第10讲 圆的方程（知识清单+2易错+4必考题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第10讲 圆的方程 题型梳理 易错分析 易错点一 对圆的标准方程的结构形式把握不准致误 易错点二 忽视方程表示圆的条件致误 题型方法 题型一 圆的标准方程及其求法 题型二 对圆的一般方程的理解 题型三 求圆的一般方程 题型四 点与圆的位置关系 知识清单 知识点01圆的标准方程 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径． 注意点： (1)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆． (2)相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． (3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上． 知识点02点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)， 设d＝|PC|＝. 位置关系 几何法：利用距离判断 代数法：利用方程判断 点在圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 知识点03圆的一般方程的辨析 1．圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 注意点： (1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项． (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0. 易错分析 【易错点一】对圆的标准方程的结构形式把握不准致误 【例1】（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由求解. 【详解】解：设圆的标准方程为， 由题意得， 解得， 故圆的方程为， 故选：B 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·吉林·期中）过点，，的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由弦的垂直平分线确定圆心坐标，求得半径即可. 【详解】由题意圆心在的垂直平分线上即在上， 也在的垂直平分线上即在上， 所以圆心坐标为：，， 所以圆的标准方程为：， 故选：A 【变式2】（24-25高二上·广东潮州·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点，则经过，，三点的圆的标准方程是 【答案】 【分析】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题． 先求出、的坐标，可得圆心为直角三角形的斜边的中点，半径为的一半，由此可解． 【详解】在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点， ，， 则经过，，三点的圆的圆心为直角三角形的斜边的中点， 半径为的一半，即， 则经过，，三点的圆的标准方程是． 故答案为：． 【变式3】（24-25高二上·青海西宁·阶段练习）求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程. 【答案】 【分析】利用待定系数法即可列方程求解半径和圆心，进而得解. 【详解】设所求圆的标准方程为：， 依题意得，即， 解得， 所以所求圆的标准方程为：. 【易错点二】忽视方程表示圆的条件致误 【例2】（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（   ） A． B．． C． D． 【答案】A 【分析】设所求圆的方程为，求出圆心坐标代入直线，求得，即可求得答案. 【详解】由题意设所求圆的方程为， 即， 圆心坐标为，代入中， 即，解得， 将代入中，即， 满足， 故所求圆的方程为， 故选：A 【举一反三】【变式1】（20-21高一下·全国）已知一曲线是与两个定点距离的比为k的点的轨迹，求此曲线的方程，并判断曲线的形状. 【答案】当时，所求曲线的方程是，表示以为圆心，为半径的圆；当时，曲线方程为，表示线段的垂直平分线. 【分析】设曲线上任意一点的坐标，根据题意得出，即，化简整理即可得到所求答案. 【详解】设是曲线上的任意一点，则， 由两点间的距离公式知点M满足的条件可以表示为， 化简得. 当，即或时，此时， 所以. 因为， 所以所求曲线的方程是，表示以为圆心，为半径的圆. 当时，即，方程变成，即曲线方程为，表示线段的垂直平分线. 【变式2】（24-25高二上·广东惠州·期中）的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 【答案】(1)的方程为 (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，可得出直线的斜率，结合点斜式可得出直线的方程； （2）圆的方程为，将三个顶点的坐标代入圆的方程，求出、、的值，可得出圆的一般方程，再化为标准方程即可. 【详解】（1）因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为． （2）设圆的方程为（其中， 因为、、三点都在圆上，可得，                 解得，，，满足， 所以所求圆的方程为，即. 【变式3】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知的三个顶点分别是，，，求： (1)线段AB的垂直平分线的方程； (2)的外接圆的方程. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）求出AB中点的坐标与直线AB的斜率，然后根据垂直平分线的性质算出AB的垂直平分线的方程； （2）设出的外接圆的一般式方程，根据A、B、C的坐标求出D、E、F，即可得到的外接圆的方程． 【详解】（1）根据题意，可得，所以AB的垂直平分线的斜率， 结合AB的中点为，可得AB的垂直平分线方程为，即； （2）设的外接圆的方程为， 根据题意，可得，解得， 所以的外接圆的方程为 题型方法 【题型一】圆的标准方程及其求法 【例1】（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件设出圆心坐标及半径，再结合圆上两点的坐标得到方程组，解方程组即可求解. 【详解】因为圆的圆心在轴上，设圆的圆心为，半径为， 则圆的方程为，因为点、在圆上， 所以有，整理得：， 解得：，所以圆的方程为：. 故选：D 解题技巧 直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． 