课时作业(4)　基本不等式（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(四)　基本不等式 [基础保分练] 1.(2024·北京西城二模)已知a∈R，b∈R.则“ab>1”是“a2＋b2>2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A　解析：当ab>1时，则a2＋b2≥2ab>2，当且仅当a＝b时等号成立，所以充分性成立， 取a＝－4，b＝1，满足a2＋b2>2，但ab<1，故必要性不成立， 所以“ab>1”是“a2＋b2>2”的充分不必要条件.故选A. 2.已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为(　　) A.　　　　　　　　　 B. C.－1 D.0 D　解析：f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号.又1∈，所以f(x)在上的最小值为0. 3.若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　) A.　　　 B.2 C.2　　　 D.4 C　解析：因为＋＝，所以a>0，b>0， 由＝＋≥2＝2， 得ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2. 4.(2024·滨州二模)下列命题中，真命题的是(　　) A.若a>b，则ac>bc B.若a>b，则a2>b2 C.若ac2≥bc2，则a≥b D.若a＋2b＝2，则2a＋4b≥4 D　解析：对于A，由a>b，c＝0可得ac＝bc，故A错误； 对于B，由a>0，b＜0，|a|＜|b|，可得a2＜b2，故B错误； 对于C，若ac2≥bc2，且当c＝0时，可得a，b为任意值，故C错误； 对于D，因为2a＋4b＝2a＋22b≥2＝2＝4，当且仅当a＝2b＝1时，等号成立，即2a＋4b≥4，故D正确.故选D. 5.原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是(　　) A.第一种方案更划算 B.第二种方案更划算 C.两种方案一样 D.无法确定 B　解析：设小李这两次加油的油价分别为x元/升、y元/升(x≠y)，则 方案一：两次加油平均价格为 ＝>， 方案二：两次加油平均价格为 ＝<， 故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算. 6.(2024·宁夏二模)直线ax＋by－1＝0过函数f(x)＝x＋图象的对称中心，则＋的最小值为(　　) A.9　　　　 B.8 C.6　　　　 D.5 A　解析：因为y＝x＋为奇函数，所以函数图象关于(0，0)中心对称，函数图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度可得函数f(x)＝x＋的图象，所以f(x)的对称中心为(1，1)，所以a＋b＝1， 所以＋＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2·＝9，当且仅当＝，即a＝2b＝时，等号成立，所以＋的最小值为9.故选A. 7.(2024·通辽月考)已知x>0，y>0，且＋＝2.若4x＋y＞7m－m2恒成立，则m的取值范围为(　　) A.(3，4) B.(－4，3) C.(－∞，3)∪(4，＋∞) D.(－∞，－4)∪(－3，＋∞) C　解析：由题意可得4x＋y＝(4x＋y)(＋)＝(12＋＋)≥×(12＋2)＝12，当且仅当x＝，y＝6时取等号，得12＞7m－m2，解得m>4或m<3. 8.设a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，则＋(　　) A.有最小值为2＋1 B.有最小值为＋1 C.有最小值为 D.有最小值为4 A　解析：根据题意，＝＝1＋，因为a＞0，b＞0，所以＋＝1＋＋≥1＋2＝1＋2，当且仅当＝，即a＋b＝a时等号成立，故＋有最小值为2＋1. 9.若实数x>1，y>且x＋2y＝3，求＋的最小值. 解：令x－1＝m，2y－1＝n， 则m>0，n>0且m＋n＝x－1＋2y－1＝1， ∴＋＝＋＝ (m＋n)＝ 2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当＝，即m＝n＝时取“＝”. ∴＋的最小值为4. 10.已知函数y＝，求函数的最大值. 解：由题知y＝，当x－1＝0时，y＝0；当x－1>0时，y＝≤＝，∴当且仅当＝，即x＝5时，等号成立， ∴ymax＝. [技能提分练] 11.(2024·佳木斯三模)已知＋＝(a>0，b>0)，则下列结论不正确的是(　　) A.a＋b≥2 B.