课时作业(10)　对数与对数函数（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(十)　对数与对数函数 [基础保分练] 1.(2024·衡水三模)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝，则A∩B＝(　　) A. B.{2，3，4} C.{2，3} D. B　解析：B＝＝{x|≤x≤＋1}，又A＝{1，2，3，4，5}，故A∩B＝{2，3，4}.故选B. 2.已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的图象可能是(　　) C　解析：由lg a＋lg b＝0，得ab＝1. ∴f(x)＝a－x＝＝bx， 因此f(x)＝bx与g(x)＝logbx单调性相同. A，B，D中的函数单调性相反，只有C的函数单调性相同. 3.(2024·湖北模拟预测)已知函数f(x)＝则f(log212)＝(　　) A. B. C. D. A　解析：f(log212)＝f(log212－1)＝f(log26)＝f(log26－1)＝f(log23)＝2log23＋＝3＋＝.故选A. 4.(2024·天津卷)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a B　解析：由函数y＝4.2x单调递增可知，0<a<1<b，又c＝log4.20.2<0，故b>a>c.故选B. 5.(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A.3N2＝2N1 B.2N2＝3N1 C.N＝N D.N＝N D　解析：由题意，得＝2.1，＝3.15.若S不变， 则2.1ln N1＝3.15ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以N＝N. 6.(多选)(2024·河南三模)已知函数f(x)＝lg (1－x)，则(　　) A.f(x)的定义域为(－∞，1) B.f(x)的值域为R C.f(－1)＋f(－4)＝1 D.y＝f(x2)的单调递增区间为(0，1) ABC　解析：对A，B，由1－x>0，得x<1，则f(x)的定义域为(－∞，1)，值域为R，A，B正确； 对C，f(－1)＋f(－4)＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，C正确； 对D，因为f(x2)＝lg (1－x2)，所以y＝lg u，外层函数为增函数，u＝1－x2，令1－x2>0，所以函数定义域为(－1，1)，内层函数u＝1－x2，在(－1，0)上单调递增，(0，1)上单调递减，所以y＝f(x2)的单调递增区间为(－1，0)，D错误.故选ABC. 7.lg 2－lg ＋eln 2＋()－－的值为______. 答案：3　解析：原式＝lg 2＋lg 5＋2＋2－2＝lg 10＋2＝3. 8.十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即ab＝N⇔b＝logaN.现已知2a＝6，3b＝36，则＝__________，＋＝__________. 答案：　1　解析：因为2a＝6，3b＝36，所以4a＝36，9b＝362， 即＝，a＝log26，b＝log336， 故＋＝＋＝log62＋log63＝1. 9.设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范围是________. 答案：(0，1)　解析：由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点(如图)， ∴ab＝1，0<c<lg 10＝1，∴abc的取值范围是(0，1). 10.已知f(x)＝log3(2＋x)－log3(2－x)， (1)判断函数f(x)的奇偶性并证明； (2)解不等式f(x)>1. 解：(1)由题意，因为f(x)＝log3(2＋x)－log3(2－x)， 所以解得－2<x<2， 所以函数f(x)的定义域为(－2，2)，关于原点对称， 因为f(－x)＝log3(2－x)－log3(2＋x)＝ －[log3(2＋x)－log3(2－x)]＝－f(x)， 所以函数f(x)为(－2，2)上的奇函数. (2)因为f(x)＝log3(2＋x)－log3(2－x)＝log3>1， 所以解得1<x<2， 所以不等式f(x)＞1的解集为(1，2). 11.是否存在实数a，使得f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2，4]上单调递增？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由. 解：设t＝ax2－x＝a(x－)2－. 若f(x)在[2，4]上单调递增， 则或解得a>1. ∴存在实数a满足题意， 即当a∈(1，＋∞)时，f(x)在[2，4]上单调递增. [技能提分练] 12.设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　) A.a＋b<ab<0 B.ab<a＋b<0 C.a＋b<0<ab D.ab<0<a＋b B　解析：∵a＝log0.20.3>log0.21＝0， b＝log20.3<log21＝0，∴ab<0. ∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4， ∴1＝log0.30.3>log0.30.4>log0.31＝0， ∴0<<1，∴ab<a＋b<0. 13.饮酒驾车、醉酒驾车是严重违反《道路交通安全法》的行为，将受到法律处罚.