求圆的标准方程的两种方法 (1)几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程． (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·四川乐山·期末）已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆的标准方程是，将代入求解即可. 【详解】解：由题意设圆的标准方程是， 因为圆经过两点， 所以，解得， 所以圆的标准方程是， 故选：A 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知圆经过两点，，且圆心在轴的正半轴上，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】求直线的垂直平分线方程，再求直线与轴的交点，由此可得圆心坐标，再求圆的半径，由此可得结论. 【详解】因为圆经过点，，则， 所以圆的圆心在线段的垂直平分线上． 又圆的圆心在轴的正半轴上，所以圆的圆心坐标为． 则圆的半径为， 所以圆的标准方程为． 故答案为：． 【变式3】（24-25高二上·广东·期末）已知点 (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)已知圆过点，求圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依次求出线段的中点坐标和所在直线的斜率，即得线段的垂直平分线的斜率，即可写出方程； （2）求出线段的垂直平分线的方程，再将线段、的中垂线方程联立，求出圆心，再求出半径，即得圆的方程. 【详解】（1）依题意，设线段的中点为，因，，则， 直线的斜率为：，则线段的垂直平分线的斜率为， 故其直线方程为：，即. （2）设线段的中点为，因，，则， 直线的斜率为：，则线段的垂直平分线的斜率为， 得线段的垂直平分线的方程为,即， 由（1）线段的垂直平分线方程为， 由，解得：， 即圆心为，圆的半径为：， 故圆的方程为：. 【题型二】对圆的一般方程的理解 【例2】（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知圆与圆，则两圆圆心所在直线的方程为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】求两圆的圆心，再求直线方程. 【详解】圆的圆心为， 圆可化为， 所以圆心为，圆心所在直线的斜率为，所以两圆圆心所在直线的方程为. 故选：C 解题技巧 圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·陕西榆林·期中）若直线是圆的一条对称轴，则该圆圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，直线经过圆的圆心，由此求出，进而可知圆心的坐标. 【详解】对圆进行配方可得：，圆心为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线经过圆心， 所以，解得，故圆心为， 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）圆的圆心坐标和半径分别是（   ） A．和2 B．和2 C．和 D．和 【答案】C 【分析】把圆的一般方式化为标准方程即可得到结果. 【详解】由得，， 故圆心坐标为，半径为. 故选：C. 【变式3】（24-25高二下·云南红河·期末）已知圆的圆心坐标为，则的半径为 . 【答案】 【分析】根据圆的一般方程配方得到圆的标准方程，求出圆心坐标的表达式 ，求出、，进而计算出半径即可. 【详解】由，有， 因为圆心坐标公式为，所以，， 所以的半径为. 故答案为： 【题型三】求圆的一般方程 【例3】（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的外接圆方程为，代入三点坐标求出系数即可. 【详解】设的外接圆方程为， 因为，，， 所以，解得， 所以的外接圆方程为. 故选：D. 解题技巧 求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程． (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到圆的方程 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的中点和可得以为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将其转化为一般方程即可得解. 【详解】已知、，则中点坐标为即. ， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为. 所以圆的标准方程为，展开可得， 整理得. 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·天津滨海新·期中）已知点外接圆的方程是 【答案】 【分析】设圆的一般方程，将三个圆上的点的坐标代入圆方程得到方程组，求得方程组的解，即可得到圆的一般方程. 【详解】设所求圆的方程为． 由已知，点的坐标满足上述方程，分别代入方程， 可得关于的三元一次方程组， 解方程组得， 于是得到所求圆的一般方程为． 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点式直线方程的特征即可求解， （2）利用待定系数法即可列方程求解. 【详解】（1）由题意，得. 化简，得直线的一般式方程为. （2）设外接圆的一般方程为.① 因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①，于是， 得， 即，解得. 故所求圆的一般方程为. 【题型四】点与圆的位置关系 【例4】（24-25高二上·江西抚州·期末）圆心为且过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各项给定圆的方程确定圆心，判断是否在圆上即可. 【详解】由的圆心为，A错； 由的圆心为，B错； 由的圆心为，显然点在圆上，C对； 由的圆心为，D错； 故选：C. 解题技巧 判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两条直线的交点坐标，再利用点与圆的位置关系列出不等式求解即得. 【详解】圆的圆心为，半径为2， 由解得， 则直线与的交点为， 依题意，，解得， 所以实数k的取值范围是. 故选：B 【变式2】（24-25高二上·甘肃·期末）若点是圆外的一点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据点与圆的位置关系建立不等式组，解之即可求解. 【详解】圆的标准方程为， 又点是圆外的一点， 所以，解得，即的取值范围是． 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知点在圆 上，点关于直线的对称点在圆内. (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)求实数的取值范围. 【答案】(1)圆心坐标为，半径为. (2) 【分析】（1）由点在圆上，代入得到圆的方程化为标准方程即可求得圆心，半径； （2）先求出点关于直线的对称点，然后由点在圆内求解的取值范围即可. 【详解】（1）点在圆 上， 所以代入得：，所以， 化为标准方程为：， 所以圆心坐标为，半径为. （2）设点关于直线的对称点， 所以，解得：， 所以，由于点在圆内， 所以， 解得：，故实数的取值范围为. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高一下·重庆·期末）下列方程一定表示圆的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件逐项判断. 【详解】对于A，方程表示点，A不是； 对于B，方程化为，此方程表示圆，B是； 对于C，当时，方程表示点，C不是； 对于D，方程化为表示两条平行直线，D不是. 故选：B 2．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】化圆的方程为标准形式，进而求出其圆心和半径. 【详解】圆： 的标准方程为， 所以圆的圆心和半径分别是，. 故选：B 3．（24-25高二上·河北唐山·阶段练习）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简得到圆的标准方程为，根据题意，列出不等式，即可求解. 【详解】由圆的方程为， 可得圆的标准方程为，所以，解得， 因为点在圆外，可得， 整理得，解得或， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：D. 4．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，直接求出圆心和半径，再求出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解. 【详解】因为，，则的中点为，且， 所以为直径的圆的方程为，即， 故选：A. 5．（24-25高二上·上海·期末）已知点、、，则外接圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设外接圆的方程为，将三个顶点代入圆的方程，求出、、的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】设外接圆的方程为， 由题意可得，解得， 因此，外接圆的方程是. 故选：B. 6．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知点，，则以为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式求得圆心的坐标，利用两点间距离公式求得圆半径，由此可确定圆的方程. 【详解】根据题意，以为直径的圆的圆心为中点，半径为， 所以圆的方程为. 故选：B. 二、多选题 7．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知圆的一般方程为，则（   ） A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 【答案】BD 【分析】利用配方法整理圆的方程，结合圆的标准方程，可得答案. 【详解】圆转化为，其圆心坐标为，半径为. 故选：BD. 8．（24-25高二上·云南玉溪·阶段练习）关于方程表示的圆，下列叙述中正确的是（   ） A．圆心在直线上 B．其圆心在轴上 C．过原点 D．半径为 【答案】AC 【分析】将圆的方程化为标准方程，求出其圆心与半径，逐项判断即可. 【详解】若方程表示的圆，则其标准方程为， 所以，，可得，圆心为，半径为， 对于A选项，圆心在直线上，A对； 对于B选项，因为，所以，圆心不可能在轴上，B错； 对于C选项，因为，则该圆过原点，C对； 对于D选项，该圆的半径为，D错. 故选：AC. 9．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）设圆，则下列命题正确的是（    ） A．所有圆的面积都是 B．存在，使得圆C过点 C．经过点的圆C有且只有一个 D．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 【答案】AD 【分析】对于A，直接由圆的半径是，即得到答案；对于B，利用不等式说明圆C必定不过即可；对于C，给出和作为例子即可；对于D，说明圆心总在上即可. 【详解】对于A，由于每个圆的半径都是，故面积都是，A正确； 对于B，由于，故圆C必定不过，B错误； 对于C，对和，均有，故，即圆C经过点，C错误； 对于D，圆心始终在直线上，D正确. 故选：AD. 三、填空题 10．（24-25高二下·上海·期末）设实数，圆的面积为，则 ． 【答案】 【分析】将一般方程化成标准方程后可得圆的半径，结合已知面积可求参数的值. 【详解】圆的标准方程为， 故，故（负解舍去）， 故答案为：. 11．（24-25高二下·上海·期末）已知，圆的面积为，则 . 【答案】 【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解. 【详解】已知圆的方程为 ， 可得， 此为标准形式，圆心为 ，半径平方为 ， 由 得：， 解方程：. 故答案为：. 12．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）过三个点，，的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法，建立方程组，解之即可求解. 【详解】设圆的一般方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故答案为： 13．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程是 . 【答案】 【分析】先根据点关于直线对称得出圆心，再根据圆的半径不变写出圆的标准方程. 【详解】因为圆的圆心为,半径为1， 设关于直线的对称点为, 所以，解得, 圆关于直线对称的圆的半径是1， 所以圆的方程为. 故答案为：. 14．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知圆经过三个点分别是，，，则圆的方程为 ． 【答案】 【分析】设圆的方程为，根据条件建立方程组，联立方程求解出，即可求解. 【详解】设圆的方程为， 因为圆过点是，，三点， 所以①，②，③， 由①②得到④，由②③得到⑤， 由④⑤解得，代入①，得， 所以圆的方程为. 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高二上·四川成都·期中）的三个顶点分别是，，. (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设线段的中点为，求得的坐标可求得边上的中线的方程； （2）设圆的方程为，根据三点都在圆上，列出方程组，求得的值，即可得到圆的方程； 【详解】（1）设线段的中点为，又，，则， 因为，则边上的中线的方程为； （2）设圆的方程为（其中）， 因为，，三点都在圆上， 可得， 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即. 16．（23-24高二上·河南郑州·阶段练习）（1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径： ①； ②． （2）已知点在圆的内部，求实数的取值范围. 【答案】（1）① 答案见解析；②答案见解析；（2）． 【分析】（1）①②化圆的方程为标准方程，再写出圆心、半径即得. （2）由点与圆的位置关系，列出不等式并求解即得. 【详解】（1）①标准方程为，圆心为，半径为3； ②圆的标准方程为，圆心为，半径为. （2）由点在圆的内部， 得，解得， 所以实数的取值范围是. 17．（24-25高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知点，直线与轴分别交于点，圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)判断点是否在圆上． 【答案】(1) (2)点在圆上，点在圆外，点在圆内 【分析】（1）计算出直线与轴交点坐标后，借助待定系数法计算即可得圆的标准方程； （2）借助点到圆心的距离与半径的大小判断即可得. 【详解】（1）由题可得直线与轴的交点，又， 设所求圆的方程是， 由题意得，解得， 故圆的方程为． （2）由（1）得圆的方程为． 代入得，故点在圆上； 代入得，故点在圆外； 代入得，故点在圆内． 18．（24-25高二下·北京·期中）设直线 (1)求与直线的距离为的直线的方程； (2)求圆关于直线的对称圆的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）依题意该直线与直线平行，由平行直线间的距离公式列方程即可求解； （2）利用“垂直”，“平分”即可求出圆心关于直线的对称点，进而可求对称圆方程. 【详解】（1）由题意可知该直线与直线平行， 所以设该直线方程为， 依题意，解得或， 故该直线方程为或. （2）圆的圆心为， 设圆心关于直线的对称点为， 则且的中点在直线上． ，解得， ， 圆关于直线的对称圆半径不变， 该对称圆方程为：． 19．（24-25高二上·广东汕尾·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线l：上． (1)分别求出直线AB的方程和线段AB的垂直平分线的方程； (2)求圆C的标准方程． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】（1）由题可得AB中点的坐标及斜率，然后利用点斜式即可得出答案. （2）联立，求出圆心坐标，再由两点间的距离公式求出圆的半径，即可得出圆C的标准方程. 【详解】（1）由题意得直线AB的斜率为， 直线AB的方程为，即， 又因为A，B两点的坐标为，，所以AB中点的坐标为， 因此，线段AB的垂直平分线的方程是，即． （2）由垂径定理可知，圆心C在AB的垂直平分线上也在直线l上， 联立，解得，所以圆心C的坐标为， 圆的半径为， 所以，圆C的标准方程为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 圆的方程 题型梳理 易错分析 易错点一 对圆的标准方程的结构形式把握不准致误 易错点二 忽视方程表示圆的条件致误 题型方法 题型一 圆的标准方程及其求法 题型二 对圆的一般方程的理解 题型三 求圆的一般方程 题型四 点与圆的位置关系 知识清单 知识点01圆的标准方程 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径． 注意点： (1)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆． (2)相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． (3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上． 知识点02点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)， 设d＝|PC|＝. 位置关系 几何法：利用距离判断 代数法：利用方程判断 点在圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 知识点03圆的一般方程的辨析 1．圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 注意点： (1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项． (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0. 易错分析 【易错点一】对圆的标准方程的结构形式把握不准致误 【例1】（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·吉林·期中）过点，，的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·广东潮州·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点，则经过，，三点的圆的标准方程是 【变式3】（24-25高二上·青海西宁·阶段练习）求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程. 【易错点二】忽视方程表示圆的条件致误 【例2】（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（   ） A． B．． C． D． 【举一反三】【变式1】（20-21高一下·全国）已知一曲线是与两个定点距离的比为k的点的轨迹，求此曲线的方程，并判断曲线的形状. 【变式2】（24-25高二上·广东惠州·期中）的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 【变式3】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知的三个顶点分别是，，，求： (1)线段AB的垂直平分线的方程； (2)的外接圆的方程. 题型方法 【题型一】圆的标准方程及其求法 【例1】（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 解题技巧 直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． 求圆的标准方程的两种方法 (1)几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程． (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·四川乐山·期末）已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知圆经过两点，，且圆心在轴的正半轴上，则圆的标准方程为 ． 【变式3】（24-25高二上·广东·期末）已知点 (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)已知圆过点，求圆的方程. 【题型二】对圆的一般方程的理解 【例2】（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知圆与圆，则两圆圆心所在直线的方程为（   ） A．或 B． C． D． 解题技巧 圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·陕西榆林·期中）若直线是圆的一条对称轴，则该圆圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）圆的圆心坐标和半径分别是（   ） A．和2 B．和2 C．和 D．和 【变式3】（24-25高二下·云南红河·期末）已知圆的圆心坐标为，则的半径为 . 【题型三】求圆的一般方程 【例3】（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 解题技巧 求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程． (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到圆的方程 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·天津滨海新·期中）已知点外接圆的方程是 【变式3】（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 【题型四】点与圆的位置关系 【例4】（24-25高二上·江西抚州·期末）圆心为且过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·甘肃·期末）若点是圆外的一点，则的取值范围是 ． 【变式3】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知点在圆 上，点关于直线的对称点在圆内. (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)求实数的取值范围. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高一下·重庆·期末）下列方程一定表示圆的是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高二上·河北唐山·阶段练习）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·上海·期末）已知点、、，则外接圆的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知点，，则以为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知圆的一般方程为，则（   ） A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 8．（24-25高二上·云南玉溪·阶段练习）关于方程表示的圆，下列叙述中正确的是（   ） A．圆心在直线上 B．其圆心在轴上 C．过原点 D．半径为 9．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）设圆，则下列命题正确的是（    ） A．所有圆的面积都是 B．存在，使得圆C过点 C．经过点的圆C有且只有一个 D．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 三、填空题 10．（24-25高二下·上海·期末）设实数，圆的面积为，则 ． 11．（24-25高二下·上海·期末）已知，圆的面积为，则 . 12．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）过三个点，，的圆的方程为 ． 13．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程是 . 14．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知圆经过三个点分别是，，，则圆的方程为 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·四川成都·期中）的三个顶点分别是，，. (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 16．（23-24高二上·河南郑州·阶段练习）（1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径： ①； ②． （2）已知点在圆的内部，求实数的取值范围. 17．（24-25高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知点，直线与轴分别交于点，圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)判断点是否在圆上． 18．（24-25高二下·北京·期中）设直线 (1)求与直线的距离为的直线的方程； (2)求圆关于直线的对称圆的方程. 19．（24-25高二上·广东汕尾·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线l：上． (1)分别求出直线AB的方程和线段AB的垂直平分线的方程； (2)求圆C的标准方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$