专题01 巧用运算规律简化有理数计算（6重难点题型）（题型专练）-2025-2026学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（人教版2024）

专题01 巧用运算规律简化有理数计算 题型梳理 题型方法 题型一 归类——同号相加，同分母相加 题型二 凑整——将和（积）为整数的数相结合 题型三 变序——逆向思维，方便约分和计算 题型四 组合——找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化题目 题型五 拆分——将（带）分数拆分 题型六 换位——将被除数与除数颠倒位置 题型方法 【题型一】归类——同号相加，同分母相加 【例1】（24-25七年级上·北京·期中）计算： 【答案】 【分析】该题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·天津·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）先去括号，再计算减法即可； （2）先去括号，再根据交换律分别计算，最后计算加法即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式2】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨）计算： 【答案】2 【分析】本题考查有理数的加法，根据有理数的加法运算法则求解即可，利用加法运算律简便运算是解答的关键． 【详解】解： ． 【变式3】（24-25六年级下·上海）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)1． 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算法则计算； （2）根据有理数的加法运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型二】凑整——将和（积）为整数的数相结合 【例2】（24-25六年级上·上海崇明·期末）计算： 【答案】0 【分析】本题考查了有理数加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据有理数加减运算法则即可解答； 【详解】解：原式 ． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级下·四川泸州）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先计算除法和乘法，再计算加减法即可． 【详解】解： 【变式2】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)20 (2)2 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握去括号法则，有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据去括号，有理数的加减混合运算法则即可求解； （2）去括号，根据加法交换律，结合律，有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式3】（24-25六年级下·上海）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的加法法则和运算律的运用．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用加法交换律和结合律进行简便运算，即可作答． （2）运用加法交换律和结合律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型三】变序——逆向思维，方便约分和计算 【例3】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先确定符号，再从左向右依次计算即可求解； （2）先算乘除，后算加减即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·重庆石柱·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】考查了有理数的混合运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算定律的运用，使运算过程得到简化． （1）先将队法转换成乘法，再算乘法，最后算加减法即可求解； （2）先运用乘法的分配律，将括号里的数分别和12相乘，再约分计算乘法，最后算加减法即可求解； （3）先将除法转换成乘法，再算乘法，最后算加减法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）将除法改写为乘法，再进行计算即可； （2）利用乘法分配律，将括号展开，再进行计算即可； （3）将代分数化为假分数，将除法改写为乘法，再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式3】（24-25七年级上·广东汕头·期中）计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，四则混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先化为省略加号的和的形式，再计算即可； （2）把分母相同的两个数先加，再计算即可； （3）先计算乘法与除法运算，再计算加法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型四】组合——找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化题目 【例4】（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，观察算式发现，加数为正、负、负相间，3个一次循环，且每个循环内前两个加数的和为，第三个加数是的倍数，据此可解决问题．本题考查有理数计算中的规律，能发现每个循环内前两个加数的和为，第三个加数是的倍数是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级下·全国）计算． 【答案】1012 【分析】合理分组：，每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可． 【详解】解： 每两个数为一组，结果是3；一共有337组； 原式 ． 【变式2】（24-25七年级上·广西南宁）脱式计算 【答案】100 【分析】以4个数为一组，利用加法的结合律计算即可得． 【详解】解：原式 ． 【题型五】拆分——将（带）分数拆分 【例5】（24-25七年级上·山东聊城·期中）已知；；；则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据裂项相加法进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 【举一反三】【变式1】（2024七年级上·四川成都·专题练习）计算： 【答案】184 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则和简便方法结合进行计算即可． 【详解】解： 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）求的值． 【答案】 【详解】本题考查有理数的混合运算，寻找到规律是解题的关键．把每一项拆成两个分数的差的形式，即可求解． 解： ． 【变式3】（24-25七年级下·全国）计算． 【答案】 【分析】根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，再添加括号，然后计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，进行简算即可． 