第1章 第4节 基本不等式（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第4节　基本不等式 课标解读 1.掌握基本不等式≤(a，b≥0). 2.能用基本不等式解决简单的最值问题. [对应学生用书P12] 1.基本不等式 如果a≥0，b≥0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立. 称为a，b的算术平均值，称为a，b的几何平均值. 2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤()2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (1)在运用基本不等式及其变形时一定要注意验证等号是否成立. (2)要多次运用基本不等式才能求出最后结果的题目切记等号成立的条件要一致. 3.利用基本不等式求最值 当x，y均为正数时，下面的命题均成立： (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值； (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值2. 此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(　　×　　) (2)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R).(　　√　　) (3)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.(　　√　　) (4)函数y＝x＋的最小值是2.(　　×　　) (5)x＞0且y＞0是＋≥2的充分不必要条件.(　　√　　) 2.(多选)若a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　) A.＋≥2 B.ab≤ C.≥()2 D.≤ BC　解析：当<0时，A不成立； 当ab<0时，D不成立.故选BC. 3.已知x>1，则x＋的最小值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 答案：B　 4.已知某直角三角形的面积等于50 cm2，当两条直角边的长度各为 cm时，两条直角边的和最小，最小值是 cm. 答案：10　20 5.已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为 . 答案： 6.若a，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为 . 答案：[9，＋∞) [对应学生用书P13] 考点 利用基本不等式求最值问题(多维贯通) 考向1　利用拼凑法求最值 【例1】 函数y＝(x>1)的最小值为 . 答案：2＋2　解析：因为x>1，所以x－1>0，所以y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2，当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立. 拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键. 【练1】 设0<x<，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为(　　) A. B.4 C. D.9 C　解析：y＝4x(3－2x)＝2·2x·(3－2x)≤2·＝， 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号.∵∈(0，)， ∴当x＝时，ymax＝. 【练2】 (2024·绍兴二模)若正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，则x＋y的最小值是(　　) A. B. C.2 D.2 A　解析：由x2－2xy＋2＝0可得y＝＋，所以x＋y＝x＋＋＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x＝时，等号成立， 所以x＋y的最小值为.故选A. 考向2　利用常值代换法求最值 【例2】 函数f(x)＝loga(2x－1)＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－2＝0上，其中m(n－1)>0，则＋的最小值为(　　) A.2 B.3 C.8 D.9 D　解析：由2x－1＝1，得x＝1，即f(1)＝1，故A(1，1).因为点A在直线mx＋ny－2＝0上，m>0，所以m＋(n－1)＝1，且m>0，n－1>0.＋＝[m＋(n－1)]·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当n－1＝2m＝时，等号成立，即＋的最小值为9.故选D. 常数代换法利用基本不等式求最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值. 【练3】 (2025·广州模拟)已知a>0，b>0，3a＋＝1，则＋3b的最小值为(　　) A.13 B.19 C.21 D.27 D　解析：＋3b＝＝3＋12＋＋9ab≥15＋2＝27，当且仅当＝9ab，即a＝，b＝6时，等号成立，故＋3b的最小值为27.故选D. 考向3　利用消元法求最值 【例3】 (2025·辽宁五校联考)已知正实数a，b满足ab－b＋1＝0，则＋4b的最小值是 . 思 维 导 引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算等学科素养 思路点拨 先将已知等式变形，可得a＝1－，然后将a消元代入可得＋4b＝＋4(b－1)＋5，再利用基本不等式求出最值即可 答案：9　解析：由ab－b＋1＝0可得a＝1－，由a＝1－>0且b>0得b>1，所以＋4b＝＋4b＝＋4(b－1)＋5.易知＋4(b－1)≥4，所以＋4b≥9，当且仅当＝4(b－1)，即b＝，a＝时等号成立，故＋4b的最小值是9. 消元法利用基本不等式求最值的技巧 消元法，即先根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式，再进行最值的求解.