第1章 第1节 集 合（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第1节　集　合 课标解读 1.了解集合的含义及特征，理解元素与集合的属于关系. 2.理解集合间的基本关系. 3.理解并掌握集合的基本运算. [对应学生用书P1] 1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示. (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N＋(或N*) Z Q R 2.集合的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A). (2)真子集：对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). (3)相等：对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作A＝B. (4)空集：不含任何元素的集合叫作空集，记作∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. ∅是集合，不含任何元素；{0}含有一个元素0；{∅}含有一个元素∅，且∅∈{∅}和∅⊆{∅}都正确. 3.集合的基本运算 　　表示 运算　　 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A， 或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A， 且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U， 且x∉A} ∁UA 补集∁UA是针对给定的集合A和U(A⊆U)相对而言的一个概念，一个确定的集合A，对于不同的集合U，它的补集不同. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.(　　×　　) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(　　×　　) (3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(　　×　　) (4){x|x≤1}＝{t|t≤1}.(　　√　　) (5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　　×　　) 2.已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为(　　) A.{－1} B.{1} C.{－1，1} D.{－1，0，1} 答案：D 3.(多选)(2025·湖北武汉中学月考)若集合A＝{x∈N|2x＋10>3x}，则下列结论正确的是(　　) A.2∉A B.8⊆A C.{4}∈A D.{0}⊆A AD　解析：A＝{x∈N|2x＋10>3x}＝{x∈N|x<10}，N表示自然数.2为非自然数，∴2∉A，故A正确；“∈”是描述集合与元素间的关系，应为8∈A，故B错误；“⊆”是描述集合与集合间的关系，应为{4}⊆A，故C错误，D正确. 4.(北师版必修第一册P9T1改编)若集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝(　　) A.{x|2≤x<4} B.{x|3≤x<4} C.{x|2<x<4} D.{x|3<x<4} 答案：B 5.(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x＋1∈A}，则A∩B＝(　　) A.{1，2，3} B.{3，4，9} C.{1，2，3，4} D.{2，3，4，5} C　解析：由题意可知B＝{0，1，2，3，4，8}，A∩B＝{1，2，3，4}，故选C. 6.(北师版必修第一册P11T2改编)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝ . 答案：{x|x≤2或x≥10} [对应学生用书P2] 考点 集合的含义与表示(自主练通) 1.若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　) A. B. C.0 D.0或 D　解析：当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝. 2.(2022·全国乙卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则(　　) A.2∈M B.3∈M C.4∉M D.5∉M A　解析：由题知M＝{2，4，5}，对比选项知，A正确，B，C，D错误，故选A. 3.(2025·天津模拟)若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝ . 答案：0或1　解析：①当a－3＝－3时，解得a＝0， 此时A＝{－3，－1，－4}； ②当2a－1＝－3时，解得a＝－1， 此时A＝{－4，－3，－3}舍去； ③当a2－4＝－3时，解得a＝±1，由②可知a＝－1舍去，则当a＝1时，A＝{－2，1，－3}， 综上，a＝0或1. 4.已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b，0}，则a2 025＋b2 025＝ . 答案：－1　解析：由已知得a≠0，则＝0， 所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1. 又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去， 因此a＝－1，故a2 025＋b2 025＝(－1)2 025＋02 025＝－1. 与集合中元素有关问题的求解思路 (1)确定集合的元素特征，即集合是数集，也是点集. (2)看清元素的限制条件. (3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，但要检验参数是否满足集合元素的互异性. 考点 集合间的基本关系(自主练通) 1.(2024·北京三模)已知集合A＝{x|ln x<1}，若a∉A，则a可能是(　　) A. B.1 C.2 D.3 D　解析：由ln x<1，得0<x<e，则A＝{x|0<x<e}，∁RA＝{x|x≤0或x≥e}， 由a∉A，得a∈∁RA，显然选项ABC不满足，D满足.故选D. 2.已知集合A＝，B＝{x－x2≥0}，则下列结论一定正确的是(　　) A.B⊆A B.AB C.A∩B＝[1，＋∞) D.A∪B＝R B　解析：∵A＝＝{x|0≤x<1}＝[0，1)，B＝＝， ∴A∩B＝＝A，A∪B＝＝B，∴AB.故选 B. 3.(2024·重庆三模)已知集合A＝{x|x2－1＝0}，集合B＝{a＋1，a－1，3}，若A⊆B，则a＝(　　) A.－1 B.0 C.1 D.2 B　解析：集合A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，集合B＝{a＋1，a－1，3}， 若A⊆B，又a＋1>a－1，所以解得a＝0.故选B. 判断集合间关系的常用方法 列举法 根据题中限制条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，找出集合之间的关系 结构法 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断 数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合(集合为数集)，比较端点之间的大小关系，从而确定集合间的关系 考点 集合的基本运算(多维贯通) 考向1　集合交、并、补运算 【例1】 (1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝(　　) A.{－1，0} B.{2，3} C.{－3，－1，0} D.{－1，0，2} (2)(2025·八省高考综合改革适应性演练)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝(　　) A.{0} B.{1} C.{0，1} D.{－1，0，1，4} (1)A　(2)C　解析：(1)方法一(直接法)　因为A＝{x|－5<x3<5}＝{x|－<x<}，B＝{－3，－1，0，2，3}，所以A∩B＝{－1，0}，故选A. 方法二(验证法)　因为(－3)3＝－27<－5，(－1)3＝－1∈(－5，5)，03＝0∈(－5，5)，23＝8>5，33＝27>5，所以－1∈A，0∈A，－3∉A，2∉A，3∉A，所以A∩B＝{－1，0}，故选A. (2)由题意可得A∩B＝{0，1}. 集合的基本运算问题的解题策略 (1)看元素组成.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提. (2)对集合化简.有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决. (3)数形结合的应用.集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图. 【练1】 若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝(　　) A. B. C. D. D　解析：因为M＝{x|0≤x<16}，N＝，故M∩N＝，故选 D. 【练2】 设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝(　　) A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x≤3} C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4} C　解析：A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝{x|1≤x<4}. 【练3】 已知全集U＝{－3<x<3}，集合A＝{－2<x≤1}，则∁UA＝(　　) A.(－2，1] B.(－3，－2)∪[1，3) C.[－2，1) D.(－3，－2]∪(1，3) D　解析：由补集定义可知∁UA＝{x|－3<x≤－2或1<x<3}，即∁UA＝(－3，－2]∪(1，3)，故选D. 考向2　利用集合的运算求参数的值(范围) 【例2】 (1)已知集合A＝{1，a}，B＝{x|log2x<1}，且A∩B有2个子集，则实数a的取值范围为(　　) A.(－∞，0] B.(0，1)∪(1，2] C.[2，＋∞) D.(－∞，0]∪[2，＋∞) (2)(2025·临沂月考)已知集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，若M∩N≠∅，则实数a的取值范围是(　　) A.[－1，2) B.(－∞，2] C.[－1，＋∞) D.(－1，＋∞) (1)D　(2)D　解析：(1)由题意得，B＝{x|log2x<1}＝{x|0<x<2}，∵A∩B有2个子集，∴A∩B中的元素个数为1；∵1∈(A∩B)，∴a∉(A∩B)，即a∉B，∴a≤0或a≥2，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[2，＋∞). (2)M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，且M∩N≠∅，结合数轴可得a＞－1. 利用集合的运算求参数的注意点 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的取舍情况. (2)运算过程中要注意集合间的特殊关系，灵活使用这些关系，会使运算简化. 【练4】 已知A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，若A∩(∁RB)≠∅，则实数a的取值范围是(　　) A.[1，2] B.(1，2) C.(－∞，1]∪[2，＋∞) D.(－∞，1)∪(2，＋∞) D　解析：因为A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}， 所以∁RB＝{x|a－1<x<a＋1}. 又A∩(∁RB)≠∅， 所以a－1<0或a＋1>3， 解得a<1或a>2， 所以实数a的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞). 【练5】 (2025·郑州高考适应性测试)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为 . 答案：5　解析：由A∩B＝A，故A⊆B，所以B≠∅，所以m≥0.由|x－3|≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，故即即m≥5，即m的最小值为5. 微专题系列之数学探究——集合中的新定义问题 [对应学生用书P4]　　　　　　　　　　　　　　　　 新定义集合问题是指给出全新的数学概念、公式、运算、法则等，在此背景下完成某种推理或指定要求的集合问题.此类题难度一般中档或中偏高档，意在考查学生处理新问题的能力、转化与化归能力以及运算求解能力.解决新定义集合问题的思路：从新情境中获取信息，以集合问题中新定义为核心和纽带，理清集合问题中新定义的具体内容，搭建相关的集合知识网络，将其运用到新的情境中，促进知识技能的迁移和应用. 【例】 给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论： ①集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合.其中正确结论是 .(填序号) [思维过程] 明确目标→判断结论的正误. 提取信息→新定义闭集合A的特征：任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A. 建立联系→闭集合满足对实数加法、减法的封闭性，由此来分析三个结论是否满足加法、减法的封闭性从而判断结论正误. 思路导引→①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以①不正确； ②中，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确； ③中，令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但3k＋k∉(A1∪A2)，故A1∪A2不是闭集合，所以③不正确. 答案：② 以集合为背景的新定义问题的解题要点 (1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中. (2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素. 【练1】 设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x＜1}，Q＝{x||x－2|＜1}，那么P－Q＝(　　) A.{x|0＜x＜1} B.{x|0＜x≤1} C.{x|1≤x＜2} D.{x|2≤x＜3} B　解析：由log2x＜1，得0＜x＜2，所以P＝{x|0＜x＜2}.由|x－2|＜1，得1＜x＜3，所以Q＝{x|1＜x＜3}.由题意得P－Q＝{x|0＜x≤1}. 【练2】 设U为全集，对集合A，B定义运算“*”，A*B＝∁U(A∩B)，若X，Y，Z为三个集合，则(X*Y)*Z＝(　　) A.(X∪Y)∩∁UZ B.(X∩Y)∪∁UZ C.(∁UX∪∁UY)∩Z D.(∁UX∩∁UY)∪Z B　解析：∵X*Y＝∁U(X∩Y)，∴对于任意集合X，Y，Z，(X*Y)*Z＝∁U(X∩Y)*Z＝∁U[∁U(X∩Y)∩Z]＝(X∩Y)∪∁UZ. [课时作业(一)见P303] 学科网（北京）股份有限公司 $$