课时作业(12)　函数与方程（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(十二)　函数与方程 [基础保分练] 1.设f(x)是区间[－1，1]上的增函数，且f(－)·f()<0，则方程f(x)＝0在区间(－1，1)内(　　) A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根 C.有唯一的实数根 D.没有实数根 C　解析：∵f(x)在区间[－1，1]上是增函数，且f(－)·f()<0，∴f(x)在区间(－，)上有唯一的零点. ∴方程f(x)＝0在区间(－1，1)内有唯一的实数根. 2.函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是(　　) A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5) B　解析：函数f(x)＝ln x－在(1，＋∞)上单调递增，且在(1，＋∞)上连续. 因为f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3－1＞0， 所以f(2)·f(3)＜0， 所以函数的零点所在的区间是(2，3). 3.若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　) A.(2，＋∞) B.[2，＋∞) C. D. D　解析：由题意知方程ax＝x2＋1在上有实数解，即a＝x＋在上有解， 设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是. 所以实数a的取值范围是. 4.函数f(x)＝x3＋x2＋x＋c的零点个数为(　　) A.1 B.1或2 C.2或3 D.1或2或3 A　解析：因为函数f(x)＝x3＋x2＋x＋c， 所以f′(x)＝3x2＋2x＋1， 因为Δ＝4－12＝－8＜0，所以f′(x)>0， 从而f(x)＝x3＋x2＋x＋c在R上单调递增， 又当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞， 由零点存在性定理得，函数f(x)＝x3＋x2＋x＋c有且只有一个零点. 5.已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝ln x－的零点，则g(x0)等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 B 　解析：因为f(x)＝ln x－在定义域内单调递增，且f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，由零点存在定理可得2＜x0＜3，根据[x]表示不超过实数x的最大整数可知g(x0)＝2. 6.(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足f(x＋2)＝f(x)，则以下结论成立的是(　　) A.函数f(x)的周期T＝2 B.f(2 021)＝f(2 022)＝0 C.点(1，0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心 D.f(x)在[－2，2]上有4个零点 ABC　解析：定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为2，所以A正确； f(－1＋2)＝f(－1)， 即f(1)＝f(－1)＝－f(1)， 所以f(1)＝f(－1)＝0， 所以f(2 021)＝f(1)＝0， f(2 022)＝f(0)＝0，所以B正确； f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，C正确； f(x)在[－2，2]上有f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝0，有5个零点，所以D错误. 7.已知函数f(x)＝则关于x的方程f(x)－x＝0在[－2，2]上的根的个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 B　解析：根据题意得， f(x)＝ 分别作出y＝f(x)与y＝x的图象， 则根据图象可知，关于x的方程f(x)－x＝0在[－2，2]上的有4个根. 8.已知函数f(x)＝若函数f(x)存在零点，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，0) B.(0，＋∞) C.(－∞，1) D.(1，＋∞) B　解析：如图所示， 指数函数y＝2x>0，没有零点，y＝－x有唯一的零点x＝0，所以若函数f(x)存在零点，需f(x)＝－x(x<a)有零点，即0∈(－∞，a)，所以a>0. 9.已知函数f(x)＝若方程f(x)＝m恰有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是(　　) A.(0，3) B.[2，3) C.( D.1) D　解析：根据函数f(x)＝作出函数图象，如图所示， 方程f(x)＝m恰有三个不同的实数解，即函数f(x)的图象与y＝m的图象有三个交点，如图，f(－1)＝，当≤m＜1时，函数f(x)的图象与y＝m的图象有三个交点. 10.已知函数f(x)＝()x－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0<x1<x0，则f(x1)________f(x0).(填“>”“<”“≥”“≤”) 答案：>　解析：方法一　∵f(x)＝()x－log3x在(0，＋∞)上为减函数，且0<x1<x0， ∴f(x1)>f(x0). 方法二　如图可知，f(x1)>f(x0). 11.在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，求a的值. 解：在同一平面直角坐标系内作出直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的大致图象，如图所示. 由题意得2a＝－1，解得a＝－. 12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数y＝[x]，x∈R称为高斯函数，其中[x]表示不超过x的最大整数.设{x}＝x－[x]，求函数f(x)＝2x{x}－x－1的所有零点之和. 解：∵当x＝0时，f(0)＝－1；当x≠0时，令f(x)＝0，可得2{x}＝1＋，则函数y＝f(x)的零点，即为函数y＝2{x}与函数y＝1＋的图象交点的横坐标，作出函数y＝2{x}与函数y＝1＋(x≠0)的图象，如下图所示， 由图象可知，两函数除交点(－1，0)之外，其余的交点关于点(0，1)对称，所以，函数y＝f(x)的所有零点之和为－1. [技能提分练] 13.(多选)(2024·来宾模拟预测)已知定义在R上的函数f(x)满足2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y)，且f(0)≠0，则(　　) A.f(0)＝1 B.y＝f(x)为奇函数 C.y＝f(x)不存在零点 D.f(2x)＝f(x) ACD　解析：对于A，由2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y)，令x＝y＝0，可得2f2(0)＝2f(0)， 因为f(0)≠0，所以f(0)＝1，所以A正确； 对于B，函数f(x)的定义域为全体实数，由f(0)＝1，显然不符合f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)不是奇函数，所以B错误； 对于C，由2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y)，令y＝0，可得2f2(x)＝f(x)＋f(0)， 即2f2(x)－f(x)－1＝0，解得f(x)＝1或f(x)＝－，所以函数y＝f(x)没有零点，所以C正确； 对于D，由2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y)，令y＝x，可得2f(2x)f(0)＝f(x)＋f(x)，所以2f(2x)＝2f(x)，即f(2x)＝f(x)，所以D正确.故选AC D. 14.(多选)(2024·怀化二模)已知函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝x＋ln x的零点为x2，则(　　) A.x1＋x2>0 B.x1x2<0 C.ex1＋ln x2＝0 D.x1x2－x1＋x2>1 BC　解析：依题意，x1＋＝0⇔＝－x1，x2＋ln x2＝0⇔ln x2＝－x2， 则x1，x2分别是直线y＝－x与函数y＝ex，y＝ln x图象交点的横坐标， 而函数y＝ex与y＝ln x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称， 又直线y＝－x垂直于直线y＝x，则点(x1，)与点(x2，ln x2)关于直线y＝x对称， 则x2＝＝－x1>0，于是x1＋x2＝0，x1x2<0，＋ln x2＝0，BC正确，A错误； x1x2－x1＋x2－1＝(x1＋1)(x2－1)<0，即x1x2－x1＋x2<1，D错误.故选BC. 15.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x)f(1－x)＝1，则f()＝________.若m，n∈R且mn＝－1，记函数g(x)＝f(x)－1，则g(x)在[m，n]上最少存在________个零点. 答案：1　2　解析：令x＝，则f()f()＝1， 因为f(x)＞0，所以f()＝1， 又f(x)f(1－x)＝1⇒f(－x)f(1＋x)＝1， 因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(1＋x)＝1， 故f(1＋x)＝，所以f()＝＝1； 由题意知，mn＝－1，m＜0，n＞0，且n－m＝n＋≥2，当且仅当n＝1时，等号成立，说明区间[m，n]的长度大于等于2， 而g(x)＝f(x)－1，易知x＝k＋，k∈Z是g(x)的零点，而相邻零点的距离为1，故g(x)在[m，n]上最少存在2个零点. 16.已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x. (1)写出函数y＝f(x)的解析式； (2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围. 解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝x2＋2x.又因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x. 所以f(x)＝ (2)方程f(x)＝a恰有3个不同的解，即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点.作出y＝f(x)与y＝a的图象如图所示， 故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，只需－1<a<1， 故实数a的取值范围为(－1，1). [素养拉分练] 17.(2024·天津卷)若函数f(x)＝2－|ax－2|＋1恰有一个零点，则a的取值范围为________. 答案：(－，－1)∪(1，)　解析：①当a＝0时，f(x)＝2|x|－2＋1＝2|x|－1，令f(x)＝0，得2|x|＝1，x＝±，即f(x)有两个零点，不满足题意.②当a≠0时，令ax＝m，则2－|ax－2|＋1＝2－|m－2|＋1，由2－|m－2|＋1＝0可得2＝|m－2|－1，则|m－2|－1≥0，解得m≥3或m≤1.(i)若m≥3，则由2＝|m－2|－1可得2＝m－3，化简得＝＝1－＋＝9(－)2＋，令g(m)＝9(－)2＋，m≥3，则g(m)在[3，9)上单调递减，在(9，＋∞)上单调递增，又g(3)＝，g(9)＝，当m→＋∞时，g(m)→1，作出g(m)的大致图象如图所示.(ii)若m≤1，因为x＝0不是f(x)的零点，所以m≠0.由2＝|m－2|－1可得2＝1－m，化简得＝＝1＋＋＝(＋1)2，令h(m)＝(＋1)2，m≤1且m≠0，则h(m)在(－∞，－1)，(0，1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，又h(－1)＝0，h(1)＝4，当m→－∞时，h(m)→1，当m→0时，h(m)→＋∞，作出h(m)的大致图象如图所示.数形结合可知，若f(x)恰有一个零点，则<<4，解得－<a<－1或1<a<，即a的取值范围为(－，－1)∪(1，). 学科网（北京）股份有限公司 $$