有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但应注意各个元的范围. 【练4】 若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(　　) A. B. C. D. A　解析：因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，所以y＝.由即解得0<x<1.所以x＋2y＝x＋＝＋≥2 ＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立.故x＋2y的最小值为. 考点 利用基本不等式解实际问题(讲练融通) 【例4】 某厂家拟在2025年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2025年生产该产品的固定投入为8万元.每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大值. 思维 导引 学科素养 本题主要考查数学建模、逻辑推理等学科素养 思路点拨 (1)由m＝0求出k的值，利润＝销售收入－产品成本－促销费用，写出利润关于年促销费用的函数； (2)分析产品利润表达式，利用基本不等式求解 解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1， ∴1＝3－k，即k＝2，∴x＝3－， 每万件产品的销售价格为1.5×万元， ∴2025年的利润y＝1.5x×－8－16x－m＝4＋8x－m＝4＋8(3－)－m＝－[＋(m＋1)]＋29(m≥0). (2)∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8， ∴y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1，即m＝3时，ymax＝21(万元). 故该厂家2025年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，为21万元. 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. 【练5】 为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.经测算，该技术处理总成本y(单位：万元)与处理量x(单位：吨)(x∈[120，500])之间的函数关系可近似表示为y＝ 若要使每吨的平均处理成本最低，则处理量x等于(　　) A.120吨 B.200吨 C.240吨 D.400吨 D　解析：由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为 S＝ 当x∈[120，144)时，S＝x2－80x＋5 040＝(x－120)2＋240，当x＝120时，S取得最小值240； 当x∈[144，500]时，S＝x＋－200≥ 2－200＝200， 当且仅当x＝，即x＝400时取等号，此时S取得最小值200，综上，当每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低.故选D. 微专题系列之数学探究——基本不等式与其他知识的综合 [对应学生用书P15] 【例】 (1)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是 . (2)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是 . [思维过程] 明确目标→两题均为求代数式的最小值. 提取信息→(1)直线过圆心； (2)数列为等差数列且已知首项和公差均为1. 建立联系→(1)由直线过圆心，得到定值1＝b＋c； (2)结合等差数列的首项和公差求得其前n项和及通项公式，进而得到关于n的代数式. 思路导引→(1)圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，得x2＋(y－1)2＝6，所以圆心为C(0，1).因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1， 所以＋＝(b＋c)(＋)＝＋＋5.因为b，c>0，所以＋≥2＝4， 当且仅当b＝2c，即b＝，c＝时，取等号， 所以＋≥4＋5＝9，即＋的最小值为9. (2)由题意得an＝a1＋(n－1)d＝n， 所以Sn＝， 所以＝＝(n＋＋1)≥(2＋1)＝， 当且仅当n＝4时取等号. 所以的最小值是. 答案：(1)9　(2) 与其他知识交汇的最值问题的解题策略 基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是： (1)先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点； (2)用基本不等式求最值，要有用基本不等式求最值的意识； (3)检验等号是否成立，完成后续问题. 【练】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为 . 答案：9　解析：方法一　依题意画出图形，如图所示. ∵BD是∠ABC的平分线， ∠ABC＝120°，∴∠ABD＝∠DBC＝60°. 易知S△ABD＋S△BCD＝S△ABC，即c sin 60°＋a sin 60°＝ac sin 120°，∴a＋c＝ac，∴＋＝1， ∴4a＋c＝(4a＋c)(＋)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝，c＝3时等号成立. 方法二　以B为原点，BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则D(1，0).由题意知，AB＝c，BC＝a，∠ABD＝∠CBD＝60°， ∴A(，c)，C(，－a). ∵A，D，C三点共线，∴∥， ∴(1－)(－a)＋c(－1)＝0， ∴ac＝a＋c，∴＋＝1， ∴4a＋c＝(4a＋c)(＋)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝，c＝3时等号成立. [课时作业(四)见P308] 学科网（北京）股份有限公司 $$