第2章 第1节 函数的概念及表示（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第二章　函　数 第1节　函数的概念及表示 课标解读 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数，并能简单应用. [对应学生用书P16] 1.函数的概念 给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝1或y＝x0是同一个函数.(　　×　　) (2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　×　　) (3)已知f(x)＝5(x∈R)，则f(x2)＝25.(　　×　　) (4)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有1个交点.(　　√　　) 2.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是(　　) C　解析：根据函数意义：对任意x值都有唯一确定的数y与之对应，只有C不满足. 3.(多选)下列各组函数是同一个函数的为(　　) A.f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1 B.f(x)＝x－1，g(x)＝ C.f(x)＝，g(x)＝ D.f(x)＝，g(x)＝x AC　解析：同一个函数满足①定义域相同；②对应关系相同，只有A，C满足. 4.(2022·北京卷)函数f(x)＝＋的定义域是 . 答案：∪　解析：因为f(x)＝＋，所以解得x≤1且x≠0，故函数f(x)的定义域为∪. 5.已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝ . 答案：4 6.函数f(x)＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2，当x∈(－1.5，1.5]时，函数f(x)的解析式是 . 答案：f(x)＝ [对应学生用书P17] 考点 求函数的定义域(自主练通) 1.已知函数f(x)＝，则函数的定义域为(　　) A.(－∞，1) B.(－∞，－1) C.(－∞，－1)∪(－1，0) D.(－∞，－1)∪(－1，1) D　解析：令1－2x>0，即2x<1，即x<0. ∴f(x)的定义域为(－∞，0). ∴函数中，有解得x<1且x≠－1. 故函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1). 2.(2025·哈尔滨三中月考)已知函数f(x)＝的定义域是R，则实数a的取值范围是(　　) A.(，＋∞) B.(－12，0] C.(－12，0) D.(－∞，] B　解析：因为函数f(x)＝的定义域是R，所以ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立.当a＝0时，显然成立；当a≠0时，需Δ＝a2＋12a<0，解得－12<a<0.综上所述，实数a的取值范围为(－12，0]. 3.函数f(x)＝＋ln x的定义域是 . 答案：(0，＋∞)　解析：要使函数有意义，需满足 即x＞0.所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞). 4.已知函数f(2x＋1)的定义域为[－1，1)，则函数f(1－x)的定义域为 . 答案：(－2，2]　解析：由函数f(2x＋1)的定义域为[－1，1)，则有2x＋1∈[－1，3)，令－1≤1－x<3，解得－2<x≤2. 1.具体函数的定义域问题 已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可. 2.抽象函数的定义域问题 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域. 考点 求函数的解析式(讲练融通) 【例1】 (1)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)； (2)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x). 解：(1)方法一：待定系数法　因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c. 因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，所以解得 所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R). 方法二：换元法　令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝， 所以f(t)＝4()2－6×＋5＝t2－5t＋9(t∈R)， 所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R). 方法三：配凑法　因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9， 所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R). (2)由f(－x)＋2f(x)＝2x，① 得f(x)＋2f(－x)＝2－x，② ①×2－②，得3f(x)＝2x+1－2－x， 即f(x)＝. 故f(x)的解析式是f(x)＝(x∈R). 求函数解析式的三种常用方法 待定 系数法 当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式 换元法 如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式 解方程 组法 如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式 【练1】 (2025·黄冈质检)已知f(1－sin x)＝cos2x，则f(x)＝ . 