空闲率为1－，由此可得y＝kx(1－)(0<x<m). (2)由(1)知y＝kx(1－)＝－(x2－mx)＝－(x－)2＋.即当x＝时，y取得最大值. (3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量，即0<x＋y<m. 因为当x＝时，ymax＝，所以0<＋<m，解得－2<k<2. 又因为k>0，所以0<k<2，故k的取值范围为(0，2). [课时作业(八)见P318] 学科网（北京）股份有限公司 $$