课时作业(14)　导数的概念与运算（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(十四)　导数的概念与运算 [基础保分练] 1.(2024·横峰中学月考)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A.f′(xA)＞f′(xB) B.f′(xA)＜f′(xB) C.f′(xA)＝f′(xB) D.不能确定 B　解析：由导数的几何意义可知，f′(xA)，f′(xB)分别是曲线在点A，B处的切线斜率，由函数图象可知f′(xA)＜f′(xB). 2.(2024·来宾模拟预测)曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线y＝f(x)，其在点(x0，f(x0))处的曲率K＝，其中f′(x)是f(x)的导函数，f′′(x)是f′(x)的导函数.则抛物线x2＝2py(p>0)上的各点处的曲率最大值为(　　) A.2p B.p C. D. C　解析：由题可知抛物线方程为x2＝2py，则 y′＝，y″＝，则该抛物线在各点处的曲率K＝， 当x＝0时，K取最大值.故选C. 3.(2024·长沙二模)已知 m>0，n>0，直线 y＝x＋m 与曲线 y＝2ln x－n＋4 相切，则 ＋ 的最小值是(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 D　解析：由于直线 y＝x＋m 与曲线 y＝2ln x－n＋4 相切， 设切点为(x0，y0)，且y′＝，所以＝，则切点横坐标x0＝e，则y0＝2＋m＝2－n＋4，即m＋n＝4.(m＋n)·＝2＋＋≥2＋2＝4，即＋≥1，当且仅当 m＝n＝2时，等号成立，所以＋ 的最小值为1.故选D. 4.(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D. A　解析：f′(x)＝，所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，(－，0)，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝，故选A. 5.已知函数f＝－x3＋3x，则过点可作曲线y＝f的切线的条数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 C　解析：因为f(x)＝－x3＋3x， 所以f′(x)＝－3x2＋3， 设切点为， 所以在切点处的切线方程为 y＝－3－a3＋3a， 又在切线上， 所以－9＝－3－a3＋3a， 即－9＝3·－a3＋3a， 整理得2a3＋9a2＝0，解得a1＝0或a2＝－， 所以过点可作曲线y＝f(x)的切线的条数为2.故选C. 6.(多选)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是(　　) A.f′(3)>f′(2) B.f′(3)<f′(2) C.f(3)－f(2)>f′(3) D.f(3)－f(2)<f′(2) BCD　解析：f′(x0)的几何意义是f(x)在x＝x0处切线的斜率.由题图知f′(2)>f′(3)>0， 故A错误，B正确. 设A(2，f(2))，B(3，f(3))， 则f(3)－f(2)＝＝kAB， 由题图知f′(3)<kAB<f′(2)， 即f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)，故C，D正确. 7.已知曲线y＝ln x在x＝et处的切线为l，点M(－1，t)到切线l的距离为d，则d的最大值为(　　) A.1 B.2 C. D. D　解析：由y＝ln x求导得y′＝，所以切线l的斜率为e－t，又＝ln et＝t， 所以切线l的方程为y－t＝e－t， 即x－ety＋et＝0， 所以d＝＝＝＝≤， 当且仅当t＝0时取等号，故d的最大值为.故选 D. 8.(2024·南通二模)已知f(x)＝x3－x2，当h→0时，→________. 答案：1　解析：由导数的定义知，f′(1)＝ ，由f′(x)＝3x2－2x，得f′(1)＝1，所以→1. 9.(2024·山东济南模拟)已知直线y＝ax－1与曲线y＝a ln x＋2相切，则a＝________. 答案：3　解析：对y＝a ln x＋2求导得y′＝，设切点为，则解得故答案为3. 10.我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设f(x)＝ex2，则f′(x)＝________，其在点(0，1)处的切线方程为________. 答案：　y＝1　解析：∵f(x)＝， 故f′(x)＝(x2)′＝2x， 则f′(0)＝0.故曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y＝1. 11.曲线f(x)＝(x3－mx)ex-1在点(1，f(1))处的切线与直线x－4y－1＝0垂直，则该切线的方程为__________. 答案：4x＋y－1＝0　解析：由题意得f′(x)＝(x3＋3x2－mx－m)ex-1， 则f′(1)＝4－2m，所以切线的斜率k1＝4－2m. 直线x－4y－1＝0的斜率k2＝. 因为两直线相互垂直， 所以k1k2＝(4－2m)＝－1，解得m＝4， 则k1＝f′(1)＝－4，f(x)＝(x3－4x)ex-1， 所以f(1)＝－3， 故该切线的方程为y＋3＝－4(x－1)， 即4x＋y－1＝0. 12.已知函数f(x)＝x3－3x. (1)求函数f(x)在[0，2]上的值域； (2)若过点(2，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围. 解：(1)∵f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x∈(1，2)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增. ∴f(x)在x＝1处取得极小值为f(1)＝－2， 又f(0)＝0，f(2)＝2， ∴f(x)在[0，2]上的值域为[－2，2]. (2)设切点为(x0，x－3x0)， 则切线斜率为k＝f′(x0)＝3x－3， 所以切线方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)， 又切线过点(2，t)， 则t－(x－3x0)＝(3x－3)(2－x0)， 整理得2x－6x＋6＝－t， 则曲线有三条切线方程等价于g(x0)＝2x－6x＋6与y＝－t有三个交点， g′(x0)＝6x－12x0＝6x0(x0－2)， 令g′(x0)＞0，解得x0＜0或x0＞2； 令g′(x0)＜0，解得0＜x0＜2， ∴g(x0)在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，在(0，2)上单调递减， ∴g(x0)在x＝0处取得极大值g(0)＝6，在x＝2处取得极小值g(2)＝－2， 要使g(x0)与y＝－t有三个交点， 则需满足－2＜－t＜6，解得－6＜t＜2. [技能提分练] 13.曲线y＝e2x上的点到直线2x－y－4＝0的最短距离是(　　) A. B. C. D.1 A　解析：由y＝e2x，得y′＝2e2x， 设曲线在P(x0，)处的切线与直线2x－y－4＝0平行，则2＝2，解得x0＝0，切点P(0，1).曲线y＝e2x上的点到直线2x－y－4＝0的最短距离即为切点P到直线2x－y－4＝0的距离d＝＝. 14.已知函数y＝f(x)的图象是经过原点的曲线(非直线)，且在原点处的切线方程为y＝x，请写出一个符合条件的函数y＝f(x)的解析式____________. 答案：y＝ex－1(答案不唯一)　解析：由题意可知，f(0)＝0，f′(0)＝1，取f(x)＝ex－1， f′(x)＝ex，此时f(0)＝e0－1＝0，f′(0)＝1，故符合条件. 15.若函数f(x)＝ex－2x的图象在点(x0，f(x0))处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b的最小值为________. 答案：－2－　解析：由已知，得切点为(x0，－2x0)，f′(x)＝ex－2，所以f′(x0)＝－2， 则y＝f(x)的图象在(x0，f(x0))处的切线的斜率为k＝－2， 则所求切线的方程为y＝(－2)(x－x0)＋－2x0， 即y＝(－2)x－x0＋， 则k＝－2，b＝－x0＋， 则k－b＝x0－2， 对于函数y＝xex－2，有y′＝ex(x＋1)， 当x＜－1时，y′＜0；当x＞－1时，y′＞0. 所以函数y＝xex－2在x＝－1处取得极小值，即最小值为－2－，即k－b的最小值为－2－. 16.已知曲线C1：y＝ex＋m，C2：y＝x2，若恰好存在两条直线l1，l2与C1，C2都相切，求实数m的取值范围. 解：由题意知，l1，l2的斜率存在，设直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2， 设l1与C1，C2的切点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 故k1＝－k1， 整理得m＝ln k1－－1， 同理可得，当直线l2：y＝k2x＋b2与C1，C2都相切时， 有m＝ln k2－－1， 综上所述，只需m＝ln k－－1(k>0)有两解， 令f(k)＝ln k－－1，则f′(k)＝－＝， 故当f′(k)>0时，0<k<4， 当f′(k)<0时，k>4， 所以f(k)在(0，4)上单调递增， 在(4，＋∞)上单调递减， 故f(k)max＝f(4)＝ln 4－－1＝2ln 2－2， 所以只需满足m<2ln 2－2即可. 17.已知函数f(x)＝ax3－x2＋bx＋c(a≠0，且a，b，c∈R)在x＝0处取得极值－1. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)判断是否存在实数a使得函数f(x)的图象与直线x－y－2＝0相切，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 解：(1)因为f′(x)＝3ax2－2x＋b，且f′(0)＝0，f(0)＝－1，得b＝0，c＝－1， 故f(x)＝ax3－x2－1，f′(x)＝3ax2－2x， 当a＞0时，f(x)，f′(x)随a的变化情况如下， (－∞，0) (0，) (，＋∞) f′(x) ＋ － ＋ f(x) 递增 递减 递增 即函数f(x)单调递增区间为(－∞，0)和(，＋∞)，单调递减区间为(0，). 当a＜0时，f(x)，f′(x)随a的变化情况如下， (－∞，) (，0) (0，＋∞) f′(x) － ＋ － f(x) 递减 递增 递减 即函数f(x)单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(－∞，)和(0，＋∞). (2)假设存在实数a使得函数f(x)的图象与直线x－y－2＝0相切，设切点的坐标为P(t，t－2)(t∈R)， 可得f(t)＝at3－t2－1＝t－2， f′(t)＝3at2－2t＝1， 消掉a，可得t2＋2t－3＝0，解得t＝1或－3. 当t＝1时，得a＝1；当t＝－3时，得a＝－. 综上，存在实数a＝1或－使得函数f(x)的图象与直线x－y－2＝0相切. [素养拉分练] 18.(2024·海口二模)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)是偶函数，当x<时，f(x)＝ln (1－2x)，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为(　　) A. B.－ C.2 D.－2 C　解析：因为f(x＋1)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2－x)＝f(x)， 当x>时，2－x<，∴f(2－x)＝ln [1－2(2－x)]＝ln (2x－3)，∴f(x)＝ln (2x－3)，则f′(x)＝， ∴f′(2)＝2，即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处切线的斜率为2. 故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $$