课时作业(8)　幂函数与二次函数（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(八)　幂函数与二次函数 [基础保分练] 1.幂函数y＝f(x)经过点(27，3)，则f(x)是(　　) A.偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B.偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 C.奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增 D.奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 C　解析：依题意，设f(x)＝xα，将点(27，3)代入上式，则3＝27α，解得α＝，即f(x)＝x，所以该函数为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增. 2.若幂函数y＝xm是偶函数，且x∈(0，＋∞)时单调递减，则实数m的值可能为(　　) A.－2 B.－ C. D.2 A　解析：由题意，因为幂函数y＝xm是偶函数，且x∈(0，＋∞)时单调递减，∴m为负偶数，∴实数m的值可能为－2. 3.已知函数f(x)＝x-3，若a＝f(0.60.6)，b＝f(0.60.4)，c＝f(0.40.6)，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<c<b B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b B　解析：∵0.40.6<0.60.6<0.60.4， 又y＝f(x)＝x-3在(0，＋∞)上单调递减，∴b<a<c. 4.(多选)在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y(单位：kg)与时间x(单位：h)的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正确判断是(　　) A.在前三小时内，每小时的产量逐步增加 B.在前三小时内，每小时的产量逐步减少 C.最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同 D.最后两小时内，该车间没有生产该产品 BD　解析：由题图得，前三小时内，每小时的产量逐步减少，最后两小时均没有生产该产品. 5.(多选)已知函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，以下结论正确的是(　　) A.a<1 B.若x1x2≠0，则＋＝ C.f(－1)＝f(3) D.函数y＝f(|x|)有四个零点 ABC　解析：由题意，得(－2)2－4a＝4－4a>0，解得a<1，故A正确； 由根与系数的关系得，x1＋x2＝2，x1x2＝a， ＋＝＝，故B正确； 因为f(x)的对称轴为直线x＝1，点(－1，f(－1))，(3，f(3))关于对称轴对称，故C正确； 当a<0时，y＝f(|x|)只有两个零点，故D不正确. 6.(多选)已知幂函数f(x)＝xm2＋m－3，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都满足>0，若a，b∈R，且f(a)＋f(b)<0，则下列结论可能成立的有(　　) A.a＋b>0且ab<0 B.a＋b<0且ab<0 C.a＋b<0且ab>0 D.以上都可能 BC　解析：因为f(x)＝xm2＋m－3为幂函数，所以m2－m－1＝1， 解得m＝2或m＝－1. 依题意f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以m＝2，此时f(x)＝x3， 因为f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)， 所以f(x)＝x3为奇函数. 因为a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，所以f(a)<f(－b). 因为y＝f(x)为增函数，所以a<－b，所以a＋b<0. 当a＝0时，b<0，ab＝0；当a>0时，b<0，ab<0； 当a<0时，ab>0(b<0)或ab<0(0<b<－a)， 故B，C都有可能成立. 7.(多选)已知幂函数f(x)图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有(　　) A.该函数为增函数 B.该函数为偶函数 C.若x≥9，则f(x)≥3 D.若x2＞x1＞0，则＞f() AC　解析：设幂函数f(x)＝xα， 将点(4，2)代入函数f(x)＝xα得2＝4α， 则α＝.所以f(x)＝x， 显然f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，所以A正确； f(x)的定义域为[0，＋∞)，所以f(x)不具有奇偶性，所以B不正确； 当x≥9时，≥3，即f(x)≥3，所以C正确； 当0＜x1＜x2时， ()2－f2()＝ ()2－()2＝ －＝ ＝－＜0. 即＜f()成立，所以D不正确. 8.(2024·江苏海安高级中学模拟)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2，2]，则b－a的取值范围是________. 答案：[2，4]　解析：由f(x)＝x2－4x＋2＝2， 得x＝0或x＝4， 由f(x)＝x2－4x＋2＝－2，得x＝2， 由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[－2，2]. 若函数f(x)在区间[a，b]上单调， 则[a，b]＝[0，2]或[a，b]＝[2，4]， 此时b－a取得最小值2； 若函数f(x)在区间[a，b]上不单调，且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0，4]，所以b－a的最大值为4. 所以b－a的取值范围是[2，4]. 9.已知α∈{－2，－1，－，，1，2，3}，若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________. 答案：－1　解析：∵α∈{－2，－1，－，，1，2，3}，幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，∴α是奇数，且α＜0， ∴α＝－1. 10.已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值. 解：①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上单调递减， ∴f(x)min＝f(1)＝－2. ②当a>0时，f(x)＝ax2－2x图象开口方向向上，且对称轴为x＝. 当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0，1]内，∴f(x)在上单调递减，在上单调递增. ∴f(x)min＝f＝－＝－. 当>1，即0<a<1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0，1]的右侧，∴f(x)在[0，1]上单调递减. ∴f(x)min＝f(1)＝a－2. ③当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向下，且对称轴x＝<0，在y轴的左侧， ∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上单调递减. ∴f(x)min＝f(1)＝a－2. 综上所述，f(x)min＝ [技能提分练] 11.幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，则a－等于(　　) A.0 B.1 C. D.2 A　解析：因为BM＝MN＝NA， 点A(1，0)，B(0，1)，所以M(，)，N(，)， 分别代入y＝xa，y＝xb，得a＝log，b＝log， 所以a－＝log－＝0. 12.(多选)已知函数f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝x，则在(－2，0)上，下列函数中与f(x)单调性相同的是(　　) A.y＝－x2＋1 B.y＝|x| C.y＝e|x| D.y＝ BC　解析：由题意知函数f(x)在(－2，0)上单调递减.A中函数在(－2，0)上单调递增；B中函数在(－2，0)上单调递减；C中函数在(－2，0)上单调递减；D中函数在(－2，0)上单调递增. 13.(2024·北京八中月考)设关于x的方程x2－2mx＋2－m＝0的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________. 答案：7　解析：由题意，得 且Δ＝4m2－4(2－m)≥0， 解得m≤－2或m≥1， α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m2＋2m＋1， 令f(m)＝4m2＋2m＋1， 而f(m)图象的对称轴为直线m＝－， 且m≤－2或m≥1， 所以f(m)min＝f(1)＝7. 14.某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会.据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套.现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问： (1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？ 解：(1)每套丛书售价定为100元时， 销售量为15－0.1×100＝5(万套)， 此时每套供货价格为30＋＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元). (2)设每套丛书售价定为x元， 由解得0<x<150. 依题意，单套丛书利润 P＝x－(30＋)＝x－－30， 所以P＝－＋120. 因为0<x<150，所以150－x>0， 则(150－x)＋≥2＝2×10＝20， 当且仅当150－x＝，即x＝140时等号成立， 此时，Pmax＝－20＋120＝100(元). 所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元. [素养拉分练] 15.某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如下： 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量(单位：千瓦时) 高峰电价(单位：元/千瓦时) 50及以下的部分 0.568 50至200的部分 0.598 超过200的部分 0.668 低谷时间段用电价格表 低谷月用电量(单位：千瓦时) 低谷电价(单位：元/千瓦时) 50及以下的部分 0.288 50至200的部分 0.318 超过200的部分 0.388 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，求按这种计费方式该家庭本月应付的电费. 解：高峰时段的电费由两部分组成，前50千瓦时电费为(50×0.568)元，后150千瓦时为(150×0.598)元.低谷时段的电费由两部分组成，前50千瓦时电费为(50×0.288)元，后50千瓦时为(50×0.318)元.所以总电费为50×0.568＋150×0.598＋50×0.288＋50×0.318＝148.4(元). 学科网（北京）股份有限公司 $$