第11讲 直线与圆的位置关系（知识清单+易错+4必考题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第11讲 直线与圆的位置关系 题型梳理 易错分析 易错点一 求圆的切线方程考虑不全致误 题型方法 题型一 直线与圆位置关系的判断与应用 题型二 直线与圆相切的有关问题 题型三 直线与圆相交的有关问题 题型四 直线与圆的方程的应用 知识清单 知识点01直线与圆的位置关系的判断 直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 知识点02圆的弦长问题 求直线与圆相交时弦长的两种方法： (1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2＋d2＝r2， 图① 即|AB|＝2. (2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)， 图② 则|AB|＝ ＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)． 易错分析 【易错点一】求圆的切线方程考虑不全致误 【例1】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）过点的直线与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】就直线的斜率是否存在分类讨论，当斜率存在时，利用圆心到直线的距离为半径可求直线方程，故可得正确的选项. 【详解】若直线的斜率不存在，则直线的方程为：， 圆心，半径为，圆心到直线的距离为，符合要求； 若直线的斜率存在，设直线的方程为即， 故圆心到直线的距离为，故， 故此时直线的方程为， 故选：D. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）过点作圆的切线，则的斜率为（   ） A．0 B． C．0或 D．0或 【答案】C 【分析】首先说明点在圆外，再设点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，解出即可. 【详解】将代入圆方程得，则该点在圆外， ，则其圆心为，半径为1， 当切线斜率不存在时，此时直线方程为，显然不合题意，故舍去， 则设切线方程为：，即， 则有，化简得，解得或，所以的斜率为0或. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·天津·阶段练习）过点作圆的切线，则切线方程为 . 【答案】或 【分析】分斜率存在与不存在进行讨论，当斜率不存在时，符合要求，当直线斜率存在时，设出斜率，借助点到直线的距离公式与切线性质计算即可得. 【详解】由题意可知，，故P在圆外， 则过点P做圆O的切线有两条， 由圆心到直线的距离为， 且点在直线上，故符合要求； 当切线的斜率存在时，设为， 设切线为，即， 则圆心到直线的距离， 解得，故切线方程为. 故答案为：或. 【变式3】（2025高二·全国·专题练习）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分斜率存在或不存在两种情况，若存在，设直线的方程，利用计算即可； （2）在中利用勾股定理即可. 【详解】（1）圆的方程可化为， 则圆的圆心为，半径， ①当直线的斜率不存在，则直线方程为，满足题意； ②当直线的斜率存在时，可设直线的方程是，即， 由圆心到直线l的距离，解得， 此时直线的方程是， 综上，直线的方程是或. （2）由（1）得直线的方程是， 则, 所以. 题型方法 【题型一】直线与圆位置关系的判断与应用 【例1】（24-25高二下·湖北荆门·期末）设直线，圆，则与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心C到直线l的距离， 故直线与圆C相离． 故选：C. 解题技巧 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·广东深圳·期末）直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 【答案】A 【分析】根据圆心到直线的距离与半径比较即可求解. 【详解】的圆心和半径分别为， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交但不经过圆心， 故选：A 【变式2】（24-25高三上·山西晋城·期末）已知为锐角三角形的三条边，则直线与圆的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】利用直线与圆的位置关系的判断条件即可得到结果. 【详解】由题意可知，则，圆的圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交． 故答案为：相交. 【变式3】（24-25高二下·广东河源·期中）已知圆：，直线：． (1)若与仅有一个交点，求； (2)设为坐标原点，点满足，且点在直线上，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径求解. （2）利用求出点的轨迹圆的方程，则问题转化为该圆与直线存在公共点，利用点到直线距离公式列式求解. 【详解】（1）圆心，半径，因与仅有一个交点， 则圆心到直线的距离，所以. （2）设点，由，得， 化简得，即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 又点在直线上，则直线与圆存在公共点， 则，解得， 所以的取值范围为. 【题型二】直线与圆相切的有关问题 【例2】（24-25高二下·河南鹤壁·期末）过点可以作圆的切线的条数为（   ） A． B． C． D．无数条 【答案】B 【分析】判断点与圆的位置关系，即可得出结论. 【详解】因为，故点在圆上，所以因此过点只能作一条圆的切线. 故选：B. 解题技巧 求过某一点的圆的切线方程 (1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 ①若切线斜率存在且不为0，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率k(k≠0)，由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式方程可得切线方程． ②若切线斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 ①若切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当切线斜率不存在时要加以验证． ③过圆外一点的切线有两条． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·湖南怀化·期末）过点作圆的切线，则切线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出直线方程，借助切线的性质计算即可得. 【详解】由，可知该圆是以为圆心，3为半径的圆， 当过点的直线斜率不存在，即为时，与圆显然不相切； 设过点的圆的切线为，即， 故圆心到切线的距离，解得， 故选：C 【变式2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）过点向圆作切线，切点为，则 . 【答案】 【分析】根据圆切线的性质求切线长即可. 【详解】由圆，圆心坐标为，半径为2， 因为过点向圆作切线，切点为，且， 所以. 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·江苏常州·期末）已知圆，，为坐标原点. (1)若在圆内，求实数的取值范围； (2)若直线与圆相切，求实数的值， 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用点与圆的位置关系列式求解. （2）求出直线的方程，利用切线性质，结合点到直线距离公式计算得解. 【详解】（1）圆，则， 由在圆内，得，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，圆的圆心，半径， 直线方程为：，即，由直线与圆相切，得，解得， 所以实数的值为. 【题型三】直线与圆相交的有关问题 【例3】（24-25高二下·四川泸州·期末）已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．2 【答案】A 【分析】由几何法求出弦长，再由面积公式计算． 【详解】圆的标准方程是，圆心为，半径为， 到直线的距离为， 所以， 所以， 故选：A． 解题技巧 (1)求直线与圆的弦长的两种方法：代数法、几何法． (2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况． 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·广西桂林·期末）直线与圆交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的相关知识即可求得弦长 【详解】由已知圆，圆心为，半径 所以圆心到直线的距离 所以 故选： 【变式2】（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】由题可求得圆心到直线的距离为1，讨论直线斜率是否存在，结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】圆的半径为2，弦长为圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线的方程为，满足题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由圆心到直线距离为1得，解得． 直线的方程为或． 故答案为：或 【变式3】（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知直线，圆． (1)若直线与圆无公共点，求实数的取值范围； (2)若直线与圆交于两点，且（为圆的圆心）为直角三角形，求实数的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据圆心到直线的距离与半径的关系即可求解， （2）根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】（1）易知圆的圆心坐标为，半径． 由直线与圆无公共点知， 圆心到直线的距离或． 故实数的取值范围是或． （2）由题意知，半径CA，CB互相垂直，为等腰直角三角形． 又圆心到直线的距离为，可得， 又，即，解得：． 【题型四】直线与圆的方程的应用 【例4】（23-24高二上·广东东莞·期中）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解. 【详解】记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C. 解题技巧 建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题． 解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知． (2)建系：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素． (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知． (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【详解】解：如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：； 解得，. 故圆的方程为 令，解得 结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.6（米）， 故选：C. 【变式2】（24-25高二·上海·随堂练习）小明家附近有一座圆拱桥，当水面跨度是40米时，拱顶离水面5米．当水面上涨4米后，桥在水面的跨度为 米． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出圆的半径，然后再利用圆的弦长公式即可得解. 【详解】设圆的半径为，则，解得， ，， 所以当水面上涨4米后， 桥在水面的跨度为米． 故答案为：． 【变式3】（24-25高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 【答案】(1)游客不在该摄像头监控范围内 (2)观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米 【分析】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线方程，判断直线与圆的位置关系即可； （2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点的直线与圆相切时的直线方程即可. 【详解】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系 则，观景直道所在直线的方程为， 依题意得：游客所在点为， 则直线的方程为，化简得， 所以圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 所以游客不在该摄像头监控范围内. （2）由图易知：过点的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡， 所以设直线过且恰与圆相切， ①若直线垂直于轴，则不可能与圆相切； ②若直线不垂直于轴，设，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得或， 所以直线的方程为或， 即或， 设这两条直线与交于， 由，解得，由，解得， 所以，观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二下·河南新乡·阶段练习）设一个圆心在直线上的圆与两条坐标轴均相切，则这个圆的半径为（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．2或 【答案】C 【分析】根据给定条件，设出圆心坐标，结合圆的切线列式求解. 【详解】由圆心在直线上，设圆心坐标为， 由该圆与两条坐标轴均相切，得该圆半径，整理得， 解得或，所以这个圆的半径或2. 故选：C 2．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（　　） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相离 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 【答案】A 【分析】利用点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系判断即可. 【详解】圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切， 因为，故点在圆上. 故选：A. 3．（24-25高二下·云南·期中）已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程可得圆的半径，利用三角形面积计算，求得圆心到直线的距离，可得答案. 【详解】由圆可知圆心，半径， 由，解得， 则圆心到直线的距离为，则，解得. 故选：C． 4．（24-25高二下·浙江·阶段练习）若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得点到圆心距离，进而由，即可求解. 【详解】由，则圆心，半径， 所以点与圆心的距离， 所以， 则，. 所以. 故选：C. 5．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（    ） A．2分钟 B．3分钟 C．4分钟 D．5分钟 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出直线及圆的方程，利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式求解即得. 【详解】以设备的位置为坐标原点，其正东、正北方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， 则直线，即，圆， 记从处开始被监测，到处监测结束，点到直线的距离为， 则，所以被监测的时长为分钟. 故选：C    二、多选题 6．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知圆，P是直线上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆O相切于点A，B，则（   ） A．圆O与直线l相离 B．存在最小值 C．存在最大值 D．存在点P使得为直角三角形 【答案】AB 【分析】求出圆心到直线的距离判断A；利用切线长定理计算判断B；利用四边形面积求得，借助的范围求解判断C；根据为直角三角形求得，根据圆心到直线的最小距离即可判断D. 【详解】圆的圆心，半径， 对于A，点到直线的距离，故圆O与直线l相离，正确； 对于B，， 当且仅当时取等号，正确； 对于C，由垂直平分得，， 则，当且仅当时取等号， 所以不存在最大值，错误； 对于D，由A可知，，若为直角三角形，则， 从而，又，所以不存在点P使得为直角三角形，错误. 故选：AB 7．（24-25高二下·河南周口·期末）已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用勾股定理可判断A选项；求出直线所过定点的坐标，可判断B选项；分析可知直线过圆心时，可得出直线的斜率，可判断C选项；分析可知，当时，被圆截得的弦长的最小值，求出弦长的最小值，结合勾股定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，圆的圆心为，半径为， 当时，直线的方程为，则圆心到直线的距离为， 此时，被圆截得的弦长为，A错； 对于B选项，将直线的方程可化为， 由，解得，因此，恒过点，B对； 对于C选项，当被圆截得的弦长最大时，直线过圆心， 则，解得， 此时，直线的方程为，即，即直线的斜率为，C对； 对于D选项，记点，则， 当时，且直线的斜率为，此时，即当时， 圆心到直线距离取最大值，被圆截得的弦长取最小值，且 因为，弦长的最小值为，D对. 故选：BCD. 三、填空题 8．（24-25高三下·重庆·阶段练习）圆心在射线 上，与轴相切，且被轴所截得的弦长为的圆的方程为 . 【答案】 【分析】设圆心为，可知半径，根据垂径定理，利用直线截圆所得弦长可构造方程求得圆心和半径，由此可得圆的方程. 【详解】设圆心为，则圆的标准方程为， 所以圆的半径，又圆被轴所截得的弦长为，则， 解得， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 9．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得则，得到切线的斜率为，且，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心坐标为，则， 则过点的圆的切线的斜率为，且 所以过点的圆的切线的切线方程为， 即，即. 故答案为：. 10．（24-25高二上·贵州毕节·期末）一座圆拱形桥（圆的一部分），当拱顶距离水面2m时，水面宽为12m．当水面下降1m后，水面宽为 m． 【答案】 【分析】以圆拱拱顶为直角坐标系原点，以过圆拱拱顶的竖直直线为纵轴，建立如图所示的坐标系，根据题意求出圆的方程，然后再根据题意设点代入圆方程求解即可. 【详解】以圆拱拱顶为直角坐标系原点，以过圆拱拱顶的竖直直线为纵轴，建立如图所示的坐标系， 设圆心为，半径为，则圆的方程为：， 拱顶距离水面时，水面宽为，可知点在圆上， 把点的坐标代入圆方程中得：，解得， 所以圆的方程为：， 当水面下降时，设， 代入圆方程得：，解得，即， 该点关于纵轴的对称点的坐标为，因此此时水面宽为m. 故答案为：. 11．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】圆的圆心为，结合等面积法可知，由此可知只需求的最小值即可，结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】设圆的圆心为，半径为1， 由切线长定理可得， 又因为，，则，所以， 所以，则四边形面积为， 所以， 当的长最小时，弦长最小， 而的最小值为圆心到直线的距离， 所以，所以． 故答案为：. 12．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点到、两点的距离的平方和为10，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意计算化简得出点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆，将看作是点与点连线的斜率，利用直线与圆的位置关系求得的取值范围，即可得解. 【详解】由动点到点距离的平方和为10，得， 则点的轨迹方程为，点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆， 可看作是点与点连线的斜率， 设直线，即，则圆心到直线的距离， 由直线与圆有公共点，得圆心到直线的距离，整理得，解得或， 所以的取值范围为． 故答案为： 四、解答题 13．（24-25高二下·山东潍坊·阶段练习）已知圆：，若圆上存在两点关于直线：对称. (1)求的值 (2)过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题可得直线过圆心，求出圆心坐标代入运算得解； （2）根据圆的几何性质求出圆心到直线距离d，分直线l斜率存在和不存在讨论利用点到直线的距离公式求解. 【详解】（1）因为圆：可化为， 所以圆心为，半径为， 因为圆C上存在两点关于直线：对称，则直线经过圆心， 将代入，即 ，解得. （2）依题意，设圆心到直线距离为d，因为，则． 当直线l斜率不存在时，直线方程l为，符合题意； 当直线l斜率存在时，设直线l方程为，即， 所以圆心到直线l的距离，解得， 直线l的方程为，即， 综上所述，直线l的方程为或. 14．（24-25高二下·江西景德镇·期中）已知轨迹的方程为. (1)过点作轨迹的切线，求切线的方程； (2)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于两点和两点，求四边形ACBD的面积的最大值. 【答案】(1)和 (2)7 【分析】（1）需要分类讨论：切线的斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离等于半径求解即可； （2）根据直线是否存在斜率进行分类讨论，当直线存在斜率时，利用点斜式写出两直线的方程，分别求出弦长，将四边形的面积用弦长表示，即可求出最大值. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为2，等于半径，直线与圆相切. 当切线斜率存在时，设切线斜率为k， 则切线方程为，即. 圆心到切线的距离，解得，切线方程为. 所以，所求的切线方程为和. （2）若两直线都有斜率，可设直线的方程为，则直线的方程为， 圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离，所以， 同理，， 所以四边形ACBD的面积． ， 当且仅当，即时，等号成立. 若AB、CD两直线中有一条斜率不存在，则另一条的斜率为0， 此时线段、的长分别为、4（或4、）， 所以． 综上所述，四边形ACBD的面积的最大值为7．    15．（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解； （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可； （3）由弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题意设圆心， 因为， 即， 解得，即，     半径，     所以圆的标准方程为. （2）当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件；     当切线的斜率存在时，设过的切线的方程为， 即， 则圆心到切线的距离， 解得，     此时切线的方程为：， 即，     综上所述：过的切线方程为或. （3）圆心到直线的距离为，     所以弦长. 16．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险． 【分析】（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解； （2）首先求船行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性. 【详解】（1）依题意，因岛在岛的北偏东方向距岛千米处，则点, 又岛在岛的正东方向距岛2千米处，则， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则,解得， 所以圆C的方程为． （2）因船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，则， 而船D沿着北偏东方向行驶， 则船D的航线所在直线l的斜率为，直线的方程为， 由（1）知，圆C的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离，则， 所以该船没有触礁的危险． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 直线与圆的位置关系 题型梳理 易错分析 易错点一 求圆的切线方程考虑不全致误 题型方法 题型一 直线与圆位置关系的判断与应用 题型二 直线与圆相切的有关问题 题型三 直线与圆相交的有关问题 题型四 直线与圆的方程的应用 知识清单 知识点01直线与圆的位置关系的判断 直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 知识点02圆的弦长问题 求直线与圆相交时弦长的两种方法： (1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2＋d2＝r2， 图① 即|AB|＝2. (2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)， 图② 则|AB|＝ ＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)． 易错分析 【易错点一】求圆的切线方程考虑不全致误 【例1】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）过点的直线与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）过点作圆的切线，则的斜率为（   ） A．0 B． C．0或 D．0或 【变式2】（24-25高二上·天津·阶段练习）过点作圆的切线，则切线方程为 . 【变式3】（2025高二·全国·专题练习）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 题型方法 【题型一】直线与圆位置关系的判断与应用 【例1】（24-25高二下·湖北荆门·期末）设直线，圆，则与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 解题技巧 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·广东深圳·期末）直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 【变式2】（24-25高三上·山西晋城·期末）已知为锐角三角形的三条边，则直线与圆的位置关系是 ． 【变式3】（24-25高二下·广东河源·期中）已知圆：，直线：． (1)若与仅有一个交点，求； (2)设为坐标原点，点满足，且点在直线上，求的取值范围． 【题型二】直线与圆相切的有关问题 【例2】（24-25高二下·河南鹤壁·期末）过点可以作圆的切线的条数为（   ） A． B． C． D．无数条 解题技巧 求过某一点的圆的切线方程 (1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 ①若切线斜率存在且不为0，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率k(k≠0)，由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式方程可得切线方程． ②若切线斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 ①若切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当切线斜率不存在时要加以验证． ③过圆外一点的切线有两条． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·湖南怀化·期末）过点作圆的切线，则切线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）过点向圆作切线，切点为，则 . 【变式3】（24-25高二上·江苏常州·期末）已知圆，，为坐标原点. (1)若在圆内，求实数的取值范围； (2)若直线与圆相切，求实数的值， 【题型三】直线与圆相交的有关问题 【例3】（24-25高二下·四川泸州·期末）已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．2 解题技巧 (1)求直线与圆的弦长的两种方法：代数法、几何法． (2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况． 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·广西桂林·期末）直线与圆交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 ． 【变式3】（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知直线，圆． (1)若直线与圆无公共点，求实数的取值范围； (2)若直线与圆交于两点，且（为圆的圆心）为直角三角形，求实数的值． 【题型四】直线与圆的方程的应用 【例4】（23-24高二上·广东东莞·期中）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 解题技巧 建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题． 解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知． (2)建系：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素． (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知． (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 【变式2】（24-25高二·上海·随堂练习）小明家附近有一座圆拱桥，当水面跨度是40米时，拱顶离水面5米．当水面上涨4米后，桥在水面的跨度为 米． 【变式3】（24-25高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二下·河南新乡·阶段练习）设一个圆心在直线上的圆与两条坐标轴均相切，则这个圆的半径为（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．2或 2．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（　　） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相离 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 3．（24-25高二下·云南·期中）已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·浙江·阶段练习）若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（    ） A．2分钟 B．3分钟 C．4分钟 D．5分钟 二、多选题 6．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知圆，P是直线上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆O相切于点A，B，则（   ） A．圆O与直线l相离 B．存在最小值 C．存在最大值 D．存在点P使得为直角三角形 7．（24-25高二下·河南周口·期末）已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为 三、填空题 8．（24-25高三下·重庆·阶段练习）圆心在射线 上，与轴相切，且被轴所截得的弦长为的圆的方程为 . 9．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 . 10．（24-25高二上·贵州毕节·期末）一座圆拱形桥（圆的一部分），当拱顶距离水面2m时，水面宽为12m．当水面下降1m后，水面宽为 m． 11．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为 ． 12．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点到、两点的距离的平方和为10，则的取值范围为 . 四、解答题 13．（24-25高二下·山东潍坊·阶段练习）已知圆：，若圆上存在两点关于直线：对称. (1)求的值 (2)过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程. 14．（24-25高二下·江西景德镇·期中）已知轨迹的方程为. (1)过点作轨迹的切线，求切线的方程； (2)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于两点和两点，求四边形ACBD的面积的最大值. 15．（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 16．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$