精品解析：2025年江苏省镇江市丹徒区初中生学科素养数学试题

2025年镇江市丹徒区初中生学科素养数学试题 （本试卷满分120分，考试时间为100 分钟） 一、填空题（共10小题，每小题5分，共50分） 1. 若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则实数n=______． 【答案】4． 【解析】 【详解】】解：y=x2﹣4x+n中，a=1，b=﹣4，c=n，b2﹣4ac=16﹣4n=0，解得n=4．故答案为4． 2. 将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是 _____． 【答案】10 【解析】 【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案． 【详解】解：第1个图中H的个数为4， 第2个图中H的个数为， 第3个图中H的个数为， 则：第4个图中H的个数为， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H是解题的关键． 3. 在一个不透明的口袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他的差别，从这个袋子中随机摸出2个球，2个球都是红球的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先画出树状图，然后确定所有情况数和都是红球情况数，最后用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知：总共情况数有20种，都是红球的情况数有6种 则2个球都是红球的概率是． 故答案为． 【点睛】本题考查了用树状图求概率，根据题意正确画出树状图是解答本题的关键． 4. 若关于的分式方程无解，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查解分式方程，分式方程无解，分两种情况：①将分式方程化为整式方程后，未知数的系数为，整式方程无解，从而分式方程无解；②未知数的系数不为时，最简公分母为，整式方程的解是分式方程的增根，从而分式方程无解，据此解答即可求解，理解分式方程无解的意义是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 整理得，， 当，即时，整式方程无解，即分式方程也无解； 当，即时， 解得， ∵分式方程无解， ∴， 即， 解得； 综上，的值为或， 故答案为：或． 5. 已知x、y满足，当0≤x≤1时，y的取值范围是_________． 【答案】1≤y≤． 【解析】 【详解】试题分析：∵，∴，即，∴x+2y=3，∴y=，∵0≤x≤1，∴1≤y≤． 故答案为1≤y≤． 考点：解一元一次不等式组；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 6. 设、、…是从、0、2这三个数中取值的一列数，若，，则_____． 【答案】69 【解析】 【分析】本题考查了数字类的规律问题和整式的加减，解二元一次方程组，本题正确设未知数是关键．设这一列数中有个，个2，根据已知列方程组得，解方程组可得和的值，最后代入可得答案． 【详解】解：设这一列数中有个，个2， ，， ，， ， 解得：， ． 故答案为：69． 7. 小明将如图所示的转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标连续整数数字1，2，3，…，n（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于4”的概率是，则n的取值为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查几何概率，大于4的数字的个数除以总个数=对应概率列出关于n的方程，解之可得． 【详解】解：∵“指针所落区域标注的数字大于4”的概率是， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：24． 8. 如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点，，为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算、弧长公式，以及等边三角形的性质，此题的关键是明确曲边三角形的面积三角形的面积三个弓形的面积，然后再根据所给的曲边三角形的周长求出三角形的边长，从而求值．此三角形是由三段弧组成，如果周长为，则其中的一段弧长就是，所以根据弧长公式可得，解得，即正三角形的边长为2．那么曲边三角形的面积就等于三角形的面积三个弓形的面积，根据三角形和扇形面积公式即可得答案． 【详解】解：由题意得：， ∵曲边三角形的周长为， ∴， 解得：， 即， 如下图所示，过点作于点D， 则有， ， ， ， ∴曲边三角形的面积为． 故答案为： 9. 如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是__． 【答案】3≤AP<4 【解析】 【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到的长的取值范围． 【详解】如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0＜AP＜4； 如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC， 此时0＜AP≤4； 如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA， 此时，△CPG∽△CBA， 当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4， ∴CP=1，AP=3， ∴此时，3≤AP＜4； 综上所述，AP长的取值范围是3≤AP＜4． 故答案是：3≤AP＜4． 【点睛】考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． 10. 在平面直角坐标系中，A、B为平面内不重合的两个点，若Q到A、B两点的距离相等，则称点Q是线段的“中间点”．直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，的半径为2，圆心P在x轴上，坐标为，若上存在线段的“中间点”，则t的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线与坐标轴的交点坐标，，得出，，由勾股定理求出，，设点为的垂直平分线与坐标轴的交点，、分别为、与的垂直平分线相切的切点，连接、，由切线的性质得出、，则、，由，，的半径为2，利用直角三角形的性质得出，，得出，，即可得出结果． 【详解】解：∵直线， 当时，则， 解得； 当时，， ，， ，， ， 则， ∴，； 由题意得，线段的“中间点”在线段的垂直平分线上， 设点为的垂直平分线与坐标轴的交点，与直线交于点， 当“中间点”在轴上时，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， 则为， 当“中间点”在轴上时，， ∴， 则， ∴， ∴ ∴， ∴， 则， ∴为； 设、分别为、与的垂直平分线相切的切点，连接、，则、， 则、， ，，的半径为2，， ，， ，， 当时，上存在线段的“中间点”， 故答案为：． 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了直线与圆的位置关系、新定义“中间点”的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、平行线的性质等知识、解直角三角形；本题综合性强，熟练掌握新定义和切线的性质是解决问题的关键． 