第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第3节　函数的奇偶性与周期性 课标解读 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念及几何意义. 2.结合三角函数，了解函数周期性的概念及几何意义. [对应学生用书P23] 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么称函数f(x)为奇函数 关于原点 对称 偶函数 设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么称函数f(x)为偶函数 关于y轴 对称 (1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件. (2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数； ②f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数. 2.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期. (2)最小正周期：在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数称作函数y＝f(x)的最小正周期. 周期函数定义的实质 存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.(　　×　　) (2)若函数f(x)是奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　×　　) (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.(　　√　　) (4)若函数y＝f(x＋2)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)中心对称.(　　√　　) 2.(多选)下列函数为奇函数的是(　　) A.f(x)＝x4 B.f(x)＝x5 C.f(x)＝x＋ D.f(x)＝ 答案：BC 3.设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x).若f(－)＝，则f()＝(　　) A.－ B.－ C. D. C　解析：因为f(x)是定义域为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x).又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f[1＋(1＋x)]＝f[－(1＋x)]＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，所以f＝f＝f＝. 4.(2024·连云港期中)已知函数f(x)＝ax2＋bx－3a(x∈[a，2a＋1])是偶函数，则f(1)的值为 . 答案：　解析：由题意可知，a＋2a＋1＝0，且f(－x)＝f(x)，解得a＝－，b＝0，所以f(x)＝－x2＋1，则f(1)＝－＋1＝. 5.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(x)的解析式为 . 答案：f(x)＝ 6.(2025·江苏南京二十九中学月考)写出一个最大值为3，最小正周期为2的偶函数f(x)＝ . 答案：3cos πx(答案不唯一)　解析：因为f(x)是最大值为3，最小正周期为2的偶函数， 所以f(x)＝3cos πx或f(x)＝cos πx＋2或f(x)＝2cos πx＋1等(答案不唯—). [对应学生用书P24] 考点 函数的奇偶性(多维贯通) 考向1　函数奇偶性的判断 1.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(　　) A.f(x)＝ B.f(x)＝ C.f(x)＝ D.f(x)＝ B　解析：通解　对于A选项，f(－x)＝＝≠f(x)，故f(x)不是偶函数；对于B选项，f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)是偶函数；对于C选项，f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；对于D选项，f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，故f(x)是奇函数.故选B. 优解一(特殊值法)　对于A选项，f(1)＝＝，f(－1)＝＝，f(1)≠f(－1)，故f(x)不是偶函数；对于B选项，f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)是偶函数；对于C选项，f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；对于D选项，f(π)＝＝，f(－π)＝＝，f(π)≠f(－π)，故f(x)不是偶函数.故选B. 优解二(性质法)　易知y＝x2＋1与y＝e|x|均为偶函数，且恒为正. 对于A选项，由于y＝ex－x2是非奇非偶函数，所以f(x)也是非奇非偶函数；对于B选项，y＝cos x＋x2是偶函数，所以f(x)是偶函数；对于C选项，易知f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数；对于D选项，y＝sin x＋4x是奇函数，所以f(x)是奇函数，故选B. 2.(多选)设函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A.|f(x)|是偶函数 B.－f(x)是奇函数 C.f(x)|f(x)|是奇函数 D.f(|x|)f(x)是偶函数 ABC　解析：f(x)＝， 则f(－x)＝＝－f(x). 所以f(x)是奇函数， 所以|f(x)|是偶函数，－f(x)是奇函数，所以f(x)|f(x)|是奇函数. 因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)是偶函数， 所以f(|x|)f(x)是奇函数. 3.