【详解】 ； 【题型六】换位——将被除数与除数颠倒位置 【例6】（24-25七年级上·北京·期中）阅读下列材料： 计算： 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数 所以原式 (1)上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的 (2)请你选择合适的解法计算： 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查有理数计算． （1）根据题意除法不可以用分配律，即可得到本题答案； （2）根据题意用解法二和解法三分别解答出来即可． 【详解】（1）解：上述得到的结果不同，我认为解法一是错误的； 故答案为：一； （2）解：原式的倒数 ， 所以原式． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级下·四川绵阳）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)23； (2)41． 【分析】（1）先算乘法，最后算减法． （2）先将除法转化成乘法，然后根据乘法分配律计算即可． 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 【详解】（1） （2） 【变式2】（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为，所以原式 (1)上面三种解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，其中解法_________是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，有理数乘法分配律： （1）观察解题过程可知，解法一是错误的，原因是除法没有分配律； （2）先计算，计算方法为先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，求得的结果取倒数即为题目所求式子的值． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，解法一是错误的，原因是除法没有分配律， 故答案为：一； （2）解：原式的倒数为 ． 所以． 【变式3】（24-25七年级上·江西南昌·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”甲乙丙三位同学仔细思考了一番，分别用了一种不同的方法解决了这个问题． 甲同学的解法是：原式； 乙同学的解法是：原式的倒数为， 所以； 丙同学的解法是：原式； (1)你认为解答过程完全正确的是 ．（将正确答案的序号填在横线上） A．只有甲同学    B．只有乙同学 C．甲乙同学都正确    D．三位同学解题过程都正确 (2)请你运用恰当的解法解答下面的问题． 计算：； 【答案】(1)C (2) 【分析】本题考查了有理数的运算，乘法分配律，熟练掌握有理数的乘除运算法则、准确计算是解题的关键； （1）根据有理数的运算法则即可做出判断； （2）观察所求的式子，可以按照乙同学的解法求解． 【详解】（1）解：甲同学的解法：原式，运算过程正确； 乙同学的解法：原式的倒数为， 所以，运算过程正确； 丙同学的解法：原式，除法没有分配率，运算过程错误； 所以甲乙同学的运算过程都正确，丙同学的运算过程错误； 故选：C； （2）解： ； ． 好题必刷 一、解答题 1．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法，掌握求解的方法是关键；先把原式变形为，再根据乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 2．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】根据有理数的加减混合计算解答即可． 本题考查了有理数加减的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．首先将原式变形为，然后裂项求解即可． 【详解】解：原式 4．（2025七年级下·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数混合运算，把原式变形为进行解答即可． 【详解】解：原式 5．（24-25七年级上·河南南阳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，涉及有理数加法运算律、有理数乘法运算律及有理数加减乘除混合运算等知识，熟练掌握相关运算法则及运算律是解决问题的关键． （1）利用有理数加法运算的交换律与结合律恒等变形，再由有理数加法运算法则求解即可得到答案； （2）先将除法转化成乘法，再由有理数乘法分配律展开，最后由有理数加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的加减运算，含乘方的有理数的混合运算； （1）先化为省略加号的和的形式，再计算即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 7．（23-24七年级上·西藏拉萨·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)50 (2)13 【分析】本题考查有理数的混合计算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 8．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)60 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）首先将除法转化成乘法，然后利用有理数的乘法分配律求解即可； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 9．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)简便方法计算：． 【答案】(1)4 (2) (3) (4) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式根据有理数的加减法则进行计算即可得出答案； （2）原式用乘法分配律计算即可求出值； （3）原式先计算乘除，再计算加减，即可求出值； （4）原式先算括号中的减法运算，再算除法运算，最后算加减运算即可求出值； （5）原式先算括号中的乘方，乘法，以及加减运算，再算除法运算即可求出值； （6）原式先化为，再运用乘法分配律即可求出值． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ； （3）解：原式， ， ； （4）解：原式， ， ， 10．（24-25七年级上·重庆忠县）简便计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数乘法运算律（乘法分配律），善于运用有理数乘法运算律（乘法分配律）进行简便计算是解题的关键． （1）运用有理数乘法运算律（乘法分配律）进行简便计算即可； （2）将拆分成，然后运用有理数乘法运算律（乘法分配律）进行简便计算即可； （3）先计算，运用有理数乘法运算律（乘法分配律）进行简便计算，然后即可得出的计算结果； （4）先后两次运用有理数乘法运算律（乘法分配律）进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ； （4）解： ． 11．（24-25七年级下·湖南）下面各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数计算，加法交换律和结合律，分配律，将分数拆项计算是解题的关键． （1）先提取公因数，再对各分数拆项后相加即可； （2）对分母提取公因数4，再约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25七年级下·全国）先观察下列等式再完成题后问题． (1)请你猜想：________． (2)探究并计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法及加减法运算是解题的关键． （1）根据题意找到规律，根据规律进行求解； （2）由（1）中的规律，裂项相消可进行求解； 【详解】（1）解： （2）解： 13．