二、简答题（共6小题，共70分） 11. 如图，已知一次函数y1＝kx＋b的图像与函数y2＝（x＞0）的图像交于A（6，－），B（，n）两点，与y轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F． （1）求y1与y2的解析式； （2）观察图像，直接写出y1＜y2时x的取值范围； （3）连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为 ． 【答案】（1），； （2）； （3）2． 【解析】 【分析】（1）将两函数A、B的坐标值分别代入两个函数解析式求出未知系数即可； （2）由图像可知当x在A、B两点之间时y1<y2，，所以x取值在A、B两点横坐标之间； （3）根据平移性质可知，CF=t，求出两直线之间的距离即为△ACD的高CG，通过A、C坐标求出线段AC长，列出△ACD面积=的代数式求解即可． 【小问1详解】 ∵一次函数y1＝kx＋b的图像与函数y2＝（x＞0）的图像交于A（6，－），B（，n）两点， ∴， ， 解得：， ， ∴y1、y2的解析式为：，； 【小问2详解】 从图像上可以看出，当x在AB两点之间时，y1<y2， ∴x的取值范围为：； 【小问3详解】 作CG⊥DE于G，如图， ∵直线DE是直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到， ∴，CF=t， ∵直线AB的解析式为， ∴直线AB与y轴的交点为C，与x轴的交点为， 即直线AB与x、y坐标轴的交点到原点O的距离相等， ∴∠FCA=45°， ∵CG⊥DE， ， ∴CG⊥AC，CG等于平行线AB、DE之间的距离， ∴∠GCF=∠GFC=45°， ∴CG==， ∵A、C两点坐标为：A（6，－），C， ∴线段AC=， ∴， ∵△ACD的面积为6， ∴3t=6， 解得：t=2． 【点睛】本题综合考查了一次函数、反比例函数，熟练掌握通过已知函数图像上的点的坐标求函数解析式，通过图像查看自变量取值范围，灵活运用平移的性质是解题关键． 12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）连接CE，求证：△ACE∽△ADC； （3）若＝，⊙O的半径为6，求tan∠OAC． 【答案】（1） 证明：如图，过作于 ∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线， O为圆心，OC为半径， 是⊙O的切线． （2） 证明：如图，连结CE， 为的直径， （3）tan∠OAC 【解析】 【分析】（1）如图，过作于证明 即可得到结论； （2）证明 再结合 从而可得结论； （3）由相似三角形的性质可得 设 则 而 从而建立方程求解x，从而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设 则 而 解得 tan∠OAC 【点睛】本题考查的是切线的判定，相似三角形的判定与性质，求解锐角的正切，证明，利用相似三角形的性质求解是解本题的关键． 13. 知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c． ∵， ∴， ∴ （1）拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程． （2）解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 【答案】（1）， 证明：作CD⊥AB于点D，AC⊥BC于点E． 在RtΔABE中，， 同理：， ． ． ． ． ． （2）米 【解析】 【分析】拓展研究：作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，根据正弦的定义得AE = csinB， AE= bsin∠BCA，CD= asinB，CD = bsin∠BAC，从而得出结论； 解决问题：由拓展探究知， 代入计算即可． 【小问1详解】 （拓展探究）略 【小问2详解】 （解答问题）解：在ΔABC中， ∴ 解得： 答：点A到点B的距离为m． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，对于锐角三角形，利用正弦的定义，得出是解题的关键． 14. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作的角平分线； （2）在图2中过点作一条直线，使点A、到直线的距离相等； （3）在图3中，在AC边上找一个点D，使得； （4）在图4中作出AB边上的点D，使得． 【答案】（1）如图，射线即为所求作： （2）如图，直线l或直线即为所求作：（选择其一即可） （3）如图，点D即为所求作： （4）如图，点D即为所求作： 【解析】 【分析】（1）根据，得，得是等腰直角三角形，根据四边形是矩形，得点P是中点，即得平分； （2）根据，得，同理，，得四边形是正方形，得点A，B到直线（直线l）的距离相等；或四边形是平行四边形，得点A，B到对角线（直线）的距离相等； （3）根据，得，得，由，得，即得； （4）根据，得，得是等腰直角三角形，，根据，得，得，即得． 【小问1详解】 解：取点G，H， 连接交于点P， 作射线即可； 【小问2详解】 解：取点D，作直线，即为直线l； 或取点I，作直线，即为直线． 【小问3详解】 解：如图，取点M，N， 连接交于点D， 连接， 点D即为所求作． 【小问4详解】 解：如图，取点J，L， 连接，交于点T， 连接交于点D， 点D即为所求作． 【点睛】本题考查了网格作图．练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，三线合一，矩形性质，平行四边形性质，全等三角形性质，平行线分线段成比例性质，正切定义，是解题的关键． 15. 如图，已知抛物线交轴于、两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点． （1）写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式； （2）若直线与图象有三个交点，请结合图象，直接写出的值； （3）为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再利用待定系数法求解函数关系式即可； （2）联立方程组，由判别式△=0求得b值，结合图象即可求解； （3）根据相似三角形的性质分∠CNM=90°和∠NCM=90°讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由翻折可知：. 令，解得：，， ∴，， 设图象的解析式为，代入，解得， ∴对应函数关系式为=． 【小问2详解】 解：联立方程组， 整理，得：， 由△=4-4（b-2）=0得：b=3，此时方程有两个相等的实数根， 由图象可知，当b=2或b=3时，直线与图象有三个交点； 【小问3详解】 解：存在．如图1，当时，，此时，N与C关于直线x= 对称， ∴点N的横坐标为1，∴； 如图2，当时，，此时，点纵坐标为2， 由，解得，（舍）， ∴N的横坐标为， 所以； 如图3，当时，，此时，直线的解析式为， 联立方程组：，解得，（舍）， ∴N的横坐标为， 所以， 因此，综上所述：点坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及翻折性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一次函数的图象交点问题、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，综合体现数形结合思想和分类讨论思想的运用，属于综合题型，有点难度． 