＋≤ C.a2＋b2≤6 D.ab≥3 C　解析：对于选项A，(a＋b)2＝(a2＋2ab＋b2)·＝1＋1＋＋＋＋≥2＋2＋2·＝8，当且仅当＝且＝即a＝b＝时，等号成立，所以(a＋b)2≥＝12，a＋b≥2，故A正确； 对于选项B，因为2－2＝2≥0，当且仅当＝即a＝b＝时，等号成立，所以－2≥0，解得0<＋≤，故B正确； 对于选项C，因为(a2＋b2)＝1＋1＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝即a＝b＝时，等号成立，所以a2＋b2≥＝6，故C错误； 对于选项D，因为ab＝＋≥2＝2，当且仅当＝即a＝b＝时，等号成立，所以ab≥＝3，故D正确.故选C. 12.已知△ABC的面积为1，内切圆的半径也为1，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则＋的最小值为(　　) A.2 B.2＋ C.4 D.2＋2 D　解析：因为△ABC的面积为1，内切圆的半径也为1， 所以(a＋b＋c)×1＝1，所以a＋b＋c＝2， 所以＋＝＋＝ 2＋＋≥2＋2， 当且仅当＝且a＋b＋c＝2， 即c＝2－2时，等号成立， 所以＋的最小值为2＋2. 13.已知3a＝2，5b＝3，则下列结论正确的有(　　) ①a<b；②a＋<b＋；③a＋b<2ab； ④a＋ab<b＋ba. A.1个　　　 B.2个 C.3个　　　 D.4个 B　解析：因为3a＝2，5b＝3， 则a＝log32，b＝log53. 对于①，∵23<32，则2<3，从而0＝log31<a＝log32<log33＝， ∵33>52，则3>5，则＝log55<log53＝b<log55＝1，即0<a<<b<1，①正确； 对于②，－＝＋＝ ， 因为0<a<<b<1，则a－b<0，0<ab<1， 所以a＋>b＋，②错误； 对于③，∵2ab＝2log32·log53＝2log52＝log54， 所以a＋b－2ab＝log32＋log53－log54＝ log32－log5>log3－log5＝0， 所以a＋b>2ab，③错误； 对于④，构造函数f(x)＝，其中0<x<e， 则f′(x)＝. 当0<x<e时，f′(x)>0，则函数f(x)在上单调递增， 因为0<a<b<1，则f<f，即<，可得ab<ba，所以a＋ab<b＋ba，④正确.故选B. 14.函数f(x)＝ax2＋bx(a>0，b>0)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，则的最小值是(　　) A.10　　　 B.9 C.8　　　 D.3 B 　解析：对函数求导可得，f′(x)＝2ax＋b.根据导数的几何意义，f′(1)＝2a＋b＝2，即a＋＝1.＝＋＝(＋)(a＋)＝＋＋5≥2＋5＝4＋5＝9，当且仅当时取等号.所以最小值是9. 15.已知a＞b＞0，求a＋＋的最小值. 解：因为a＞b＞0，所以a＋b＞0，a－b＞0，a＋＋＝＋＋＋≥2＋2＝2＋2×＝3，当且仅当即a＝，b＝时等号成立. [素养拉分练] 16.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A.≥(a>0，b>0) B.a2＋b2≥2(a>0，b>0) C.≤(a>0，b>0) D.≤ (a>0，b>0) D 　解析：由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝，又OC＝OB－BC＝－b＝，则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝，再根据题图知FO≤FC，即≤ (a>0，b>0)，当且仅当a＝b时取等号. 17.(多选)(2024·广州模拟预测)已知a<b<c(a，b，c∈R)，且a＋2b＋3c＝0，则下列结论成立的是(　　) A.a＋c<0 B.＋<－2 C.存在a，c使得a2－25c2＝0 D.<－ ABD　解析：对于A，由a<b<c及a＋2b＋3c＝0，得3a＋3c<a＋2b＋3c＝0，所以a＋c<0，A正确. 对于B，由a<b<c及a＋2b＋3c＝0，得6a<a＋2b＋3c＝0，所以a<0.同理可得c>0. 又a＋c<0，所以≠－1，所以＋＝－<－2，B正确. 对于C，由a<b<c及a＋2b＋3c＝0，得a＋2c＋3c>0，所以a＋5c>0，得c>－>0， 所以c2>，得a2－25c2<0，C错误. 对于D，由a＋2b＋3c＝0，得a＋c＝－2(b＋c)， 所以＝＝＋＝－＋. 因为a＋c<0，c>0，所以<0，所以<－，D正确.故选ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $$