13.3.2 三角形的外角(课件）2025-2026学年人教版数学八年级上册

13.3 三角形的内角与外角 13.3.2 三角形的外角 1.掌握三角形外角的概念； 2.掌握三角形的外角的性质（重点）； 3.能利用三角形的外角性质解决实际问题（难点）. 学 习 目 标 邻补角的概念：如图，∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线（∠1和∠2互补），具有这种关系的两个角互为邻补角. 邻补角的性质：∠1+∠2=180°. C A B O 1 2 ☀思考：如果延长△ABC的边AB至点D，那么该延长线BD与相邻的边BC形成的∠CBD具有什么样的性质呢？ B C A D 复 习 导 入 A B C D 三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. 三角形外角的定义：如图,把△ABC 的一边BC 延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 新 课 讲 授 1.如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？ E ∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；在三角形每个顶点处都有两个外角. C B A D ∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角. 2.如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ 合 作 探 究 A B C 3.画出△ABC的所有外角，共有几个呢? 每一个三角形都有6个外角. 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角. 合 作 探 究 如图，在△ABC 中，∠A=70°，∠B=60°.∠ACD是△ABC的一个外角．能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？ ☀思考：任意一个三角形的－个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系? 解：由三角形内角和定理，得∠ACB=180°-∠A-∠B =180°-70°-60°=50°. 由平角的定义，得∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°. 又∠A+∠B=70°+60°=130°，所以∠ACD=∠A+∠B. 新 课 讲 授 已知:如图所示,△ABC中,D为BC延长线上一点. 求证:∠ACD=∠A+∠B. 方法一： 证明:∵∠A+∠B+∠ACB=180°, ∴∠A+∠B=180°-∠ACB. ∵∠ACD+∠ACB=180°, ∴∠ACD=180°-∠ACB. ∴∠ACD=∠A+∠B. 新 课 讲 授 E 方法二：过点C作CE∥AB. ( ( ( ( 过点A作AE∥BC. 过点B作BE∥AC. E E ( ( ( ( ( ( ( ( 作平行 转化角 新 课 讲 授 ☀归纳:三角形内角和定理的推论（三角形外角的性质）：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 符号语言：∵ ∠ACD是△ABC的一个外角. ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. ☀拓展：三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角. 新 课 讲 授 例1 如图,∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角,它们的和是多少? 解:由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE =∠2+∠3,∠CBF =∠1+∠3,∠ACD =∠1+∠2. ∴∠BAE +∠CBF +∠ACD =2(∠1+∠2+∠3)=2×180°=360°. 由∠1+∠2+∠3=180°，得∠BAE +∠CBF +∠ACD =2×180°=360°. ☀思考：你还有其他解法吗？ 典 例 精 析 解法二：如图，∠BAE+∠1=180° ① ∠CBF+∠2=180° ② ∠ACD+∠3=180° ③ 又∵ ∠1+∠2+∠3=180° ∴①+②+③，得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°. ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°. ☀归纳 三角形的外角和等于360°. 典 例 精 析 如图，∠α=125°，∠1=50°，则∠β的度数是__________． 105° 解析：由三角形外角的性质，得∠α=∠1+∠2， 所以∠2=∠α-∠1=125°-50°=75°， 所以∠β=180°-∠2=105°. 针 对 练 习 1.如图，∠1，∠2，∠3三个角中是△ABC的外角的是（ ） A.∠1，∠2 B.∠1，∠3 C.∠2，∠3 D.∠1，∠2，∠3 B 2.如图，在△ABC 中，∠A＝65°，∠B＝50°，点D 在BC 的延长线上，则∠ACD 的度数为(　　) A．65° B．105° C．115° D．125° C 随 堂 检 测 3.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为__________. 30°或75° 4.如图,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=_________. D C B A 120° 随 堂 检 测 5.如图，点D是△ABC 的边BC上的一点，∠B=∠BAD=∠C， ∠ADC=72°．求∠DAC的度数． 解：∵∠ADC是△ABD的外角，∠ADC=72°， ∴∠ADC=∠B+∠BAD， ∵∠B=∠BAD， ∴∠B=∠BAD=36°. ∵∠B=∠BAD=∠C， ∴∠C=36°. 在△ADC中， ∵∠DAC+∠ADC+∠C=180°， ∴∠DAC=180°－∠ADC－∠C =180°－72°－36° =72°. 随 堂 检 测 三角形外角的定义 三角形的外角 三角形外角的性质 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 课 堂 总 结 $$