课时作业(20)　任意角、弧度制与任意角的三角函数（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(二十)　任意角、弧度制与任意角的三角函数 [基础保分练] 1．角－870°的终边所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 C　解析：设扇形的半径为r(r>0)，弧长为l，则由扇形面积公式可得2＝lr＝|α|r2＝×4×r2，解得r＝1，l＝|α|r＝4，所以所求扇形的周长为2r＋l＝6. 3．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　解析：由题意知tan α<0，cos α<0，故sin α>0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限． 4．(多选)下列说法正确的有(　　) A．经过30分钟，钟表的分针转过π弧度 B．1°＝rad C．若sin θ>0，cos θ<0，则θ为第二象限角 D．若θ为第二象限角，则为第一或第三象限角 CD　解析：对于A，经过30分钟，钟表的分针转过－π弧度，不是π弧度，故A错误； 对于B，1°化成弧度是rad，故B错误； 对于C，由sin θ>0，可得θ为第一、第二象限及y轴正半轴上的角，由cos θ<0，可得θ为第二、第三象限及x轴负半轴上的角，取交集可得θ是第二象限角，故C正确； 对于D，若θ是第二象限角， 则2kπ＋<θ<2kπ＋π(k∈Z)， 则kπ＋<<kπ＋(k∈Z)， 所以为第一或第三象限角，故D正确． 5．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是(　　) A．(－2，3] B．(－2，3) C．[－2，3) D．[－2，3] A　解析：因为cos α≤0，sin α>0， 所以角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上． 所以解得－2<a≤3. 6．(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α以O为顶点，以Ox为始边，终边经过点P(－1，m)(m>0)，则下列各式的值一定为负的是(　　) A．sin α＋cos α B．sin α－cos α C．sin αcos α D． CD　解析：由已知得r＝|OP|＝， 则sin α＝ >0， cos α＝－ <0，tan α＝－m<0， ∴sin α＋cos α的符号不确定， sin α－cos α>0，sin αcos α<0，＝cos α<0. 7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题： [三三]今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？ [三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步．问为田几何？ 翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步．问这块田面积是多少？ [三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步．问这块田面积是多少？ 则下列说法正确的是(　　) A．问题[三三]中扇形的面积为240平方步 B．问题[三四]中扇形的面积为平方步 C．问题[三三]中扇形的面积为60平方步 D．问题[三四]中扇形的面积为平方步 B　解析：依题意，问题[三三]中扇形的面积为lr＝×30×＝120平方步，问题[三四]中扇形的面积为lr＝×99×＝平方步． 8．(2025·山东日照一中月考)已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形面积为________． 答案：3π　解析：∵120°＝，l＝αr， ∴r＝＝＝3， ∴S＝lr＝×2π×3＝3π. 9．在直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A(，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为__________． 答案：(－1，)　解析：依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，设点B坐标为(x，y)，则x＝2cos 120°＝－1，y＝2sin 120°＝，即B(－1，). 10．已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，求cos α，tan α的值． 解：由题设知P(－，m)， 所以r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O为原点)， 即r＝，因为sin α＝＝＝， 所以r＝＝2， 即3＋m2＝8，解得m＝±. 当m＝时，r＝2，x＝－，y＝， 所以cos α＝＝－，tan α＝－；当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，所以cos α＝＝－，tan α＝. [技能提分练] 11．已知△ABC为锐角三角形，且A为最小角，则点P(sin A－cos B，3cos A－1)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 A　解析：因为A为△ABC的最小角， 所以A＜，则＜cos A＜1，3cos A－1＞＞0. 因为△ABC为锐角三角形， 所以A＋B＞，从而有0＜－B＜A＜， 所以sin A＞sin (－B)＝cos B， 即sin A－cos B＞0，所以点P位于第一象限． 12．(多选)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P(－3，4)为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y＝－x对称，则(　　) A．cos (π＋α)＝ B．β＝2kπ＋＋2α(k∈Z) C．tan β＝ D．角β的终边在第一象限 ACD　解析：因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，4)， 所以|OP|＝5，所以sin α＝，cos α＝－，所以cos (π＋α)＝－cos α＝，故A正确； 又sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－， cos 2α＝cos2α－sin2α＝2－2＝－， 所以2α的终边与单位圆的交点坐标为， 因为角β的终边与角2α的终边关于直线y＝－x对称，所以角β的终边与单位圆的交点为， 所以tanβ＝，且β的终边在第一象限，故C，D正确； 又因为终边在直线y＝－x上的角为kπ－，k∈Z，角2α的终边与角β的终边关于y＝－x对称， 所以＝kπ－，即β＝2kπ－－2α(k∈Z)，故B错误．故选ACD. 13．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有32齿，小轮有18齿．当小轮转动两周时，大轮转动的角度为________rad；如果小轮的转速为180转/分，大轮的半径为16 cm，则大轮周上一点每1秒转过的弧长为________cm. 答案：　 54π　解析：小轮转动两周时，大轮转动的角度为×2π＝(rad)；如果小轮的转速为180转/分，则大轮的转速为180÷2×＝(rad/min)；又大轮半径为16 cm，则大轮周上一点每1秒转过的弧长为×16÷60＝54π(cm). 14．已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，求阴影部分面积S1，S2的大小关系． 解：设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，则＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP，∴S1＝tm·r－S扇形AOB，S2＝tm·r－S扇形AOB，∴S1＝S2恒成立． 15．(2025·广东佛山模拟)若角α的终边落在直线y＝x上，角β的终边与单位圆交于点，且sin α·cos β<0，求cos α·sin β的值． 解：由角β的终边与单位圆交于点，得cos β＝，又由sin α·cos β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y＝x上，所以角α只能是第三象限角．记P为角α的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x<0，y<0)，则|OP|＝1(O为坐标原点)，即x2＋y2＝1，又由y＝x得x＝－，y＝－，所以cos α＝x＝－.因为点在单位圆上，所以＋m2＝1，解得m＝±，所以sin β＝±，所以cos α·sin β＝±. [素养拉分练] 16.如图，单位圆Q的圆心初始位置在点(0，1)，圆上一点P的初始位置在原点，圆沿x轴正方向滚动．当点P第一次滚动到最高点时，点P的坐标为__________；当圆心Q位于点(3，1)时，点P的坐标为__________． 答案：(π，2)　(3－sin 3，1－cos 3)　解析：当点P第一次滚动到最高点时，点P向右滚动了圆的半个周长π，因此点P的坐标为(π，2)； 当圆心Q位于Q′(3，1)时，作辅助线如图，＝OM＝3，则∠PQ′M＝3，点P的横坐标为3－sin (π－3)＝3－sin 3，纵坐标为1＋cos (π－3)＝1－cos 3. 学科网（北京）股份有限公司 $$