16. 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． （1）是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1，求的长； （2）是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长； （3）是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长； （4）正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F、G都在直线上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______． 【答案】（1）1；（2）3；（3）；（4）； 【解析】 【分析】（1）由、是等边三角形，，， ，可证即可； （2）连接，、是等边三角形，可证，可得，又点在处时，，点在A处时，点与重合．可得点运动的路径的长； （3）取中点，连接，由、是等边三角形，可证，可得．又点在处时，，点在处时，点与重合．可求点所经过的路径的长； （4）连接CG ,AC ，OB，由∠CGA=90°，点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动，由四边形ABCD为正方形，BC为边长，设OC=x，由勾股定理即，可求，点G所经过的路径长为长=，点H所经过的路径长为的长． 【详解】解:（1）∵、是等边三角形， ∴，，． ∴， ∴， ∴， ∴； （2）连接， ∵、是等边三角形， ∴，，． ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又点在处时，，点在A处时，点与重合． ∴点运动的路径的长； （3）取中点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又点在处时，，点在处时，点与重合， ∴点所经过的路径的长； （4）连接CG ,AC ，OB， ∵∠CGA=90°， ∴点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动， ∵四边形ABCD为正方形，BC为边长， ∴∠COB=90°，设OC=x， 由勾股定理即， ∴， 点G所经过的路径长为长=， 点H在以BC中点为圆心，BC长为直径的弧上运动， 点H所经过的路径长为的长度， ∵点G运动圆周的四分之一， ∴点H也运动圆周的四分一， 点H所经过的路径长为的长=， 故答案为；． 【点睛 本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年镇江市丹徒区初中生学科素养数学试题 （本试卷满分120分，考试时间为100 分钟） 一、填空题（共10小题，每小题5分，共50分） 1. 若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则实数n=______． 2. 将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是 _____． 3. 在一个不透明的口袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他的差别，从这个袋子中随机摸出2个球，2个球都是红球的概率是________． 4. 若关于的分式方程无解，则的值为______． 5. 已知x、y满足，当0≤x≤1时，y的取值范围是_________． 6. 设、、…是从、0、2这三个数中取值的一列数，若，，则_____． 7. 小明将如图所示的转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标连续整数数字1，2，3，…，n（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于4”的概率是，则n的取值为_____． 8. 如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点，，为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为_____． 9. 如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是__． 10. 在平面直角坐标系中，A、B为平面内不重合的两个点，若Q到A、B两点的距离相等，则称点Q是线段的“中间点”．直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，的半径为2，圆心P在x轴上，坐标为，若上存在线段的“中间点”，则t的取值范围为_____． 二、简答题（共6小题，共70分） 11. 如图，已知一次函数y1＝kx＋b的图像与函数y2＝（x＞0）的图像交于A（6，－），B（，n）两点，与y轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F． （1）求y1与y2的解析式； （2）观察图像，直接写出y1＜y2时x的取值范围； （3）连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为 ． 12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）连接CE，求证：△ACE∽△ADC； （3）若＝，⊙O的半径为6，求tan∠OAC． 13. 知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c． ∵， ∴， ∴ （1）拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程． （2）解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 14. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作的角平分线； （2）在图2中过点作一条直线，使点A、到直线的距离相等； （3）在图3中，在AC边上找一个点D，使得； （4）在图4中作出AB边上的点D，使得． 15. 如图，已知抛物线交轴于、两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点． （1）写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式； （2）若直线与图象有三个交点，请结合图象，直接写出的值； （3）为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 16. 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． （1）是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1，求的长； （2）是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长； （3）是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长； （4）正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F、G都在直线上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $