第2章 第2节 函数的单调性与最值（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第2节　函数的单调性与最值 课标解读 1.借助图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值和最小值. 2.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. [对应学生用书P19] 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数y＝f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)， 那么就称函数f(x)在区间I上单调递增 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)， 那么就称函数f(x)在区间I上单调递减 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (1)单调递增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征 一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可. (2)单调性的两种等价形式 设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2， ①>0⇔f(x)在[a，b]上单调递增；<0⇔f(x)在[a，b]上单调递减. ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上单调递增；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上单调递减. (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I为函数y＝f(x)的单调区间. 2.函数的最值 最大值 最小值 条件 设函数y＝f(x)的定义域为D，存在实数M，对所有的x∈D，都有 f(x)≤M f(x)≥M 存在x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　×　　) (2)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都单调递增，则这个函数在定义域上是增函数.(　　×　　) (3)所有的单调函数都有最值.(　　×　　) 2.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　) A.y＝ln (x＋2) B.y＝－ C.y＝()x D.y＝x＋ A　解析：函数y＝ln (x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数. 3.若f(x)＝，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为(　　) A.3 B.1 C.2 D.4 答案：C 4.设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的单调递增区间为 . 答案：[－1，1]和[5，7] 5.(2025·安徽合肥八中调考)函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)＜f(2a)，则实数a的取值范围是 . 答案：[－1，1)　解析：由条件知 解得－1≤a＜1. 6.某汽车租赁公司的月收益y(单位：元)与每辆车的月租金x(单位：元)间的关系为y＝－＋162x－21 000，那么当每辆车的月租金为 元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是 元. 答案：4 050　307 050 [对应学生用书P20] 考点 判断函数单调性(讲练融通)　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】 (1)下列函数中是增函数的为(　　) A.f(x)＝－x B.f(x)＝()x C.f(x)＝x2 D.f(x)＝ (2)判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1<a<3)在[1，2]上的单调性. (1)D　解析：函数f(x)＝－x是一次函数，在R上是减函数；函数f(x)＝()x是指数函数，底数0<<1，所以函数f(x)在R上是减函数；函数f(x)＝x2是二次函数，在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增；函数f(x)＝＝x是幂函数，指数>0，所以函数f(x)在R上是增函数. (2)解：函数f(x)＝ax2＋(1<a<3)在[1，2]上单调递增. 证明如下：设1≤x1<x2≤2， 则f(x2)－f(x1)＝ax＋－ax－＝ (x2－x1). 由1≤x1<x2≤2，得x2－x1>0，2<x1＋x2<4， 1<x1x2<4，－1<－<－. 又因为1<a<3，所以2<a(x1＋x2)<12， 得a(x1＋x2)－>0， 从而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)， 故当a∈(1，3)时，f(x)在[1，2]上单调递增. 判断函数的单调性的方法 定义法 一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论 图象法 若f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性 导数法 先求导数，再利用导数值的正负确定函数的单调性 性质法 利 已知函数的单调性 复合法 函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则 【练1】 (2024·顺义一模)已知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且x0>0，则下列结论中一定成立的是(　　) A.f(x0＋1)>f(x0) B.f(x0＋1)<f(x0) C.f(x0－1)>f(x0) D.f(x0－1)<f(x0) B　解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且x0>0，所以1＋x0>x0>0，所以f(1＋x0)<f(x0)，A错误，B正确；当x0>0时，x0－1与0的大小关系无法确定，C，D无法判断.故选B. 考点 求函数的单调区间(自主练通) 1.(2024·南阳模拟)函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是(　　) A.[1，2] B.[－1，0] C.(0，2] D.[2，＋∞) A　解析：由题意得，f(x)＝ 当x≥2时，[2，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间；当x＜2时，(－∞，1]是函数f(x)的单调递增区间，[1，2]是函数f(x)的单调递减区间. 2.设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是 . 答案：[0，1)　解析：由题意知g(x)＝该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0，1). 3.函数f(x)＝log2(x2－4)的单调递增区间为 . 答案：(2，＋∞)　解析：由x2－4>0得x<－2或x>2.又u＝x2－4在(－∞，－2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，y＝log2u为增函数，故f(x)的单调递增区间为(2，＋∞). (1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. (2)单调区间不能用集合或不等式表示，且图象不连续的单调区间要用“和”或“，”连接. 考点 函数单调性的应用(多维贯通) 考向1　利用函数单调性比较大小 【例2】 已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a＝－f(log2)，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b 思维 导引 学科素养 本题主要考查数学抽象、逻辑推理等核心素养 思路点拨 奇函数→转化自变量值比较大小→比较a，b，c的大小 C　解析：由f(x)是奇函数可得a＝－f(log2)＝f(log25).因为log25>log24.1>log24＝2>20.8，且函数f(x)是增函数，所以c<b<a. 利用函数的单调性比较函数值的大小的方法 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解. 【练2】 已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(ln )，b＝f(3)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系是(　　) A.c<b<a B.a<c<b C.a<b<c D.c<a<b B　解析：∵对任意x1，x2∈(－∞，0)， 均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立， ∴此时函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减， ∵f(x)是偶函数， ∴当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增， 又f(x)＝x在x∈(0，＋∞)上单调递增， ∴1<e<3， 又0<ln <1， ∴ln <e<3， ∴f>f>f(ln )， 即a<c<b. 考向2　利用函数单调性解不等式问题 【例3】 设函数f(x)＝若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，1] B.(－∞，2] C.[2，6] D.[2，＋∞) 思维 导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算的核心素养 思路点拨 判断函数单调性→将不等式转化为具体不等式求解 B　解析：易知函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f(a＋1)≥f(2a－1)，∴a＋1≥2a－1，解得a≤2.故实数a的取值范围是(－∞，2]. 利用函数的单调性求解不等式的方法 (1)依据：若f(x)在定义域上(或某一区间上)是增(减)函数，x1，x2是定义域上(或该区间上)任意两个自变量的值，则f(x1)<f(x2)⇔ x1<x2(x1>x2)； (2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. 【练3】 (2024·武汉二模)已知函数f(x)＝x|x|，则关于x的不等式f(2x)>f(1－x)的解集为(　　) A. B. C. D. A　解析：由f(x)＝x|x|＝可得f(x)在R上单调递增.由f(2x)>f(1－x)，可得2x>1－x，即x>.故选A. 考向3　利用函数单调性求最值问题 【例4】 (2024·深圳模拟)函数y＝的最大值为 . 答案：　解析：令＝t，则t≥2， ∴x2＝t2－4， ∴y＝＝， 设h(t)＝t＋， 则h(t)在[2，＋∞)上单调递增， ∴h(t)min＝h(2)＝， ∴y≤＝(x＝0时取等号). 即y的最大值为. 函数最值和单调性的关系 (1)若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是f(b)； (2)若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值是f(b)，最小值是f(a)； (3)求函数最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间则不一定有最大(小)值. 【练4】 (2024·西城一模)设a＝t－，b＝t＋，c＝t(2＋t)，其中－1<t<0，则(　　) A.b<a<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a C　解析：a＝t－在(－1，0)上单调递增，所以a>0；b＝t＋在(－1，0)上单调递减，所以b<－2；c＝t(2＋t)＝t2＋2t在(－1，0)上单调递增，所以－1<c<0，故a>c>b.故选C. 考向4　利用函数单调性求参数范围问题 【例5】 (2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A.(－∞，0] B.[－1，0] C.[－1，1] D.[0，＋∞) B　解析：因为函数f(x)在R上单调递增，且当x<0时，f(x)＝－x2－2ax－a，所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f(x)＝ex＋ln (x＋1)，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增.若函数f(x)在R上单调递增，则－a≤f(0)＝1，即a≥－1.综上可得，实数a的取值范围是[－1，0].故选 B. 利用单调性求参数的范围(或值)的方法 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； (2)需注意，若分段函数在R上是单调的，则该函数在每一段上具有相同的单调性，还要注意分界点处的函数值大小. 【练5】 已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是(　　) A.(0，1) B.(0，) C.[，) D.[，1) C 　解析：由f(x)是减函数，得 解得≤a＜，∴a的取值范围是). [课时作业(六)见P313] 学科网（北京）股份有限公司 $$