课时作业(7)　函数的奇偶性与周期性（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(七)　函数的奇偶性与周期性 [基础保分练] 1.(2024·北京三模)下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A.y＝ex B.y＝x－ C.y＝|x3| D.y＝cos x C　解析：对于A中，由指数函数的性质，可得函数y＝ex为非奇非偶函数，所以A错误； 对于B中，函数f(x)＝x－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，且f(－x)＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，所以B错误； 对于C中，函数f(x)＝|x3|的定义域为R关于原点对称，且满足f(－x)＝|－x3|＝|x3|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x3，在区间(0，＋∞)上单调递增，所以C正确； 对于D中，函数y＝cos x在区间(0，＋∞)上不是单调递增函数，所以D错误.故选C. 2.函数f(x)＝x＋＋1，f(a)＝3，则f(－a)的值为(　　) A.－3 B.－1 C.1 D.2 B　解析：由题意，得f(a)＋f(－a)＝a＋＋1＋(－a)＋＋1＝2，∴f(－a)＝2－f(a)＝2－3＝－1. 3.(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　) A.y＝f(|x|) B.y＝f(－x) C.y＝xf(x) D.y＝f(x)＋x BD　解析：由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证， A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数； B项，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数； C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数； D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数.可知BD正确. 4.(多选)已知f(x)为R上的偶函数，且f(x＋2)是奇函数，则(　　) A.f(x)的图象关于点(2，0)对称 B.f(x)的图象关于直线x＝2对称 C.f(x)的周期为4 D.f(x)的周期为8 AD　解析：∵f(x)为偶函数， ∴f(x)的图象关于y轴对称，f(－x)＝f(x)， 又∵f(x＋2)是奇函数， ∴f(－x＋2)＝－f(x＋2)， ∴f(2－x)＋f(x＋2)＝0， ∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)， ∴函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，f(x)为周期函数且周期为8. 5.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，在区间[－1，0)上单调递增，且f(x＋2)＝－f(x)，则有(　　) A.f()＜f()＜f(1) B.f(1)＜f()＜f() C.f(1)＜f()＜f() D.f()＜f(1)＜f() A　解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x). 又∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f()＝－f(－)， f(1)＝－f(－1)，f()＝f(－＋2)＝－f(－)， 又－1＜－＜－＜0，且函数在区间[－1，0)上单调递增， ∴f(－1)＜f(－)＜f(－)＜0， ∴－f(－1)＞－f(－)＞－f(－)， ∴f(1)＞f()＞f(). 6.(2024·上海卷)已知f(x)＝x3＋a，且f(x)是奇函数，则a＝________. 答案：0　解析：通解　因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即(－x)3＋a＝－(x3＋a)，得a＝0. 优解　因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝a＝0. 7.(2024·银川二模)已知函数f(x)＝(x－2a)lg (1－)的图象关于直线x＝b对称，则a＋b＝________. 答案：　解析：函数f(x)＝(x－2a)lg (1－)的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)， 由函数f(x)的图象关于直线x＝b对称，得f(x)的定义域关于数b对称， 则b＝＝，此时必有f(－1)＝f(2)，即(－1－2a)lg 2＝(2－2a)lg ，解得a＝， 此时f(1－x)＝lg ＝·lg＝(x－)lg ＝f(x)， 因此函数f(x)的图象关于直线x＝对称，即a＝，b＝满足题意，所以a＋b＝. 8.函数f(x)＝ax＋是偶函数，求实数a的值. 解：因为f(x)＝ax＋(x≠0)， 且f(x)是偶函数，则f(－x)＝f(x)， ∴－ax－＝ax＋， 整理得2a＋－＝0，即2a＝2， 所以实数a＝1. 9.函数f(x)满足对∀x∈R，有f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，当x∈(0，1)时，f(x)＝x2＋mx，若f＝，求m的值. 解：由f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)， 知f(x)的图象关于直线x＝1对称，f(x)的周期为4， ∴f＝f＝f＝， ∴＋m＝，解得m＝. 10.设函数f(x)的定义域为R，f(x)为偶函数，f(x＋1)为奇函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝a·2x＋b，若f(0)＋f(1)＝－4，求f的值. 解：由题意，因为f(x＋1)是奇函数，f(x)是偶函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，则f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数，则x＝0时，f(1)＝－f(1)，则f(1)＝0，由f(0)＋f(1)＝－4，可得f(0)＝－4，即f(2)＝－f(0)＝4，则解得所以f＝f＝f＝－f＝－f＝－＝4－4. [技能提分练] 11.若f(x)是R上的奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则下列结论： ①y＝|f(x)|是偶函数； ②对任意的x∈R都有f(－x)＋|f(x)|＝0； ③y＝f(－x)在(－∞，0]上单调递增； ④y＝f(x)f(－x)在(－∞，0]上单调递增. 其中正确结论的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 B　解析：∵f(x)是R上的奇函数， ∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|， 所以y＝|f(x)|是偶函数，故①正确； ∵f(x)是R上的奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0， 所以f(x)＝|f(x)|不一定成立，故②不正确； 因为f(x)是R上的奇函数， 且f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，从而y＝f(－x)在(－∞，0]上单调递减，故③不正确； 因为f(x)是R上的奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(x)≥f(0)＝0，因此y＝f(x)f(－x)＝－[f(x)]2在(－∞，0]上单调递增，故④正确. 12.(多选)已知奇函数f(x)的定义域为R，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，以下关于函数f(x)的说法正确的是(　　) A.f(x)满足f(8－x)＋f(x)＝0 B.8不是f(x)的一个周期 C.f(x)＝sin 是满足条件的一个函数 D.f(x)有无数个零点 ACD　解析：因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(4＋x)＝f(－x). 因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 所以f(4＋x)＝－f(x)，所以f(8＋x)＝－f(x＋4)＝f(x)， 所以8为f(x)的一个周期，故B不正确； 由f(8＋x)＝f(x)可得f(8－x)＝f(－x)＝－f(x)， 所以f(8－x)＋f(x)＝0，故A正确； f(x)＝sin 为奇函数满足f(x)＋f(－x)＝0，且一条对称轴为直线x＝2，故C正确； 由f(x)为奇函数且定义域为R知，f(0)＝0， 又f(x)为周期函数，所以f(x)有无数个零点，故D正确. 13.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在区间[1，2]上单调递减，令a＝ln 2，b＝，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是(　　) A.f(b)<f(c)<f(a) B.f(a)<f(c)<f(b) C.f(c)<f(b)<f(a) D.f(c)<f(a)<f(b) C　解析：依题意，定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋2)＝f(－x)，即函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(0)＝0. 又f(x)在区间[1，2]上单调递减，则f(x)在区间[0，1]上单调递增，则f(1)>0. 由0<a＝ln 2<1，得f(a)>f(0)＝0， b＝＝＝2， 则f(b)＝f(2)＝f(0)＝0， c＝log2＝－1， 则f(c)＝f(－1)＝－f(1)<0， 所以f(c)<f(b)<f(a). 14.设函数f(x)＝x|x|＋b，给出四个命题： ①y＝f(x)是偶函数； ②f(x)是实数集R上的增函数； ③b＝0，函数f(x)的图象关于原点对称； ④方程f(x)＝0有两个解. 其中正确命题的序号是______. 答案：②③　解析：∵f(x)＝x|x|＋b，f(－x)＝－x|x|＋b≠f(x)， ∴y＝f(x)不是偶函数，故①错误； ∵f(x)＝当x>0时，y＝x2＋b，单调递增， 当x≤0时，y＝－x2＋b，单调递增， 则f(x)在R上单调递增，故②正确； 当b＝0时，f(x)＝ f(x)关于原点对称，故③正确； 由②得，f(x)在R上单调递增，且图象与x轴只有一个交点，故f(x)＝0有一个解，故④错误.综上，正确命题的序号为②③. [素养拉分练] 15.若函数f(x)满足以下三个条件： ①f(x)的定义域是R，且其图象是一条连续不断的曲线； ②f(x)是偶函数； ③f(x)恰有3个零点. 请写出一个满足上述条件的函数f(x)＝______. 答案：(x2－1)·|x|(答案不唯一)　解析：若f(x)＝(x2－1)·|x|，则该函数的定义域是R，且图象连续，由f(－x)＝[(－x)2－1]·|－x|＝(x2－1)·|x|＝f(x)，f(x)为偶函数，且f(x)有3个零点0，1，－1，所以函数f(x)＝(x2－1)·|x|满足题意. 学科网（北京）股份有限公司 $$