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 上面这种方法叫做拆项法，仿照上面的方法，请你计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据题干给定的方法，利用拆项法进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 14．（23-24七年级上·广东河源·期中）学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 【答案】(1)小刚的解题是对的，小明的解题是不对的，见解析 (2)小华的思路正确，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法的运算法则即可解答； （2）根据倒数的性质即可得出结论； （3）先计算的值，再结合（2）中的结论即可求解． 【详解】（1）解：小刚的解题是对的，小明的解题是不对的， ②的正确计算过程如下： ； （2）解：小华的思路正确，理由如下： ， ∴①、②这两个式子是互为倒数的关系， 由小刚的解题可得，， ∴，与（1）中的计算结果相符， ∴先求出①式的结果，即可得到②式的结果， ∴小华的思路正确； （3）解： ， ∵与互为倒数的关系， ∴， ∴原式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 巧用运算规律简化有理数计算 题型梳理 题型方法 题型一 归类——同号相加，同分母相加 题型二 凑整——将和（积）为整数的数相结合 题型三 变序——逆向思维，方便约分和计算 题型四 组合——找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化题目 题型五 拆分——将（带）分数拆分 题型六 换位——将被除数与除数颠倒位置 题型方法 【题型一】归类——同号相加，同分母相加 【例1】（24-25七年级上·北京·期中）计算： 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·天津·期中）计算： (1)； (2)． 【变式2】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨）计算： 【变式3】（24-25六年级下·上海）计算： (1)； (2)． 【题型二】凑整——将和（积）为整数的数相结合 【例2】（24-25六年级上·上海崇明·期末）计算： 【举一反三】【变式1】（24-25七年级下·四川泸州）计算：． 【变式2】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）计算： (1)； (2)． 【变式3】（24-25六年级下·上海）计算： (1)； (2)． 【题型三】变序——逆向思维，方便约分和计算 【例3】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）计算： (1) (2) 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·重庆石柱·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式3】（24-25七年级上·广东汕头·期中）计算． (1)； (2)； (3)． 【题型四】组合——找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化题目 【例4】（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算： ． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级下·全国）计算． 【变式2】（24-25七年级上·广西南宁）脱式计算 【题型五】拆分——将（带）分数拆分 【例5】（24-25七年级上·山东聊城·期中）已知；；；则 ． 【举一反三】【变式1】（2024七年级上·四川成都·专题练习）计算： 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）求的值． 【变式3】（24-25七年级下·全国）计算． 【题型六】换位——将被除数与除数颠倒位置 【例6】（24-25七年级上·北京·期中）阅读下列材料： 计算： 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数 所以原式 (1)上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的 (2)请你选择合适的解法计算： 【举一反三】【变式1】（24-25七年级下·四川绵阳）计算： (1)； (2)． 【变式2】（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为，所以原式 (1)上面三种解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，其中解法_________是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 【变式3】（24-25七年级上·江西南昌·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”甲乙丙三位同学仔细思考了一番，分别用了一种不同的方法解决了这个问题． 甲同学的解法是：原式； 乙同学的解法是：原式的倒数为， 所以； 丙同学的解法是：原式； (1)你认为解答过程完全正确的是 ．（将正确答案的序号填在横线上） A．只有甲同学    B．只有乙同学 C．甲乙同学都正确    D．三位同学解题过程都正确 (2)请你运用恰当的解法解答下面的问题． 计算：； 好题必刷 一、解答题 1．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）计算： 2．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 3．（2025七年级下·全国·专题练习）计算：． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）计算：． 5．（24-25七年级上·河南南阳·期末）计算： (1)； (2)． 6．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）计算： (1)； (2)． 7．（23-24七年级上·西藏拉萨·期末）计算： (1)； (2)． 8．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）计算： (1)； (2)． 9．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)简便方法计算：． 10．（24-25七年级上·重庆忠县）简便计算 (1) (2) (3) (4) 11．（24-25七年级下·湖南）下面各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) 12．（24-25七年级下·全国）先观察下列等式再完成题后问题． (1)请你猜想：________． (2)探究并计算：． 13．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 上面这种方法叫做拆项法，仿照上面的方法，请你计算： 14．（23-24七年级上·广东河源·期中）学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$