已知函数f(x)＝则该函数的奇偶性是 . 答案：奇函数　解析：方法一　当x>0时，－x<0， ∴f(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数. 方法二　作出f(x)的图象，由图象可知f(x)为奇函数. 判断函数奇偶性的常用方法 (1)定义法，即根据奇、偶函数的定义来判断. (2)图象法，即利用奇、偶函数图象的对称性来判断. (3)性质法，即利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断. 考向2　函数奇偶性的简单应用 4.(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a＝(　　) A.－1 B.0 C. D.1 B　解析：通解　设g(x)＝ln ，易知g(x)的定义域为(－∞，－)∪(，＋∞)，且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)，所以g(x)为奇函数.若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B. 优解　因为f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，f(－1)＝(a－1)ln 3，f(1)＝(a＋1)ln ＝－(a＋1)ln 3，所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0. 5.(2024·厦门二模)已知ω∈R，函数f(x)＝(x－6)2·sin (ωx)，存在常数a∈R，使得f(x＋a)为偶函数，则ω可能的值为(　　) A. B. C. D. C　解析：由于函数f(x)＝(x－6)2·sin (ωx)，存在常数a∈R，使得f(x＋a)为偶函数， 则f(x＋a)＝(x＋a－6)2·sin [ω(x＋a)]，由于函数为偶函数，故a＝6， 所以6ω＝＋kπ，k∈Z，即ω＝＋，k∈Z，当k＝1时，ω＝.故选C. 6.(2022·全国乙卷)若f(x)＝ln ＋b是奇函数，则a＝ ，b＝ . 答案：－　ln 2　解析：因为函数f(x)＝ln ＋b为奇函数，所以其定义域关于原点对称. 且定义域中x≠1，所以将x＝－1代入必有a＋＝0，解得a＝－，即函数的定义域为∪∪，再由f＝0可得，b＝ln 2.即f(x)＝ln ＋ln 2＝ln ，在定义域内满足f＝－f(x)，符合题意. 应用函数奇偶性可解决的问题及解题方法 1.求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. 2.求解析式 先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式. 3.求函数解析式中参数的值 利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程(组)，进而得出参数的值. 考点 函数的周期性及应用(讲练融通) 【例1】 (1)(2025·重庆一中月考)已知函数f(x)是定义R上的奇函数，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈[－2，0)时，f(x)＝2，则f(2 025)＝(　　) A.－2 B.2 C.－ D. (2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数.若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 027)＋f(2 025)的值为 . 思维 导引 学科素养 本例主要考查数学抽象、逻辑推理等核心素养 思路点拨 等式条件→函数周期→将自变量通过周期变小→函数奇偶性→结论 (1)A 　(2)0　解析：(1)因为f(x＋4)＝f(x)， 所以f(x)的周期为4， 所以f(2 025)＝f(4×506＋1)＝f(1)， 因为函数f(x)是定义R上的奇函数， 所以f(1)＝－f(－1)， 因为x∈[－2，0)时，f(x)＝2， 所以f(－1)＝2，所以f(1)＝－f(－1)＝－2. (2)当x≥0时，f(x＋2)＝－， 所以f(x)(x≥0)的一个周期为4. 所以f(－2 027)＝f(2 027)＝f(3)＝－＝－1， f(2 025)＝f(1)＝log22＝1，所以f(－2 027)＋f(2 025)＝0. 【变式】 若将本例(2)中“f(x＋2)＝－”变为“f(x＋2)＝－f(x)”，则f(－2 027)＋f(2 025)＝ . 答案：0　解析：由f(x＋2)＝－f(x)可知T＝4， 所以f(－2 027)＝f(3)＝－f(1)＝－1，f(2 025)＝f(1)＝1， 所以f(－2 027)＋f(2 025)＝0. 函数周期性有关问题的求解策略 (1)求解与函数周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期. (2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(对称中心在平行于x轴的直线上或对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性. 【练1】 (多选)(2025·广州月考)已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x满足f(2＋x)＝f(x)，f(2－x)＝f(x)，且x∈[0，1]时，f(x)＝x2＋1，则下列说法中，正确的是(　　) A.2是f(x)的周期 B.x＝－1不是f(x)图象的对称轴 C.f(2 025)＝2 D.方程f(x)＝|x|只有4个实根 AC　解析：因为定义在R上的函数f(x)对任意实数x满足f(2＋x)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，故A选项正确；因为f(2－x)＝f(x)，所以函数f(x)关于直线x＝1对称，又f(x)是周期为2的周期函数，所以函数f(x)关于直线x＝－1对称，故B选项错误；f(2 025)＝f(1)＝12＋1＝2，故C选项正确；在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝f(x)与y＝|x|的图象，如图所示， 由图象可知两函数共有6个不同的交点，则方程f(x)＝|x|有6个实根，故D选项错误. 【练2】 已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x－2)为偶函数，且当0<x≤2时，f(x)＝log22x，则f(201)＋f(202)＝(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 B　解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数， 故可得f(x)＝－f， 又f为偶函数， 故可得f＝f＝－f， 则f(x)＝－f＝－＝f，故f(x)是以8为周期的周期函数； 故f＋f＝f(1)＋f＝log22＋log24＝1＋2＝3.故选B. 考点 函数性质的综合(多维贯通) 考向1　奇偶性与单调性的综合应用 【例2】 已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(ln x)<f(2)，则x的取值范围是(　　) A.(0，e2) B.(e-2，＋∞) C.(e2，＋∞) D.(e-2，e2) 思维 导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学抽象、直观想象等核心素养 思路点拨 f(x)在[0，＋∞)上单调递增f(x)在(－∞，0)上单调递减|ln x|<2⇒得解 D　解析：根据题意知，f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增， 则f(ln x)<f(2)⇔|ln x|<2，即－2<ln x<2， 解得e-2<x<e2，即x的取值范围是(e-2，e2). 　　单调性与奇偶性的综合：注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性. 【练3】 (多选)(2024·杭州二模)已知函数f(x)对任意实数x均满足2f(x)＋f(x2－1)＝1，则(　　) A.f(－x)＝f(x) B.f()＝1 C.f(－1)＝ D.函数f(x)在区间(，)上不单调 ACD　解析：对于A，令x等价于－x，则2f(－x)＋f(x2－1)＝1，所以f(－x)＝f(x)＝，故A正确； 对于B，令x＝1，则2f(1)＋f(0)＝1，令x＝0，则2f(0)＋f(1)＝1，解得f(0)＝f(1)＝， 令x＝，则2f()＋f(1)＝1，即f()＝，故B错误； 对于C，由A项知，f(－x)＝f(x)，所以f(－1)＝f(1)＝，故C正确； 对于D，令x＝x2－1，所以x2－x－1＝0，解得x＝， 令x＝，则2f＋f＝1，所以f＝，因为∈(，)，f＝f()＝，所以函数f(x)在区间(，)上不单调，故D正确.故选AC D. 考向2　奇偶性与周期性的综合应用 【例3】 设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x－1)，若f(－1)＞1，f(5)＝a2－2a－4，则实数a的取值范围是(　　) A.(－1，3) B.(－∞，－1)∪(3，＋∞) C.(－3，1) D.(－∞，－3)∪(1，＋∞) 思维 导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学抽象等核心素养 思路点拨 f(x＋1)＝－f(x－1)f(x)的周期为4f(5)＝f(1)转化不等式求解 A　解析：由f(x＋1)＝－f(x－1)， 可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)， 故函数f(x)的周期为4， 则f(5)＝f(1)＝a2－2a－4， 又因为f(x)是定义在R上的奇函数， f(－1)＞1，所以f(1)＜－1， 所以a2－2a－4＜－1，解得－1＜a＜3. 　　此类问题多考查求值问题，常用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知函数解析式的定义域内求解. 【练4】 (2024·内江三模)已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x都有f(x＋2)＝－f(x)成立，且函数f(x＋1)为偶函数，f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝(　　) A.－1 B.0 C.1 012 D.2 024 B　解析：由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数. 由f(x＋1)为偶函数可知f(x)的图象关于直线x＝1轴对称， 即f(2)＝f(0). 又f(x＋2)＝－f(x)可知f(2)＝－f(0)，所以f(2)＝f(0)＝0， 显然f(3)＝－f(1)＝－2，f(4)＝f(0)＝0， 所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝0. 故选B. 考向3　奇偶性、单调性与周期性的综合应用 【例4】 (2024·池州联考)已知函数f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件： ①∀x1，x2∈[4，8]，当x1<x2时，都有>0；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函数. 若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2 025)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<b<a 思维 导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学抽象、直观想象等核心素养 思路点拨 条件①⇒f(x)为增函数；条件②⇒f(x)为周期函数；条件③⇒f(x)图象关于直线x＝4对称求函数值⇒比较大小 B　解析：由条件①知，当x∈[4，8]时，f(x)单调递增； 由条件②知，f(x)的周期为8； 由条件③知，y＝f(x)关于直线x＝4对称， 所以f(11)＝f(3)＝f(5)，f(2 025)＝f(1)＝f(7)， 故f(5)＜f(6)＜f(7)，即b＜a＜c. 　　