课时作业(6)　函数的单调性与最值（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(六)　函数的单调性与最值 [基础保分练] 1.(多选)下列函数中在区间(0，1)上单调递减的是(　　) A.y＝x B.y＝21-x C.y＝ln (x＋1) D.y＝|1－x| BD　解析：A项，y＝x在(0，1)上单调递增， B项，y＝21-x＝2×()x在R上单调递减， C项，y＝ln (x＋1)在(0，1)上单调递增， D项，y＝|1－x|＝在(0，1)上单调递减. 2.函数f(x)＝1－(　　) A.在(－1，＋∞)上单调递增 B.在(1，＋∞)上单调递增 C.在(－1，＋∞)上单调递减 D.在(1，＋∞)上单调递减 B　解析：f(x)图象可由y＝－图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示. ∴函数f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递增. 3.(2024·西城区一模)已知函数f(x)＝若f(x)存在最小值，则c的最大值为(　　) A. B. C. D. A　解析：因为当－2<x<0时，f(x)＝x2＋x，图象为开口向上且以x＝－为对称轴的抛物线， 此时f(x)min＝f(－)＝－；当0≤x<c时，f(x)＝－，单调递减，此时令－＝－，得x＝， 所以c的取值范围为(0，]， 所以c的最大值为.故选A. 4.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　) A.f(π)＞f(－3)＞f(－2) B.f(π)＞f(－2)＞f(－3) C.f(π)＜f(－3)＜f(－2) D.f(π)＜f(－2)＜f(－3) A　解析：因为f(x)是偶函数， 所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2). 又因为函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 所以f(π)＞f(3)＞f(2)， 即f(π)＞f(－3)＞f(－2). 5.(多选)(2025·山东日照实验中学月考)已知函数f(x)＝x－(a≠0)，下列说法正确的是(　　) A.当a>0时，f(x)在定义域上单调递增 B.当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞) C.当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞) D.当a>0时，f(x)的值域为R BCD　解析：当a>0时，f(x)＝x－， 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). ∵f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故A错误； 又当x→－∞时，f(x)→－∞， 当x→0－时，f(x)→＋∞， ∴f(x)的值域为R，故D正确； 当a＝－4时，f(x)＝x＋， 由其图象(图略)可知，BC正确. 6.函数y＝＋3，x∈[4，5]的值域____________. 答案：　解析：由f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增， ∴y＝－＋3在[4，5]上单调递增. 又当x＝4时，y＝；当x＝5时，x＝. ∴函数y的值域为. 7.若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0的解集为________. 答案：　解析：由f(－x)＝－f(x)，知f(x)＝ex－e－x为奇函数，又易证在定义域R上f(x)是增函数，则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0等价于f(2x＋1)>－f(x－2)＝f(－x＋2)，则2x＋1>－x＋2，即x>，故不等式的解集为. 8.已知f(x)＝若函数f(x)的值域为[1，＋∞)，则a的最小值为______. 答案：－3　解析：由函数f(x)＝可得f(2)＝1，要使得函数f(x)的值域为[1，＋∞)，则满足解得－3≤a≤0，所以实数a的最小值为－3. 9.函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5. (1)求f(2)的值； (2)解不等式f(m－2)≥3. 解：(1)f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1，又f(4)＝5， ∴f(2)＝3. (2)f(m－2)≥f(2)，∴解得2＜m≤4，∴m的取值范围为(2，4]. 10.已知函数f(x)＝. (1)写出函数f(x)的定义域和值域； (2)证明：函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，并求f(x)在x∈[2，8]上的最大值和最小值. (1)解：定义域为{x|x≠0}.又f(x)＝1＋，所以值域为{y|y≠1}. (2)证明：设0<x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝(1＋)－(1＋)＝ －＝. 又0<x1<x2，所以x1x2>0，x2－x1>0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，在x∈[2，8]上，f(x)的最大值为f(2)＝2，最小值为f(8)＝. [技能提分练] 11.若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　) A.x＋y≥0 B.x＋y≤0 C.x－y≤0 D.x－y≥0 B　解析：原不等式可化为2x－5－x≤2－y－5y， 记函数f(x)＝2x－5－x， 则原不等式可化为f(x)≤f(－y). 又函数f(x)在R上单调递增， 所以x≤－y，即x＋y≤0. 12.若函数f(x)＝在R上为增函数，则实数b的取值范围是(　　) A.(，＋∞) B.[1，2] C.( D.(－∞，2] B　解析：f(x)＝在R上为增函数， ∴解得1≤b≤2， ∴实数b的取值范围是[1，2]. 13.(2025·衡阳一中月考)如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”.函数y＝－的值域为________，则与y是“同域函数”的一个解析式为________. 答案：[－1，1]　y＝2x－3，x∈[1，2]或y＝sin 2πx，x∈[1，2]或y＝3x-1－2，x∈[1，2](答案不唯一)　解析：因为y＝－， 所以x≥1且x≤2， 所以函数的定义域为[1，2]. 显然，函数y＝f(x)＝－在[1，2]上单调递增，所以f(x)∈[－1，1]，所以函数的值域为[－1，1]. 只要满足定义域为[1，2]，且值域为[－1，1]的函数均符合题意， 例如y＝sin 2πx，x∈[1，2]或y＝2x－3，x∈[1，2]或y＝3x-1－2，x∈[1，2]. 14.已知函数f(x)＝x3＋(a>0)的最小值为8，求实数a的值. 解：由x－a≥0，得x≥a，故函数的定义域为[a，＋∞).易知函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(a)＝a3＝8，解得a＝2. [素养拉分练] 15.已知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(x)＋f(y)＝f(xy)＋1对任意x∈(0，＋∞)都成立，写出一个满足以上特征的函数f(x)＝__________. 答案：1－log3x(答案不唯一)　解析：由题意可知，f(x)＋f(y)可变化为f(xy)的形式，由此可想到对数函数，又因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数且f(x)＋f(y)＝f(xy)＋1，所以满足条件的一个函数可取f(x)＝1－log3x. 16.函数g(x)＝ax＋2(a>0)，f(x)＝x2－2x，对∀x1∈[－1，2]，∃x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x0)成立，求a的取值范围. 解：若对∀x1∈[－1，2]，∃x0∈[－1，2]， 使g(x1)＝f(x0)成立，只需函数y＝g(x)的值域为函数y＝f(x)的值域的子集即可. 函数f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1，2]的值域为[－1，3]. 当a>0时，g(x)＝ax＋2单调递增， 可得其值域为[2－a，2＋2a]， 要使[2－a，2＋2a]⊆[－1，3]， 需 解得0<a≤， 综上，a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$