课时作业(17)　利用导数证明不等式（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

令学科网书城 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时作业（十七）利用导数证明不等式 [基础保分练] 1.已知函数=anx-x(a∈R) (1)讨论x)的单调性： (2)若a=1,，证明：fx)>1ex一1x一x2 (1)解：由题易知fx)的定义域为0，+∞)， f(x)=ax-2x=a-2x2x 当a≤0时，f)<0恒成立， 因此x)在(0，十∞)上单调递减： 当a>0时，令fx)>0,得0<x<a2: 令f<0,得x>a2 故)在(0，a2)上单调递增， 在(a2,+∞)上单谓递减 综上所述，当a≤0时，x)在(0，十∞)上单调递减： 当a>0时，x)在(0，a2)上单调递增， 在(a2),十∞)上单调递减 (2)证明：当a=1时，fx)=lnx-x2, 不等式fx)>lex-lx-x2,即nx+lx>lex, 令ge)=nx十lx,则g9=x一x2=x-Ix2 令g'x)=0,得x=1 所以当x∈(0,1)时，gx)0,gx)单调递减： 当x∈(1，+∞)时，g'(x)>0,gx)单调递增 所以gx)≥g1)=1.又当x>0时，1x<1, 所以lnx+lx>lex,故原不等式得证 2.已知fx=xlnx (1)求函数x)的极值： (2)证明：对一切x∈(0，+o),都有ln>1ex-2ex成立. (1)解：由x)=xnx,x>0, 得fx)=nx+1,令fx)=0,得x=le 当xElalvsa4 alcol0,y1e)时，fx0,fx)单调递减； 当x∈lavs4 alcolt1e,+oo时，fxP0,f)单调递增 所以当x=1e时，x)取得极小值， fx)极小值=favs4 alcol(fle))=一1e,无极大值 ·独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)证明：问题等价于证明 xln>xex-2e,x∈(0，+o) 由(I)可知x)=xnxc∈(O,+o)》的最小值是-1e,当且仅当x=1e时取得 设x)=xex-2e,x∈(0，+o), 则m'(x)=1一x,由m(x0,得x>1,此时mx)单调递减；由m'x)>0,得0x<1,此 时mx)单调递增，易知mmx=m(1)=一1e,当且仅当x=1时取得.从而对一切x∈(0，十o), xlnx≥-le≥xex一2e,两个等号不同时取到，所以对一切x∈(0，+oo),都有ln>lex-2ex 成立 3.(2025湖北武汉月考)己知函数)=x-2alnx-1x(a∈R) (I)讨论函数fx)的单调性： (2)若x1,2为函数x)的两个极值点，证明：fe1)一f2x1一x2>2一4a (1)解：fx)=x2-2a+1x2,x>0, 令x2-2m+1=0,=4a2-4, 当4≤0，即一1≤a≤1时，fx)≥0， fx)在(0，+∞)上单调递增： 当4>0，即a>1或a<-1时， ①当a<-1时，一2a>0,fx)>0,fx)在(0，十∞)上单调递增： ②当a>1时，令fx)=0,得=a-a2-1,龙=a十a2-1,f(x),fx)随x的变化情况 如下， (0,1) 前 (X2) X2 2,十) f() + 0 0 × Ax) 递增 极大值 递减 极小值 递增 综上，当a≤1时，x)在(0，+∞)上单调递增； 当a>1时，fx在(0，a-a2-D,(a十a2-1,+o∞)上单调递增，在(a-a2-1,a十a2-1 )上单调递减 (2)证明：由(1)知a>1时x)有两个极值点，x2: 且十x2=2a,x2=1,不妨设x2>1>x1>0, 则f在l)一f2x1一x2= x1-2a In x1-f(lx2-2a In x2-f 1x2)x1-x2= x1-x2x1-x2xIx2x1-x2=2-x1x2x1-x2. 要证f在l)一f2x1一x2>2-4a,即证xlx2x1一x2<2, 即22 In xlx2<2,nx-x2十Ix2<0, ·独家授权侵权必究。 令学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 设g(0=lnt-t+I>1), 由(1)知当a=12时，x)在(0，十∞)上单调递增， g(0=一0，则g(0在(1，+)上单调递减， ·g(0<g1)=0.原式得证 「技能提分练] 4.已知函数f)=x+1x,gx)=2十nx)2证明： (1)两函数图象有且只有一个公共点： (2y*=。k+1k-t=。k+1)>n0n+1)(meN) 证明：(1)令hx)=x+1x-(nx)2-2, 则h'6x)=1-1x2-2nx1x=1x 令ox)=x-1x-2nx, 则o'(x)=1+1x2-2x=x2-2x十1x2=在-1)2x2≥0 ∴.x)在(0，+∞)上单调递增，注意到(1)=0， ∴.当0<x<1时，ox)<0,hx)<0,hx)单调递减： 当x>1时，0x>0,h'(x)>0,hc)单谓递增： hx)≥h1)=0,当且仅当x=1时等号成立， .两函数图象有且只有一个公共点 (2)由(1)知x+1x-n)2-2≥0对任意的x>0恒成立， ∴.nx)2≤c-1ire)2, 当x>1时，nx<x-1r,取x=k+lk,k=1,2,,n,k∈N', lnk+1k<k+1-k欧+1少， .k+I-k+1>n(k+1)-lnk, ∴.=n(k+1-k+)>=[n(k+1)-ln, ∴=nk十l9-=n从十)>n(n十1)n∈N),得证 5.已知函数f)=xe一x. (1)讨论x)的单调性； (2)证明：当x>0时，x)-lnx≥1 (1)解：由题意得fx)=(x+1)e-1, 设g=c+1)e,则g'x)=(x+2)e, 当x≤一1时，gxr)≤0，x0, x)在（一∞，一1刂上单调递减 当x>一1时，g'6x>0,gx)单谓递增， 又因为g0)=1, ·独家授权侵权必究 令学科网书城 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以当0时，gx)1,即f(x)0, 当x0时，gx少l,即fx)>0, 综上可知，)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增 (2)证明：要证x)-lnx≥1， 即证xe-x-lnx≥l, 即证e+血x一(x十lnx)≥l, 令1=x+lnx,易知t∈R,待证不等式转化为 e-t>1 设(t)=c-t,则(0=e-1, 当0时，(0)0，当0时，(0>0， 故(0在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单谓递增 所以(0≥(0)=1，原命题得证 [素养拉分练] 6已知函数x=xlnx一2+x(a∈R) (1)证明：曲线y=x)在点(1,1)处的切线1恒过定点： (2)若x)有两个零点x1,2,且x2>2,证明：2122x十x>4e 证明：(1fx)=lnx-2m+2, 则f(1)=2-2a,即切线斜率为2-2a 又1)=1-a, 则切线1的方程为y-(1一a)=(2-2a)x一1)， 即y=(2-2a)x-12), 可得当x=12时，y=0, 故切线1恒过定点(12,0) (2),是x)的零点， 2>2x1,且>0，x2>0, 则2122x1mx1-十x1=0,x2bmx2-am十x2=0,即mx1+1=a1,mx2+1=2,) ,∴.a=mx1+lnx2+2xI十x2=lnx2一In xIx.2-xl, 即lnx3十2=x1+x2x1x2-x1, 令t=x2xl,则t>2,则1n2十2=(t+imt-1, 令g0=(t+1)mt一1，则g0=1tt-1, 令ht0=t-1t-2nt, 则h(0=1一1)22>0，则h0在(2，+∞)上单调递增， .h(0>h2)=32-2n2>0, ·独家授权侵权必究。 享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 即g'(④>0，则g(0在(2，十∞)上单调递增， .g(0>g2)=3ln2, .'In xx2+2>3In 2,In xx2>3In 2-2=In 8e2, 即2>8e2, 则2122x十x>2x1x2>4(由于x≠2，故不取等号)，得证 ◆独家授权侵权必究