解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. 【练5】 (2024·丰台一模)已知函数f(x)具有下列性质： ①当x1，x2∈[0，＋∞)时，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1； ②在区间(0，＋∞)上，f(x)单调递增； ③f(x)是偶函数. 则f(0)＝ ；函数f(x)的一个可能解析式为f(x)＝ . 答案：－1　|x|－1(答案不唯一)　解析：当x1，x2∈[0，＋∞)时，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，令x1＝x2＝0可得，f(0)＝2f(0)＋1，变形可得f(0)＝－1，对于函数f(x)＝|x|－1， 其定义域为R，有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数. 当x≥0时，f(x)＝x－1，f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 当x1，x2∈[0，＋∞)时，f(x1＋x2)＝x1＋x2－1，f(x1)＋f(x2)＝x1－1＋x2－1＝x1＋x2－2，f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1. 故f(x)＝|x|－1，符合题意. 微专题系列之数学应用——奇偶性的一般化：对称性 [对应学生用书P26] 类型1　中心对称 【例1】 已知函数f(x)＝ln (－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝ . [思维过程] 明确目标→求f(－a). 提取信息→函数f(x)的解析式. 建立联系→从f(x)的中分离出奇函数g(x)＝ln (－x)，将问题转化为函数图象平移问题，并结合g(x)图象的对称性求解f(－a)的值. 思路导引→根据函数奇偶性的定义可知g(x)＝ln (－x)是奇函数，因此函数f(x)＝g(x)＋1，也即f(x)是由奇函数g(x)向上平移一个单位长度得到.对于奇函数g(x)，有g(a)＋g(－a)＝0，则f(a)＝g(a)＋1，f(－a)＝g(－a)＋1，于是f(a)＋f(－a)＝g(a)＋g(－a)＋2＝2.从而f(－a)＝2－f(a)＝－2. 答案：－2 　　根据以上解答过程可知，上述结果是可以一般化的.事实上，由于g(x)是关于点(0，0)成中心对称的，则f(x)＝g(x)＋b关于点(0，b)成中心对称，则有f(x)＋f(－x)＝2b.也即若f(x)关于点(0，b)成中心对称，则f(x)＋f(－x)＝2b.更一般地，若f(x)关于点(a，b)成中心对称，则f(x)＋f(2a－x)＝2b. 上述结论其实反映了中心对称函数的一般性质，同时也告诉我们，将奇函数平移可以得到中心对称函数，若逆向探讨，则可以得到任何一个中心对称函数平移后都可以变成奇函数，这样便可以得到对称中心. 对于轴对称图象，有如下结论(可以结合三角函数的对称性来记忆)： f(x)＝f(－x)⇔ f(x)关于直线x＝0成轴对称；f(a＋x)＝f(a－x)⇔ f(x)关于直线x＝a成轴对称；f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)关于直线x＝a成轴对称. 【练1】 已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝(　　) A.0 B.m C.2m D.4m B　解析：由f(－x)＝2－f(x)知f(x)的图象关于点(0，1)对称，而y＝＝1＋的图象也关于点(0，1)对称，因此两个函数的交点也关于点(0，1)对称，从而对于每一组对称点xi＋x′i＝0，yi＋y′i＝2， 所以(xi＋yi)＝i＋i＝(2i)＝ (yi＋y′i)＝×2m＝m. 类型2　轴对称 【例2】 已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝(　　) A.0 B.m C.2m D.4m [思维过程] 明确目标→求两图象交点横坐标之和. 提取信息→f(x)＝f(2－x)及函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)的图象交点坐标. 建立联系→f(x)＝f(2－x)⇒f(x)图象关于直线x＝1成轴对称，函数y＝|x2－2x－3|的图象也关于直线x＝1成轴对称，从而它们的交点也关于直线x＝1成轴对称. 思路导引→根据上述轴对称的结论可知f(x)＝f(2－x)的图象关于直线x＝1对称，而y＝|x2－2x－3|的图象也关于直线x＝1对称，因此它们的交点也关于直线x＝1对称，运用上述中心对称问题的解决方法，每一组对称点的横坐标有xi＋xi′＝2×1，则i＝×(2xi)＝(xi＋xi′)＝×2×m＝m. 答案：B 【练2】 (2024·郑州三模)设函数f(x)的定义域为R，y＝f(x－1)＋1为奇函数，y＝f(x－2)为偶函数，若f(2 024)＝1，则f(－2)＝(　　) A.1 B.－1 C.0 D.－3 D　解析：因为y＝f(x－1)＋1为奇函数，所以f(－x－1)＋1＝－1－f(x－1)， 所以f(x)的图象关于点(－1，－1)中心对称，则f(－1)＝－1. 因为y＝f(x－2)为偶函数，所以f(－x－2)＝f(x－2)， 所以f(x)的图象关于直线x＝－2对称. 由f(－x－1)＋1＝－1－f(x－1)，得f(－x－2)＝－2－f(x)， 所以f(x－2)＝－2－f(x)，则f(x－4)＝－2－f(x－2)＝－2＋2＋f(x)＝f(x)，则f(x)的周期为4， f(2 024)＝f(0)＝－2－f(－2)＝1，则f(－2)＝－3.故选D. [课时作业(七)见P315] 学科网（北京）股份有限公司 $$