检测标准：“饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20 mg/100 ml，小于80 mg/100 ml的驾驶行为；醉酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于80 mg/100 ml的驾驶行为.”据统计，停止饮酒后，血液中的酒精含量平均每小时比上一小时降低20%.某人饮酒后测得血液中的酒精含量为100 mg/100 ml，若经过n(n∈N*)小时，该人血液中的酒精含量小于20 mg/100 ml，则n的最小值为(参考数据：lg 2≈0.301 0)(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 B　解析：经过n(n∈N*)小时，该人血液中的酒精含量为100×0.8n mg/100 ml，由题意得，100×0.8n＜20，即0.8n＜0.2，解得n＞log0.80.2＝＝＝≈≈7.2，所以n的最小值为8. 14.(多选)(2024·扬州模拟预测)已知a＝log23，b＝log32，则(　　) A.ab＝1 B.＋> C.＋>2 D.a＋ln b>1 ABCD　解析：对于A，ab＝log23×log32＝×＝1，故A正确； 对于B，＋＝≥＝2>，在这里a≠b，所以严格来说有＋>2>，故B正确； 对于C，＋＝ab＝b＋3a≥2＝2，在这里b≠3a，所以严格来说有＋>2，故C正确； 对于D，a＋ln b＝a＋ln ＝a－ln a，而a＝log23>1，定义f(x)＝x－ln x(x>1)，则f′(x)＝1－＝>0，从而f(x)＝x－ln x(x>1)单调递增，所以f(x)>f(1)＝1，所以f(a)＝a－ln a＝a＋ln b>1，故D正确.故选ABCD. 15.(多选)若实数a，b，c满足2a＝log2b＝log3c＝k，其中k∈(1，2)，则下列结论正确的是(　　) A.ab＜bc B.logab＜logbc C.a＜logbc D.cb＜ba ABC　解析：由条件可知，a∈(0，1)，b∈(2，4)，c∈(3，9)，且b＝2k，c＝3k， 所以ab∈(0，1)，bc＞1，即ab＜bc，故A正确； logab＜0，logbc＞0， 即logab＜logbc，故B正确； a＝log2k，logbc＝log2k3k＝log23， 因为k∈(1，2)，所以log2k＜log23，即a＜logbc，故C正确； cb＞32＝9，ba＜41＝4，即cb＞ba，故D不正确. 16.(2024·惠州模拟)若函数f(x)＝loga有最小值，则实数a的取值范围是________. 答案：(1，)　解析：令u＝x2－ax＋＝ ＋－， 则u有最小值－， 函数f(x)＝loga有最小值， 则解得1<a<，即实数a的取值范围为(1，). 17.在①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)－f(－x)＝0；③f(－2)＝－f(2)这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答. 已知函数f(x)＝log2(＋x)(a∈R)满足________. (1)求a的值； (2)若函数g(x)＝2f(－x)＋1－，证明：g(x2－x)≤. 若选择①f(x)＋f(－x)＝0， (1)解：因为f(x)＋f(－x)＝0， 所以log2(＋x)＋log2(－x)＝0， 所以log2[(＋x)(－x)]＝0， 所以x2＋a－x2＝1，解得a＝1. (2)证明：由(1)知，f(x)＝log2(＋x)，f(－x)＝log2(－x)， 所以g(x)＝2log2(－x)＋1－＝－x＋1－＝－x＋1， 所以g(x2－x)＝－(x2－x)＋1＝－x2＋x＋1＝ －(x－)2＋≤. 若选择②f(x)－f(－x)＝0， 因为f(x)－f(－x)＝0， 所以log2(＋x)－log2(－x)＝0， 所以＋x＝－x， 所以x＝0，a≥0，此时求不出a的具体值，所以不能选②. 若选择③f(－2)＝－f(2)， (1)解：因为f(－2)＝－f(2)， 所以log2(－2)＝－log2(＋2)， 所以(－2)(＋2)＝1， 所以4＋a－4＝1，所以a＝1. (2)证明：由(1)知，f(x)＝log2(＋x)，f(－x)＝log2(－x)， 所以g(x)＝＋1－＝－x＋1－＝－x＋1， 所以g(x2－x)＝－(x2－x)＋1＝－x2＋x＋1＝ －(x－)2＋≤. [素养拉分练] 18.(2024·上海卷)已知函数f(x)＝logax(a>0，a≠1). (1)若函数f(x)的图象过点(4，2)，求不等式f(2x－2)<f(x)的解集； (2)若存在x使得f(x＋1)，f(ax)，f(x＋2)依次成等差数列，求实数a的取值范围. 解：(1)∵f(x)的图象过点(4，2)，∴loga4＝2，解得a＝2. ∴f(x)＝log2x，显然其在定义域(0，＋∞)上单调递增， 由f(2x－2)<f(x)有，解得1<x<2. ∴原不等式的解集为{x|1<x<2}. (2)∵f(x＋1)，f(ax)，f(x＋2)依次成等差数列， ∴2f(ax)＝f(x＋1)＋f(x＋2)， 即2loga(ax)＝loga(x＋1)＋loga(x＋2)，x>0，a>0，且a≠1， 即loga(ax)2＝loga[(x＋1)(x＋2)]，由f(x)＝logax是单调函数得(ax)2＝(x＋1)(x＋2)，得a2＝＝2×()2＋3×＋1，x>0， 设t＝，则t>0，a2＝2t2＋3t＋1在t>0时有解，设g(t)＝2t2＋3t＋1，则g(t)在(0，＋∞)上单调递增，故g(t)>1，即a2>1，得a>1. ∴a的取值范围是(1，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$