第1章 第3节 不等式性质与一元二次不等式（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第3节　不等式性质与一元二次不等式 课标解读 1.理解不等式的概念，掌握不等式的性质. 2.结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系. 3.了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 4.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. [对应学生用书P7] 1.实数a，b大小的比较，有以下基本事实 2.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 2 可加性 a>b⇒a＋c>b＋c 可逆 3 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc c的符号 a>b，c<0⇒ac<bc 4 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 不可逆 5 同向 同正 可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；a>b>0，c<d<0⇒ac<bd 不可逆 6 可开方性 a>b>0⇒> n∈N＋，n≥2 特殊地，当a>b>0时，an>bn，其中n∈N＋，n≥2. 两个同向不等式可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3，但2×(－1)>(－1)×(－3)不成立. 3.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠－} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 4.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 5.简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)， |x|<a(a>0)的解集为(－a，a). 解不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)时不要忘记a＝0时的情形. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一个不等式的两边同时加上或乘以同一个数，不等号方向不变.(　　×　　) (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小.(　　×　　) (3)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　√　　) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　×　　) 2.设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　) A.M ＞N B.M ≥N C.M＜N D.M≤N 答案：A 3.(多选)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是(　　) A.a＜b B.> C.> D.ac3<bc3 ABC　解析：因为y＝x在(0，＋∞)上单调递增， 所以a＜b，A正确； 因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以>，B正确； 因为－＝>0，所以>，C正确； 当c＝0时，ac3＝bc3，所以D不正确. 4.若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则a＋b＝ . 答案：－14　解析：依题意知 解得 ∴a＋b＝－14. 5.(2025·江苏扬州中学月考)若关于x的一元二次不等式ax2＋ax－1<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 . 答案：(－4，0)　解析：依题意知即 ∴－4<a<0. [对应学生用书P9] 考点 不等式的性质及应用(自主练通) 1.若b＜a＜0，则下列不等式：①|a|＞|b|；②a＋b＜ab；③＜2a－b中，正确的不等式有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 C　解析：由b＜a＜0知|b|>|a|，a＋b＜0＜ab，而(a－b)2＞0，则有a2＋b2＞2ab，即＜2a－b，即②③都正确. 2.(多选)下列四个条件，能推出＜成立的有(　　) A.b＞0＞a B.0＞a＞b C.a＞0＞b D.a＞b＞0 ABD　解析：因为＜等价于－＝＜0，当a＞b，ab＞0时，＜成立，故B，D正确.又正数大于负数，A正确，C错误. 3.(2024·淮北二模)已知a，b∈R，下列命题正确的是(　　) A.若ab＝1，则a＋b≥2 B.若<，则a>b C.若a>b，则ln (a－b)>0 D.若a>b>0，则a＋>b＋ D　解析：当a＝－1，b＝－1时，a＋b＝－2，所以A错误； 当a<0，b>0时，a<b，所以B错误； 当a＝2，b＝1时，ln (a－b)＝0，所以C错误； 若a>b>0，则>>0，则a＋>b＋成立，所以D正确. 故选D. 4.(多选)(2024·辽宁模拟预测)若a，b>0，则使“a>b”成立的一个充分条件可以是(　　) A.< B.|a－2|>|b－2| C.a2b＋b>a＋ab2 D.ln (a2＋1)>ln (b2＋1) AD　解析：对于A，因为a，b>0，所以<，即a>b，选项A正确； 对于B，a＝1<2＝b满足|a－2|>|b－2|，选项B错误； 对于C，a2b＋b>a＋ab2⇔(ab－1)(a－b)>0，当ab<1时，a<b，选项C错误； 对于D，ln (a2＋1)>ln (b2＋1)⇔a2>b2⇔(a＋b)·(a－b)>0，因为a，b>0，所以a>b，选项D正确.故选AD. 比较大小的方法 (1)作差法：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论. (2)作商法：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论. (3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小. (4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论. 考点 一元二次不等式的解法(多维贯通) 考向1　不含参数的一元二次不等式的解法 【例1】 (1)(2024·上海卷)不等式x2－2x－3<0的解集为 . (2)求不等式0<x2－x－2≤4的解集. (1)(－1，3)　解析：由x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)<0，得－1<x<3. (2)解：原不等式等价于 即 即 解得 借助于数轴，如图所示， 原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2<x≤3}. 解一元二次不等式的步骤 【练1】 (多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，则下列说法正确的是(　　) A.a>0 B.不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－4} C.不等式cx2－bx＋a<0的解集为 D.a＋b＋c>0 AC　解析：关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为(－∞，－3]∪[4，＋∞)，所以二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口方向向上，即a>0，故A正确； 对于B，方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3，4， 由根与系数的关系得 解得 bx＋c>0⇔－ax－12a>0，因为a>0，所以x<－12， 所以不等式bx＋c>0的解集为， 故B错误； 对于C，由选项B可知 所以cx2－bx＋a<0⇔－12ax2＋ax＋a<0⇔12x2－x－1>0⇔x<－或x>， 所以不等式cx2－bx＋a<0的解集为 ，故C正确； 对于D，a＋b＋c＝a－a－12a＝－12a<0，故D错误. 考向2　含参数的一元二次不等式的解法 【例2】 解不等式x2－(a＋1)x＋a<0. 思维 导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算等学科素养 思路点拨 将二次三项式因式分解，通过比较根的大小解不等式 解：原不等式可化为(x－a)(x－1)<0. 当a>1时，原不等式的解集为{x|1<x<a}； 当a＝1时，原不等式的解集为∅； 当a<1时，原不等式的解集为{x|a<x<1}. 【变式】 将本例中的不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)，求此不等式的解集. 解：不等式可化为(ax－1)(x－1)<0， 因为a>0，所以a(x－)(x－1)<0. 当a>1时，解得<x<1；当a＝1时，解集为∅； 当0<a<1时，解得1<x<. 综上，当0<a<1时，此不等式的解集为；当a＝1时，此不等式的解集为∅；当a>1时，此不等式的解集为. 解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； (2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集. 【练2】 解关于x的不等式(x－1)(ax－a＋1)>0. 解：①当a＝0时，原不等式可化为x－1>0， 即x>1； 当a≠0时，(x－1)(ax－a＋1)＝0的两根分别为1，1－. ②当a>0时，1－<1， ∴原不等式的解为x>1或x<1－. ③当a<0时，1－>1， ∴原不等式的解为1<x<1－. 综上，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}； 当a>0时，原不等式的解集为 ； 当a<0时，原不等式的解集为. 考点 一元二次不等式的恒成立问题(多维贯通) 考向1　在实数集R上的恒成立问题 【例3】 若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，2] B.[－2，2] C.(－2，2] D.(－∞，－2) C　解析：当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，对一切x∈R恒成立. 当a≠2时，则 即解得－2<a<2. 综上，实数a的取值范围是(－2，2]. 一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是 【练3】 (2024·厦门二模)“b∈(0，4)”是“∀x∈R，bx2－bx＋1>0成立”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A　解析：由∀x∈R，bx2－bx＋1>0成立，则当b＝0时，1>0恒成立，即b＝0符合题意； 当b≠0时，解得0<b<4， 因此∀x∈R，bx2－bx＋1>0成立时，0≤b<4. 因为(0，4)[0，4)，所以“b∈(0，4)”是“∀x∈R，bx2－bx＋1>0成立”的充分不必要条件. 故选A. 考向2　在给定区间上的恒成立问题 【例4】 若对任意的x∈[－1，2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是(　　) A.(－∞，－3] B.(－∞，0] C.[1，＋∞) D.(－∞，1] A　解析：方法一　令f(x)＝x2－2x＋a， 则由题意得解得a≤－3. 方法二　当x∈[－1，2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，则由题意得a≤(－x2＋2x)min(x∈[－1，2]).而－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则当x＝－1时，(－x2＋2x)min＝－3，所以a≤－3. 给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)若f(x)>0在给定区间上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围. (2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a. 【练4】 (2025·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　) A.[－1，3] B.(－∞，－1] C.[3，＋∞) D.(－∞，－1)∪(3，＋∞) D　解析：不等式x2＋px>4x＋p－3 可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0， 由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)， 令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)， 可得 ∴解得x<－1或x>3. 微专题系列之数学应用——一元二次不等式的实际应用问题 [对应学生用书P11] 【例】 某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120(0≤t≤24)吨. (1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？ (2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？ [思维过程] 明确目标→(1)供水几小时蓄水池存水量最少； (2)24小时内有几小时供水紧张. 提取信息→(1)蓄水池存有400吨水； (2)水厂每小时注水60吨； (3)t小时内供水总量为120吨. 建立联系→(1)蓄水池存水量＝400＋t小时注水量－t小时供水量； (2)根据蓄水池水量<80吨建立不等式并求解. 思路导引→(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨， 则y＝400＋60t－120. 令＝x， 则x2＝6t，x∈[0，12]， 即y＝400＋10x2－120x ＝10(x－6)2＋40， 所以当x＝6， 即t＝6时，ymin＝40， 即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨. (2)依题意400＋10x2－120x<80， 得x2－12x＋32<0， 解得4<x<8， 即4<<8，<t<， 因为－＝8， 所以每天约有8小时供水紧张. 求解不等式应用题的四个步骤 (1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型； (3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义； (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的效果. 【练】 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成.要求售价不能低于成本价. (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围. 解：(1)由题意，得y＝f(x)＝100(1－)·100(1＋x). 因为售价不能低于成本价，所以100(1－)－80≥0，得0≤x≤2. 所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，定义域为x∈[0，2]. (2)由题意，得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤.又0≤x≤2， 所以x的取值范围是. [课时作业(三)见P306] 学科网（北京）股份有限公司 $$