答案：－x2＋2x，x∈[0，2]　解析：令t＝1－sinx， ∴t∈[0，2]，sin x＝1－t， ∴f(t)＝1－sin2x＝1－(1－t)2＝－t2＋2t，t∈[0，2]， ∴f(x)＝－x2＋2x，x∈[0，2]. 【练2】已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝ . 答案：x2－x＋2(x∈R)　解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2， 又f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1， ∴即∴f(x)＝x2－x＋2(x∈R). 考点 分段函数的应用(多维贯通) 考向1　函数求值问题 【例2】 (2024·上海卷)已知函数f(x)＝，则f(3)＝ . 答案：　解析：因为3>0，所以f(3)＝. 求分段函数的函数值的方法 先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值. 【练3】 已知函数f(x)＝，则f(－2 025)＝ . 答案：－2　解析：由题意可知，f(－2 025)＝f(－2 022)＝…＝f(－3)＝f(0)＝log3(0＋1)－2＝－2. 考向2　与方程结合问题 【例3】 已知a∈R，函数f(x)＝若f(f())＝3，则a＝ . 答案：2　解析：由题意得f()＝()2－4＝2. ∴f(f())＝f(2)＝|2－3|＋a＝3，解得a＝2. (1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参. (2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值. 【练4】 设函数f(x)＝若f(f())＝4，则a＝ . 答案：－　解析：∵＜1，∴f＝2×－a＝－a. 当－a＜1，即a＞－时， f＝f＝2×－a＝1－3a＝4， 解得a＝－1，与a＞－矛盾，舍去； 当－a≥1，即a≤－时，f＝f＝2－a＝4， 则－a＝2，即a＝－，满足a≤－. 所以a＝－. 考向3　求解不等式问题 【例4】 设函数f(x)＝则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是(　　) A.(－∞，－1] B.(0，＋∞) C.(－1，0) D.(－∞，0) D　解析：函数f(x)的图象如图所示. 结合图象知，要使f(x＋1)＜f(2x)，则需或 解得x＜0，所以x的取值范围是(－∞，0). 　　涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解. 【练5】 (2025·重庆质检)已知函数f(x)＝则f(x)<f(x＋1)的解集为 . 答案：　解析：由题意可得当x≤0时， x＋1≤1，f(x)<f(x＋1)， 等价于x2－1<(x＋1)2－1，解得－<x≤0； 当0<x≤1时，x＋1>1， 此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0， ∴当0<x≤1时，恒有f(x)<f(x＋1)； 当x>1时，f(x)<f(x＋1)⇔log2x<log2(x＋1)恒成立. 综上可知，不等式f(x)<f(x＋1)的解集为. 微专题系列之数学探究——函数新定义问题 [对应学生用书P18] 【例】 (多选)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数.给出下列函数中是一阶整点函数的是(　　) A.f(x)＝sin 2x B.g(x)＝x3 C.h(x)＝()x D.φ(x)＝ln x [思维过程] 明确目标→判断所给函数是否是一阶整点函数. 提取信息→n阶整点函数的定义. 建立联系→从分析所给函数是否满足n阶整点函数满足的条件来判断. 思路导引→对于A，函数f(x)＝sin 2x的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数；对于B，函数g(x)＝x3的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数；对于C，函数h(x)＝()x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数；对于D，函数φ(x)＝ln x只经过一个整点(1，0)，所以它是一阶整点函数. 答案：AD 破解新定义函数问题的关键 (1)仔细阅读，分析定义以及新函数所满足的条件，围绕定义与条件来确定解题的方向，然后准确作答. (2)若某些题目给出的新函数是以熟知的初等函数为背景定义的，则可阅读材料，分析有关信息，联想旧知，进行转换，然后解决问题. 【练1】 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1，3}的同族函数有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C　解析：由x2＋1＝1得x＝0，由x2＋1＝3得x＝±，所以函数的定义域可以是{0，}，{0，－}，{0，，－}，故值域为{1，3}的同族函数共有3个. 【练2】 具有性质f()＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数：①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝ 其中满足“倒负”变换的函数是(　　) A.①③ B.②③ C.①②③ D.①② A　解析：对于①，f()＝－x＝－f(x)，满足题意；对于②，f()＝＋x＝f(x)，不满足题意；对于③，f()＝即f()＝ 故f()＝－f(x)，满足题意.综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. [课时作业(五)见P311] 学科网（北京）股份有限公司 $$